Гомоклиническая орбита

При изучении динамических систем гомоклиническая орбита — это путь через фазовое пространство , соединяющий седловую точку равновесия с самой собой. Точнее, гомоклиническая орбита лежит в пересечении устойчивого многообразия и неустойчивого многообразия равновесия. Это гетероклиническая орбита – путь между любыми двумя точками равновесия, конечные точки которых одни и те же.

Рассмотрим непрерывную динамическую систему, описываемую обыкновенным дифференциальным уравнением

{\dot {x}}=f(x)

Предположим, что существует равновесие в $x=x_{0}$ , то решение $\Phi (t)$ является гомоклинической орбитой, если

\Phi (t)\rightarrow x_{0}\quad \mathrm {as} \quad t\rightarrow \pm \infty

Если фазовое пространство имеет три и более измерений , то важно учитывать топологию неустойчивого многообразия седловой точки. На рисунках показаны два случая. Во-первых, когда устойчивое многообразие топологически является цилиндром , и, во-вторых, когда неустойчивое многообразие топологически является лентой Мёбиуса ; в этом случае гомоклиническая орбита называется скрученной .

Дискретная динамическая система

Гомоклинические орбиты и гомоклинические точки определяются так же для итерированных функций , как пересечение устойчивого множества и неустойчивого множества некоторой неподвижной точки или периодической точки системы.

У нас также есть понятие гомоклинической орбиты при рассмотрении дискретных динамических систем. В таком случае, если $f:M\rightarrow M$ является диффеоморфизмом многообразия $M$ , мы говорим, что $x$ является гомоклинической точкой, если она имеет одно и то же прошлое и будущее, точнее, если существует фиксированная (или периодическая) точка. $p$ такой, что

\lim _{n\rightarrow \pm \infty }f^{n}(x)=p.

Характеристики

Существование одной гомоклинической точки предполагает существование бесконечного их числа. ^{[ 1 ]} Это следует из его определения: пересечение стабильного и нестабильного множества. Оба набора инвариантны по определению, что означает, что прямая итерация гомоклинической точки находится как на стабильном, так и на нестабильном множестве. Выполнив итерацию N раз, карта приближается к точке равновесия по стабильному множеству, но на каждой итерации она также оказывается и на нестабильном многообразии, что демонстрирует это свойство.

Это свойство предполагает, что сложная динамика возникает из-за существования гомоклинической точки. Действительно, Смейл (1967) ^{[ 2 ]} показал, что эти точки приводят к подковообразной карте динамики, которая связана с хаосом.

Символическая динамика

Используя марковское разбиение в долговременном периоде , поведение гиперболической системы можно изучать с помощью методов символической динамики . В этом случае гомоклиническая орбита имеет особенно простое и наглядное представление. Предположим, что $S=\{1,2,\ldots ,M\}$ — конечное множество M символов . Динамика точки x тогда представляется двубесконечной строкой символов.

\sigma =\{(\ldots ,s_{-1},s_{0},s_{1},\ldots ):s_{k}\in S\;\forall k\in \mathbb {Z} \}

Периодическая точка системы — это просто повторяющаяся последовательность букв. представляет Гетероклиническая орбита собой соединение двух различных периодических орбит. Это может быть записано как

p^{\omega }s_{1}s_{2}\cdots s_{n}q^{\omega }

где $p=t_{1}t_{2}\cdots t_{k}$ — последовательность символов длины k (конечно, $t_{i}\in S$ ), и $q=r_{1}r_{2}\cdots r_{m}$ — это еще одна последовательность символов длины m (аналогично, $r_{i}\in S$ ). Обозначения $p^{\omega }$ просто обозначает повторение p бесконечное число раз. Таким образом, гетероклиническую орбиту можно понимать как переход от одной периодической орбиты к другой. Напротив, гомоклиническую орбиту можно записать как

p^{\omega }s_{1}s_{2}\cdots s_{n}p^{\omega }

с промежуточной последовательностью $s_{1}s_{2}\cdots s_{n}$ будучи непустой и, конечно, не являющейся p , иначе орбита была бы просто $p^{\omega }$ .

См. также

Ссылки

^ Отт, Эдвард (1994). Хаос в динамических системах . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521437998 .
^ Смейл, Стивен (1967). Дифференцируемые динамические системы . Бык. амер. Математика. Соц.73, 747–817.

Джон Гукенхаймер и Филип Холмс , Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей (Прикладные математические науки, том 42), Springer

Внешние ссылки

Гомоклинические орбиты на карте Хеннона с Java-апплетами и комментариями

[1] Отт, Эдвард (1994). Хаос в динамических системах . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521437998 .

[2] Смейл, Стивен (1967). Дифференцируемые динамические системы . Бык. амер. Математика. Соц.73, 747–817.

[ 1 ]

[ 2 ]