Гармоническая функция

Эта статья о гармонических функциях в математике. Чтобы узнать о гармонической функции в музыке, см. Диатоническую функциональность .

Гармоническая функция, определенная на кольце .

В математике , математической физике и теории случайных процессов гармонической функцией называется дважды непрерывно дифференцируемая функция. $f\colon U\to \mathbb {R} ,$ где U — открытое подмножество ⁠ $\mathbb {R} ^{n},$⁠, удовлетворяющий уравнению Лапласа , то есть $${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0$$ на Ю. везде Обычно это записывается как $$\nabla ^{2}f=0$$или $$\Delta f=0$$

Этимология термина «гармонический».

Дескриптор «гармоника» в названии гармонической функции происходит от точки на натянутой струне, которая испытывает гармоническое движение . Решение дифференциального уравнения для этого типа движения можно записать в терминах синусов и косинусов, функций, которые поэтому называются гармониками . Анализ Фурье предполагает разложение функций на единичной окружности по рядам этих гармоник. Рассматривая аналоги гармоник более высокой размерности на единичной n -сфере , можно прийти к сферическим гармоникам . Эти функции удовлетворяют уравнению Лапласа, и со временем термин «гармоника» стал использоваться для обозначения всех функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа.

Примеры

Примерами гармонических функций двух переменных являются:

• Действительная или мнимая часть любой голоморфной функции .
• Функция $\,\!f(x,y)=e^{x}\sin y;$ это частный случай приведенного выше примера, поскольку $f(x,y)=\operatorname {Im} \left(e^{x+iy}\right),$ и $e^{x+iy}$ является голоморфной функцией . Вторая производная по x равна $\,\!e^{x}\sin y,$ а вторая производная по y равна $\,\!-e^{x}\sin y.$
• Функция $\,\!f(x,y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ определено на $\mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \lbrace 0\rbrace .$ Это может описывать электрический потенциал линейного заряда или гравитационный потенциал длинной цилиндрической массы.

Примеры гармонических функций трех переменных приведены в таблице ниже с $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}:$

Функция	Сингулярность
${\frac {1}{r}}$	Плата за единицу балла в пункте отправления
${\frac {x}{r^{3}}}$	x -направленный диполь в начале координат
$-\ln \left(r^{2}-z^{2}\right)\,$	Линия единичной плотности заряда на всей оси z
$-\ln(r+z)\,$	Линия единичной плотности заряда на отрицательной оси z
${\frac {x}{r^{2}-z^{2}}}\,$	Линия диполей, направленных по оси x, на всей z оси
${\frac {x}{r(r+z)}}\,$	Линия диполей, направленных по оси x, на отрицательной z оси

Гармонические функции, возникающие в физике, определяются их особенностями и граничными условиями (такими как граничные условия Дирихле или граничные условия Неймана ). В областях без границ добавление действительной или мнимой части любой целой функции даст гармоническую функцию с той же особенностью, поэтому в этом случае гармоническая функция не определяется ее особенностями; однако мы можем сделать решение уникальным в физических ситуациях, потребовав, чтобы оно приближалось к 0 по мере того, как r приближается к бесконечности. В этом случае единственность следует из теоремы Лиувилля .

Особые точки приведенных выше гармонических функций выражаются как « заряды » и « плотности зарядов », используя терминологию электростатики , и поэтому соответствующая гармоническая функция будет пропорциональна электростатическому потенциалу из-за этого распределения зарядов. Каждая приведенная выше функция дает другую гармоническую функцию при умножении на константу, повороте и/или добавлении константы. Обращение . каждой функции даст другую гармоническую функцию, имеющую особенности, которые являются изображениями исходных особенностей в сферическом «зеркале» Кроме того, сумма любых двух гармонических функций даст еще одну гармоническую функцию.

Наконец, примеры гармонических функций от n переменных:

• Постоянные, линейные и аффинные функции на всех ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$⁠ (например, электрический потенциал между обкладками конденсатора и гравитационный потенциал пластины)
• Функция $f(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({x_{1}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}\right)^{1-n/2}$ на $\mathbb {R} ^{n}\smallsetminus \lbrace 0\rbrace$ для n > 2 .

Характеристики

Набор гармонических функций на данном открытом множестве U можно рассматривать как ядро ​​оператора Лапласа Δ и, следовательно, представляет собой векторное пространство над ⁠. $\mathbb {R} \!:$⁠ линейные комбинации гармонических функций снова гармоничны.

Если f — гармоническая функция на U , то все частные производные от f функциями на U. также являются гармоническими Оператор Лапласа ∆ и оператор частной производной будут коммутировать на этом классе функций.

Во многих отношениях гармонические функции являются реальными аналогами голоморфных функций . Все гармонические функции аналитичны , то есть могут быть локально выражены в виде степенных рядов . Это общий факт об эллиптических операторах , ярким примером которых является лапласиан.

Равномерный предел сходящейся последовательности гармонических функций по-прежнему остается гармоническим. Это верно, поскольку каждая непрерывная функция, удовлетворяющая свойству среднего значения, является гармонической. Рассмотрим последовательность на ⁠ $(-\infty ,0)\times \mathbb {R}$⁠ определяется ${\textstyle f_{n}(x,y)={\frac {1}{n}}\exp(nx)\cos(ny);}$ эта последовательность гармонична и равномерно сходится к нулевой функции; однако обратите внимание, что частные производные не сходятся равномерно к нулевой функции (производной нулевой функции). Этот пример показывает, как важно полагаться на свойство среднего значения и непрерывность, чтобы доказать, что предел является гармоничным.

Связи с теорией комплексных функций

Действительная и мнимая части любой голоморфной функции дают гармонические функции на ⁠ $\mathbb {R} ^{2}$⁠ (их называют парой гармонически сопряженных функций). И наоборот, любая гармоническая функция u на открытом подмножестве Ω группы ⁠ $\mathbb {R} ^{2}$⁠ — локально действительная часть голоморфной функции. Это сразу видно, заметив, что, написав $z=x+iy,$ сложная функция $g(z):=u_{x}-iu_{y}$ голоморфен в Ω , поскольку удовлетворяет уравнениям Коши–Римана . Следовательно, g локально имеет примитив f , а u — действительная часть f с точностью до константы, поскольку ux _— действительная часть $f'=g.$

Хотя приведенное выше соответствие с голоморфными функциями справедливо только для функций двух действительных переменных, гармонические функции от n переменных все же обладают рядом свойств, типичных для голоморфных функций. Они (настоящие) аналитики; у них есть принцип максимума и принцип среднего значения; для них справедлива теорема об устранении особенностей, а также теорема Лиувилля по аналогии с соответствующими теоремами теории комплексных функций.

Свойства гармонических функций

Некоторые важные свойства гармонических функций можно вывести из уравнения Лапласа.

Теорема регулярности для гармонических функций

Гармонические функции бесконечно дифференцируемы в открытых множествах. На самом деле гармонические функции действительно аналитичны .

Принцип максимума

Гармонические функции удовлетворяют следующему принципу максимума : если K непустое компактное подмножество U достигает , то f ограниченное K, своего максимума и минимума на границе K. , — Если U связен не может иметь локальных максимумов или , это означает, что f минимумов, за исключением исключительного случая, когда f является постоянным . Аналогичные свойства можно показать и для субгармонических функций .

Свойство среднего значения

Если B ( x , r ) — шар с центром x и радиусом r , который полностью содержится в открытом множестве $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n},$ тогда значение u ( x ) гармонической функции $u:\Omega \to \mathbb {R}$ в центре шара определяется средним значением u на поверхности шара; это среднее значение также равно среднему значению u внутри шара. Другими словами, $$u(x)={\frac {1}{n\omega _{n}r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}u\,d\sigma ={\frac {1}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x,r)}u\,dV$$где ω _n — объем единичного шара в n измерениях, а σ — ( n − 1) -мерная поверхностная мера.

И наоборот, все локально интегрируемые функции, удовлетворяющие свойству (объемного) среднего значения, одновременно бесконечно дифференцируемы и гармоничны.

С точки зрения сверток , если $$\chi _{r}:={\frac {1}{|B(0,r)|}}\chi _{B(0,r)}={\frac {n}{\omega _{n}r^{n}}}\chi _{B(0,r)}$$обозначает характеристическую функцию шара радиуса r относительно начала координат, нормированную так, что ${\textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{r}\,dx=1,}$ функция u гармонична на Ω тогда и только тогда, когда $$u(x)=u*\chi _{r}(x)\;$$как только $B(x,r)\subset \Omega .$

Эскиз доказательства. Доказательство свойства среднего значения гармонических функций и его обратного следует сразу за наблюдением, что неоднородное уравнение для любого 0 < s < r $$\Delta w=\chi _{r}-\chi _{s}\;$$допускает простое явное решение w _r,s класса C ^1,1 с компактным носителем в B (0, r ) . Таким образом, если u гармонична в Ω $$0=\Delta u*w_{r,s}=u*\Delta w_{r,s}=u*\chi _{r}-u*\chi _{s}\;$$выполняется в множестве Ω _r всех точек x в Ω с $\operatorname {dist} (x,\partial \Omega )>r.$

Поскольку u непрерывна в Ω , $u*\chi _{s}$ сходится к u при s → 0, показывая свойство среднего значения для u в Ω . И наоборот, если u любой $L_{\mathrm {loc} }^{1}\;$ функция, удовлетворяющая свойству среднего значения в Ω , то есть $$u*\chi _{r}=u*\chi _{s}\;$$выполняется в Ω _r для всех 0 < s < r, тогда, повторяя m раз свертку с χ _r, получаем: $$u=u*\chi _{r}=u*\chi _{r}*\cdots *\chi _{r}\,,\qquad x\in \Omega _{mr},$$так что ты есть $C^{m-1}(\Omega _{mr})\;$ поскольку m -кратная итерационная свертка χ _r имеет класс $C^{m-1}\;$ с опорой B (0, mr ) . Поскольку r и m произвольны u , $C^{\infty }(\Omega )\;$ слишком. Более того, $$\Delta u*w_{r,s}=u*\Delta w_{r,s}=u*\chi _{r}-u*\chi _{s}=0\;$$для всех 0 < s < r так, что ∆ u = 0 в Ω согласно фундаментальной теореме вариационного исчисления, доказывающей эквивалентность между гармоничностью и свойством среднего значения.

Это утверждение о свойстве среднего значения можно обобщить следующим образом: если h — любая сферически симметричная функция, поддерживаемая в B ( x , r ), такая, что ${\textstyle \int h=1,}$ затем $u(x)=h*u(x).$ Другими словами, мы можем взять средневзвешенное значение u относительно точки и восстановить u ( x ) . В частности, взяв h в качестве C ^∞ функции, мы можем восстановить значение u в любой точке, даже если мы знаем только, как u действует как распределение . См . лемму Вейля .

Неравенство Гарнака

Позволять $$V\subset {\overline {V}}\subset \Omega$$— связное множество в ограниченной области Ω .Тогда для любой неотрицательной гармонической u функции Неравенство Гарнака $$\sup _{V}u\leq C\inf _{V}u$$выполняется для некоторой константы C , зависящей только от V и Ω .

Удаление особенностей

Для гармонических функций справедлив следующий принцип устранения особенностей. Если f - гармоническая функция, определенная на точечном открытом подмножестве $\Omega \smallsetminus \{x_{0}\}$ из ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$⁠ , которое менее сингулярно в точке x _0, чем фундаментальное решение (при n > 2 ), то есть $$f(x)=o\left(\vert x-x_{0}\vert ^{2-n}\right),\qquad {\text{as }}x\to x_{0},$$тогда f продолжается до гармонической функции на Ω (ср. теорему Римана для функций комплексной переменной).

Теорема Лиувилля

Теорема : Если f — гармоническая функция, определенная на всех ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$⁠ который ограничен сверху или ограничен снизу, то f является постоянным.

(Сравните теорему Лиувилля для функций комплексной переменной ).

Эдвард Нельсон дал особенно краткое доказательство этой теоремы для случая ограниченных функций: используя упомянутое выше свойство среднего значения:

По двум точкам выберите два шара с центрами данных точек и одинакового радиуса. Если радиус достаточно велик, два шара совпадут, за исключением сколь угодно малой доли их объема. Поскольку f ограничено, его средние значения по двум шарам сколь угодно близки, и поэтому f принимает одно и то же значение в любых двух точках.

Доказательство можно адаптировать к случаю, когда гармоническая функция f ограничена лишь сверху или снизу. Добавляя константу и, возможно, умножая ее на –1, мы можем предположить, что f неотрицательна. Тогда для любых двух точек x и y и любого положительного числа R положим $r=R+d(x,y).$ Затем рассмотрим шары BR ₍ ( x ) и Br _. ) y , где по неравенству треугольника первый шар содержится во втором

В силу свойства усреднения и монотонности интеграла имеем $$f(x)={\frac {1}{\operatorname {vol} (B_{R})}}\int _{B_{R}(x)}f(z)\,dz\leq {\frac {1}{\operatorname {vol} (B_{R})}}\int _{B_{r}(y)}f(z)\,dz.$$(Обратите внимание, что поскольку vol B _R ( x ) не зависит от x , мы обозначаем его просто как vol B _R .) В последнем выражении мы можем умножать и делить на vol B _r и снова использовать свойство усреднения, чтобы получить $$f(x)\leq {\frac {\operatorname {vol} (B_{r})}{\operatorname {vol} (B_{R})}}f(y).$$Но как $R\rightarrow \infty ,$ количество $${\frac {\operatorname {vol} (B_{r})}{\operatorname {vol} (B_{R})}}={\frac {\left(R+d(x,y)\right)^{n}}{R^{n}}}$$ стремится к 1. Таким образом, $f(x)\leq f(y).$ Тот же аргумент с обратными ролями x и y показывает, что $f(y)\leq f(x)$, так что $f(x)=f(y).$

Другое доказательство использует тот факт, что для данного броуновского движения B _t в ⁠ $\mathbb {R} ^{n},$⁠ такой, что $B_{0}=x_{0},$ у нас есть $E[f(B_{t})]=f(x_{0})$ для всех t ≥ 0 . Проще говоря, это говорит о том, что гармоническая функция определяет мартингал для броуновского движения. Затем о вероятностной связи . доказательство завершается рассуждением

Обобщения

Слабогармоническая функция

Функция (или, в более общем смысле, распределение ) является слабогармонической , если она удовлетворяет уравнению Лапласа $$\Delta f=0\,$$в слабом смысле (или, что то же самое, в смысле распределений). Слабогармоническая функция почти всюду совпадает с сильногармонической функцией и, в частности, является гладкой. Слабогармоническое распределение — это в точности распределение, связанное с сильно гармонической функцией, поэтому оно также является гладким. Это лемма Вейля .

Существуют и другие слабые формулировки уравнения Лапласа, которые часто бывают полезны. Одним из которых является принцип Дирихле , представляющий гармонические функции в пространстве Соболева H ¹ (Ω) как минимизаторы энергии Дирихле интеграла $$J(u):=\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,dx$$относительно локальных вариаций, т. е. все функции $u\in H^{1}(\Omega )$ такой, что $J(u)\leq J(u+v)$ держится для всех $v\in C_{c}^{\infty }(\Omega ),$ или, что то же самое, для всех $v\in H_{0}^{1}(\Omega ).$

Гармонические функции на многообразиях

Гармонические функции можно определить на произвольном римановом многообразии с помощью оператора Лапласа–Бельтрами ∆ . В этом контексте функция называется гармонической, если $$\ \Delta f=0.$$Многие свойства гармонических функций в областях евклидова пространства переносятся на эту более общую постановку, включая теорему о среднем значении (по геодезическим шарам), принцип максимума и неравенство Гарнака. За исключением теоремы о среднем, это простые следствия соответствующих результатов для общих линейных эллиптических уравнений в частных производных второго порядка.

Субгармонические функции

А С ² функция, удовлетворяющая условию Δ f ≥ 0, называется субгармонической. Это условие гарантирует выполнение принципа максимума, хотя другие свойства гармонических функций могут нарушиться. В более общем смысле, функция является субгармонической тогда и только тогда, когда внутри любого шара в ее области определения ее график лежит ниже графика гармонической функции, интерполирующей ее граничные значения на шаре.

Гармонические формы

Одним из обобщений изучения гармонических функций является изучение гармонических форм на римановых многообразиях , и оно связано с изучением когомологий . Кроме того, можно определить гармонические векторные функции или гармонические отображения двух римановых многообразий, которые являются критическими точками обобщенного функционала энергии Дирихле (это включает в себя гармонические функции как частный случай, результат, известный как принцип Дирихле ). Такого рода гармонические отображения появляются в теории минимальных поверхностей. Например, кривая, то есть карта из интервала в ⁠ $\mathbb {R}$⁠ на риманово многообразие является гармоническим отображением тогда и только тогда, когда оно является геодезической .

Гармонические карты между многообразиями

Основная статья: Гармоническая карта

Если M и N — два римановых многообразия, то гармоническое отображение $u:M\to N$ определяется как критическая точка энергии Дирихле $$D[u]={\frac {1}{2}}\int _{M}\left\|du\right\|^{2}\,d\operatorname {Vol}$$в котором $du:TM\to TN$ является дифференциалом u , а норма - это метрика, индуцированная метрикой на M и метрикой N на расслоении тензорных произведений $T^{\ast }M\otimes u^{-1}TN.$

Важные частные случаи гармонических отображений между многообразиями включают минимальные поверхности , которые представляют собой в точности гармонические погружения поверхности в трехмерное евклидово пространство. В более общем смысле, минимальные подмногообразия — это гармонические погружения одного многообразия в другое. Гармонические координаты — это гармонический диффеоморфизм многообразия открытому подмножеству евклидова пространства той же размерности.

См. также

• Балаяж
• Бигармоническая карта
• Задача Дирихле
• Гармонический морфизм
• Гармонический полином
• Уравнение теплопроводности
• Уравнение Лапласа для безвихревого течения
• Уравнение Пуассона
• Квадратурные домены

Ссылки

• Эванс, Лоуренс К. (1998), Уравнения в частных производных , Американское математическое общество .
• Гилбарг, Дэвид ; Трудингер, Нил (12 января 2001 г.), Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка , ISBN  3-540-41160-7 .
• Хан, К.; Лин, Ф. (2000), Эллиптические уравнения в частных производных , Американское математическое общество .
• Йост, Юрген (2005), Риманова геометрия и геометрический анализ (4-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-25907-7 .
• Экслер, Шелдон; Бурдон, Поль; Рэми, Уэйд (2001), Теория гармонических функций , том. 137 (второе изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, номер документа : 10.1007/978-1-4757-8137-3 , ISBN.  0-387-95218-7 .

Внешние ссылки

• «Гармоническая функция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Гармоническая функция» . Математический мир .
• Теория гармонических функций С.Акслера, Пола Бурдона и Уэйда Рэми