Бигармоническая карта

В математической области дифференциальной геометрии бигармоническое отображение — это отображение между римановыми или псевдоримановыми многообразиями четвертого порядка , которое удовлетворяет некоторому уравнению в частных производных . Бигармоническое подмногообразие относится к вложению или погружению в риманово или псевдориманово многообразие, которое является бигармоническим отображением, когда область снабжена своей индуцированной метрикой. Проблема понимания бигармонических карт была поставлена ​​Джеймсом Илсом и Люком Лемером в 1983 году. Изучение гармонических карт , результатом которого является изучение бигармонических карт (любая гармоническая карта также является бигармонической картой), было (и остается) активной областью исследований в течение предыдущих двадцати лет. Простой случай бигармонических отображений дают бигармонические функции .

Определение

Учитывая римановы или псевдоримановы многообразия ( M , g ) и ( N , h ) , отображение f из M в N , которое дифференцируемо не менее четырех раз, называется бигармоническим отображением, если $$\Delta \Delta f+\sum _{i=1}^{m}R^{h}{\big (}\Delta f,df(e_{i}),df(e_{i}){\big )}=0;$$для любой точки p из M каждая сторона этого уравнения является элементом касательного пространства к N в точке f ( p ) . Другими словами, приведенное выше уравнение представляет собой равенство сечений векторного расслоения f ^* ТН → М . уравнении e ₁ , ..., em _В — произвольный g -ортонормированный базис касательного пространства к M и R. ^час является тензором кривизны Римана , следуя соглашению R ( ты , v , ш ) знак равно ∇ _ты ∇ _v ш - ∇ _v ∇ _ты ш - ∇ _{[ ты , v ]} ш . Величина ∆ f является «полем напряженности» или «лапласианом» f , как это было введено Иллсом и Сэмпсоном при изучении гармонических отображений.

С точки зрения операций следа , внутреннего произведения и обратного преобразования уравнение бигармонического отображения можно записать как $$\Delta \Delta f+\operatorname {tr} _{g}{\Big (}f^{\ast }{\big (}\iota _{\Delta f}R^{h}{\big )}{\Big )}=0.$$В местных координатах x ^я для M и локальных координат y ^а для N уравнение бигармонического отображения записывается как $$g^{ij}\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial (\Delta f)^{\alpha }}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{j}}}\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }(\Delta f)^{\gamma }\right)-\Gamma _{ij}^{k}\left({\frac {\partial (\Delta f)^{\alpha }}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{k}}}\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }(\Delta f)^{\gamma }\right)+{\frac {\partial f^{\delta }}{\partial x^{i}}}\Gamma _{\delta \epsilon }^{\alpha }\left({\frac {\partial (\Delta f)^{\epsilon }}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{j}}}\Gamma _{\beta \gamma }^{\epsilon }(\Delta f)^{\gamma }\right)\right)+g^{ij}R_{\beta \gamma \delta }^{\alpha }(\Delta f)^{\beta }{\frac {\partial f^{\gamma }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial f^{\delta }}{\partial x^{j}}}=0,$$в котором соглашение Эйнштейна о суммировании используется со следующими определениями символов Кристоффеля , тензора кривизны Римана и поля натяжения : $${\begin{aligned}\Gamma _{ij}^{k}&={\frac {1}{2}}g^{kl}\left({\frac {\partial g_{jl}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{il}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{l}}}\right)\\\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }&={\frac {1}{2}}h^{\alpha \delta }\left({\frac {\partial h_{\gamma \delta }}{\partial y^{\beta }}}+{\frac {\partial h_{\beta \delta }}{\partial y^{\gamma }}}-{\frac {\partial h_{\beta \gamma }}{\partial y^{\delta }}}\right)\\R_{\beta \gamma \delta }^{\alpha }&={\frac {\partial \Gamma _{\gamma \delta }^{\alpha }}{\partial y^{\beta }}}-{\frac {\partial \Gamma _{\beta \delta }^{\alpha }}{\partial y^{\gamma }}}+\Gamma _{\beta \rho }^{\alpha }\Gamma _{\gamma \delta }^{\rho }-\Gamma _{\gamma \rho }^{\alpha }\Gamma _{\beta \delta }^{\rho }\\\left(\Delta f\right)^{\alpha }&=g^{ij}\left({\frac {\partial ^{2}f^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}-\Gamma _{ij}^{k}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{i}}}\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {\partial f^{\gamma }}{\partial x^{j}}}\right).\end{aligned}}$$Из любого из этих представлений уравнения ясно, что любое гармоническое отображение автоматически является бигармоническим. По этой причине правильное бигармоническое отображение относится к бигармоническому отображению, которое не является гармоническим.

В специальном случае, когда f является (псевдо)римановым погружением, что означает, что это погружение и что g равно индуцированной метрике f ^* h , говорят, что имеется бигармоническое подмногообразие вместо бигармонического отображения . Поскольку вектор средней кривизны f M равен лапласиану f : f , ( ^* h ) → ( N , h ) известно, что погружение минимально тогда и только тогда, когда оно гармоническое. В частности, любое минимальное погружение автоматически является бигармоническим подмногообразием. Собственное бигармоническое подмногообразие — это бигармоническое подмногообразие, которое не является минимальным.

Мотивацией для уравнения бигармонического отображения является биэнергетический функционал $$E_{2}(f)={\frac {1}{2}}\,\int _{M}\left|\Delta f\right|_{h}^{2}\,dv_{g},$$в ситуации, когда и оба M замкнуто g h римановы ; и dv _g объема обозначает меру на $M$ индуцированный g . Иллс и Лемэр в 1983 году предложили исследование критических точек этого функционала. Го Ин Цзян в 1986 году вычислил свою первую формулу вариаций, тем самым найдя приведенное выше уравнение бигармонического отображения как соответствующее уравнение Эйлера-Лагранжа. Гармонические карты соответствуют критическим точкам, для которых биоэнергетический функционал принимает минимально возможное значение, равное нулю.

Примеры и классификация

ряд примеров бигармонических карт, таких как инверсии стереографических проекций в частном случае четырех измерений и инверсии проколотого евклидова пространства . Известен Существует много примеров бигармонических подмногообразий, таких как (для любого k ) обобщенный тор Клиффорда . $$\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+2}:x_{1}^{2}+\cdots +x_{k+1}^{2}=x_{k+2}^{2}+\cdots +x_{n+2}^{2}={\frac {1}{2}}\right\},$$как подмногообразие ( n + 1) -сферы. Оно минимально тогда и только тогда, когда n четно и равно 2 k .

Бигармонические кривые в трехмерных пространственных формах можно изучать с помощью уравнений Френе . Отсюда легко следует, что каждая бигармоническая кривая с постоянной скоростью в трехмерном пространстве неположительной кривизны должна быть геодезической. Любые бигармонические кривые с постоянной скоростью в круглой трехмерной сфере S ³ можно рассматривать как решение некоторого линейного обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка с постоянными коэффициентами для R ⁴ -значная функция. Таким образом, ситуацию можно полностью проанализировать, в результате чего любая такая кривая с точностью до изометрии сферы:

• параметризация постоянной скорости пересечения S ³ ⊂ Р ⁴ с двумерным линейным подпространством R × R × {0} × {0}
• параметризация постоянной скорости пересечения S ³ ⊂ Р ⁴ с двумерным аффинным подпространством R × R × { d ₁ } × { d ₂ } , для любого выбора ( d ₁ , d ₂ ) , который находится на окружности радиуса 2 ^−1/2 вокруг начала координат в R ²
• репараметризация с постоянной скоростью $$t\mapsto {\Big (}{\frac {\cos at}{\sqrt {2}}},{\frac {\sin at}{\sqrt {2}}},{\frac {\cos bt}{\sqrt {2}}},{\frac {\sin bt}{\sqrt {2}}}{\Big )}$$ для любого ( a , b ) на окружности радиуса 2 ^1/2 вокруг начала координат в R ² .

В частности, каждая бигармоническая кривая с постоянной скоростью в S ³ имеет постоянную геодезическую кривизну .

В результате чисто локального изучения уравнений Гаусса-Кодацци и уравнения бигармонического отображения любая связная бигармоническая поверхность в S ³ должна иметь постоянную среднюю кривизну. Если она не равна нулю (так что поверхность не минимальна), то вторая фундаментальная форма должна иметь постоянную длину, равную 2 ^1/2 , как следует из уравнения бигармонического отображения. Поверхности с такими строгими геометрическими условиями можно полностью классифицировать, в результате чего любая связная бигармоническая поверхность в S ³ должна быть либо локально (с точностью до изометрии) частью гиперсферы $$\left\{{\Big (}(w,x,y,{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big )}:w^{2}+x^{2}+y^{2}={\frac {1}{2}}\right\},$$или минимальный. Аналогично любая бигармоническая гиперповерхность евклидова пространства , имеющая постоянную среднюю кривизну, должна быть минимальной.

Го Ин Цзян показал, что если g и h римановы, и если M замкнуто и h имеет неположительную секционную кривизну , то отображение из ( M , g ) в ( N , h ) является бигармоническим тогда и только тогда, когда оно гармоническое. Доказательство состоит в том, чтобы показать, что в силу предположения о секционной кривизне лапласиан |∆ f | ² неотрицательен, и в этот момент применяется принцип максимума . Этот результат и доказательство можно сравнить с теоремой об исчезновении Иллса и Сэмпсона, которая гласит, что если дополнительно кривизна Риччи g неотрицательна , то отображение ( M , g ) в ( N , h ) является гармоничным тогда и только тогда, когда оно полностью геодезический . Как частный случай результата Цзяна, замкнутое подмногообразие риманова многообразия неположительной секционной кривизны является бигармоническим тогда и только тогда, когда оно минимально. выдвинули гипотезу о Частично на основе этих результатов Р. Каддео, С. Монтальдо и К. Оничук том, что каждое бигармоническое подмногообразие риманова многообразия неположительной секционной кривизны должно быть минимальным. Однако теперь известно, что это ложь. Частный случай подмногообразий евклидова пространства — это старая гипотеза Бан-Йен Чена . Гипотеза Чена была доказана в ряде геометрически частных случаев.

Ссылки

Библиография

Книги и обзоры

• Чен, Бан-Йен (2011). Псевдориманова геометрия, δ-инварианты и приложения . С предисловием Леопольда Верстралена. Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific . дои : 10.1142/9789814329644 . ISBN  978-981-4329-63-7 . МР   2799371 . Збл   1245.53001 .
• Чен, Бан-Йен (2015). Полная средняя кривизна и подмногообразия конечного типа . Серия по чистой математике. Том. 27. С предисловием Леопольда Верстралена (второе издание оригинальной редакции 1984 г.). Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific . дои : 10.1142/9237 . ISBN  978-981-4616-69-0 . МР   3362186 . Збл   1326.53004 .
• Иллс, Джеймс ; Лемэр, Люк (1983). Избранные темы в гармонических картах . Серия региональных конференций CBMS по математике. Том. 50. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . дои : 10.1090/cbms/050 . ISBN  0-8218-0700-5 . МР   0703510 . Збл   0515.58011 .

Статьи

• Каддео, Р.; Монтальдо, С.; Оничук, К. (2001). «Бигармонические подмногообразия S ³ ". Международный журнал математики . 12 (8): 867–876. : 10.1142 /S0129167X01001027 . MR   1863283. . Zbl   1111.53302 doi
• Каддео, Р.; Монтальдо, С.; Оничук, К. (2002). «Бигармонические подмногообразия в сферах». Израильский математический журнал . 130 : 109–123. дои : 10.1007/BF02764073 . МР   1919374 . Збл   1038.58011 .
• Чен, Бан-Йен (1991). «Некоторые открытые проблемы и гипотезы о подмногообразиях конечного типа» . Сучжоуский математический журнал . 17 (2): 169–188. МР   1143504 . Збл   0749.53037 .
• Чен, Бан-Йен (1996). «Доклад о подмногообразиях конечного типа» . Сучжоуский математический журнал . 22 (2): 117–337. МР   1391469 . Збл   0867.53001 .
• Иллс, Джеймс младший ; Сэмпсон, Дж. Х. (1964). «Гармонические отображения римановых многообразий». Американский журнал математики . 86 (1): 109–160. дои : 10.2307/2373037 . МР   0164306 . Збл   0122.40102 .
• Цзян, Го Ин (1986). «2-гармонические отображения и их первая и вторая вариационные формулы». Китайские анналы математики, серия А (на китайском языке). 7 (4): 389–402. МР   0886529 . Збл   0628.58008 .
  - (2009). «2-гармонические отображения и их первая и вторая вариационные формулы» . Примечание по математике . 28 (1). Перевод Уракавы, Хадзиме: 209–232. дои : 10.1285/i15900932v28n1supplp209 . МР   2640582 . Збл   1200.58015 .
• Монтальдо, С.; Оничук, К. (2006). «Краткий обзор бигармонических отображений римановых многообразий» (PDF) . Обзор математического союза Аргентины . 47 (2): 1–22. МР   2301373 . Збл   1140.58004 .