Уравнение Лапласа для безвихревого течения

Безвихревое течение возникает там, где ротор скорости жидкости везде равен нулю. Вот когда $\nabla \times {\vec {v}}=0$

Аналогично, если предположить, что жидкость несжимаема: $\rho (x,y,z,t)=\rho {\text{ (a constant)}}$

Тогда, начиная с уравнения неразрывности : ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\vec {v}})=0$

Условие несжимаемости означает, что производная плотности по времени равна 0 и что плотность можно вытащить из дивергенции и разделить, оставив таким образом уравнение неразрывности для несжимаемой системы: $\nabla \cdot {\vec {v}}=0$

Теперь разложение Гельмгольца можно использовать для записи скорости как суммы градиента скалярного потенциала и ротора векторного потенциала. То есть: ${\vec {v}}=-\nabla \phi +\nabla \times {\vec {A}}$

Обратите внимание, что наложение условия, что $\nabla \times {\vec {v}}=0$ подразумевает, что $\nabla \times (\nabla \times {\vec {A}})=0$

Ротор градиента всегда равен 0. Обратите внимание, что ротор градиента функции равен 0 только равномерно, если векторный потенциал сам равен 0. Итак, по условию безвихревого течения: ${\vec {v}}=-\nabla \phi$

И тогда, используя уравнение неразрывности $\nabla \cdot {\vec {v}}=0$ , скалярный потенциал можно снова подставить, чтобы найти уравнение Лапласа для безвихревого потока:

$\nabla ^{2}\phi =0\,$

Обратите внимание, что уравнение Лапласа представляет собой хорошо изученное линейное уравнение в частных производных. Его решения бесконечны; однако от большинства решений можно отказаться при рассмотрении физических систем, поскольку граничные условия полностью определяют потенциал скорости .

Примеры общих граничных условий включают скорость жидкости, определяемую формулой ${\vec {v}}=-\nabla \phi$ , равный 0 на границах системы.

При решении этого уравнения в целом существует большое совпадение с электромагнетизмом , поскольку уравнение Лапласа также моделирует электростатический потенциал в вакууме. ^[1]

Есть много причин для изучения безвихревого потока, среди них;

Многие реальные задачи содержат большие области безвихревого потока.
Его можно изучить аналитически.
Это показывает нам важность пограничных слоев и сил вязкости .
Он предоставляет нам инструменты для изучения концепций подъемной силы и сопротивления .

См. также

Ссылки

^ Лекции Фейнмана по физике Том. II гл. 12: Электростатические аналоги

[1] Лекции Фейнмана по физике Том. II гл. 12: Электростатические аналоги

[1]