Теорема о положительной энергии

Теорема о положительной энергии (также известная как теорема о положительной массе ) относится к набору фундаментальных результатов в общей теории относительности и дифференциальной геометрии . Его стандартная форма, вообще говоря, утверждает, что гравитационная энергия изолированной системы неотрицательна и может быть равна нулю только тогда, когда в системе нет гравитирующих объектов. Хотя эти утверждения часто считаются имеющими в первую очередь физическую природу, их можно формализовать как математические теоремы , которые можно доказать с помощью методов дифференциальной геометрии , уравнений в частных производных и геометрической теории меры .

Ричард Шон и Шинг-Тунг Яу в 1979 и 1981 годах были первыми, кто дал доказательства теоремы о положительной массе. Эдвард Виттен в 1982 году дал наброски альтернативного доказательства, которые позже были строго дополнены математиками. Виттен и Яу были награждены медалью Филдса Частично за работу по этой теме по математике.

Неточная формулировка теоремы Шёна-Яу/Виттена о положительной энергии гласит следующее:

Учитывая асимптотически плоский набор исходных данных, можно определить энергию-импульс каждой бесконечной области как элемент пространства Минковского . При условии, что исходный набор данных геодезически полон и удовлетворяет доминирующему энергетическому условию , каждый такой элемент должен находиться в причинном будущем начала координат. Если какая-либо бесконечная область имеет нулевую энергию-импульс, то исходный набор данных тривиален в том смысле, что его можно геометрически вложить в пространство Минковского.

Значение этих терминов обсуждается ниже. Существуют альтернативные и неэквивалентные формулировки для разных понятий энергии-импульса и для разных классов исходных наборов данных. Не все эти формулировки были строго доказаны, и в настоящее время остается открытой проблема , справедлива ли приведенная выше формулировка для исходных наборов данных произвольной размерности.

Исторический обзор

Оригинальное доказательство теоремы о массе ADM было предоставлено Ричардом Шоном и Шинг-Тунг Яу в 1979 году с использованием вариационных методов и минимальных поверхностей . Эдвард Виттен дал еще одно доказательство в 1981 году, основанное на использовании спиноров , вдохновленное теоремами о положительной энергии в контексте супергравитации . Расширение теоремы для массы Бонди было дано Людвигсеном и Джеймсом Викерсом, Гэри Горовицем и Малкольмом Перри , а также Шоном и Яу.

Гэри Гиббонс , Стивен Хокинг , Горовиц и Перри доказали распространение теоремы на асимптотически антидеситтеровские пространства-времени и на теорию Эйнштейна-Максвелла . Масса асимптотически антидеситтеровского пространства-времени неотрицательна и равна нулю только для антидеситтеровского пространства-времени. В теории Эйнштейна – Максвелла для пространства-времени с электрическим зарядом $Q$ и магнитный заряд $P$, масса пространства-времени удовлетворяет (в гауссовых единицах )

$M\geq {\sqrt {Q^{2}+P^{2}}},$

с равенством для Маджумдара – Папапетру решений экстремальных черных дыр .

Исходные наборы данных

Исходный набор данных состоит из риманова многообразия ( M , g ) и симметричного 2-тензорного поля k на M . Говорят, что исходный набор данных ( M , g , k ) :

• симметричен по времени, если k равно нулю
• является максимальным , если tr ^г к = 0
• удовлетворяет условию доминирующей энергии, если

$R^{g}-|k|_{g}^{2}+(\operatorname {tr} _{g}k)^{2}\geq 2{\big |}\operatorname {div} ^{g}k-d(\operatorname {tr} _{g}k){\big |}_{g},$

где Р ^г обозначает кривизну g . скалярную

Обратите внимание, что симметричный по времени набор исходных данных ( M , g , 0) удовлетворяет доминирующему энергетическому условию тогда и только тогда, когда скалярная кривизна g неотрицательна. Говорят, что лоренцево многообразие ( M , g ) является развитием исходного набора данных ( M , g , k ), если существует (обязательно пространственноподобное) гиперповерхностное вложение M в M вместе с непрерывным единичным нормальным векторным полем, такой, что индуцированная метрика равна g , а вторая фундаментальная форма относительно заданной единичной нормали равна k .

Это определение основано на лоренцевой геометрии . Учитывая лоренцево многообразие ( M , g ) размерности n + 1 и пространственноподобное погружение f из связного n -мерного многообразия M в M , которое имеет тривиальное нормальное расслоение, можно рассмотреть индуцированную риманову метрику g = f ^* g, а также вторую фундаментальную форму k функции f относительно любого из двух вариантов непрерывного единичного нормального векторного поля вдоль f . Тройка ( M , g , k ) представляет собой исходный набор данных. Согласно уравнениям Гаусса-Кодацци , имеем

${\begin{aligned}{\overline {G}}(\nu ,\nu )&={\frac {1}{2}}{\Big (}R^{g}-|k|_{g}^{2}+(\operatorname {tr} ^{g}k)^{2}{\Big )}\\{\overline {G}}(\nu ,\cdot )&=d(\operatorname {tr} ^{g}k)-\operatorname {div} ^{g}k.\end{aligned}}$

где G обозначает тензор Эйнштейна Ric ^г - ⁠ 1 / 2 ⁠ R ^г g из g и ν обозначает непрерывное единичное нормальное векторное поле вдоль f, используемое для определения k . Таким образом, доминирующее энергетическое условие, приведенное выше, в этом лоренцевом контексте идентично утверждению, что G ( ν , ⋅) , если рассматривать его как векторное поле вдоль f , времениподобно или нулевое и ориентировано в том же направлении, что и ν .

Концы асимптотически плоских исходных наборов данных

В литературе существует несколько различных понятий «асимптотически плоских», которые не эквивалентны друг другу. Обычно его определяют в терминах весовых пространств Гёльдера или весовых пространств Соболева.

Однако есть некоторые особенности, общие практически для всех подходов. Рассматривается исходный набор данных ( M , g , k ), который может иметь или не иметь границу; пусть n обозначает его размерность. Требуется, чтобы существовало компактное подмножество K в M такое, что каждая компонента связности дополнения M − K диффеоморфна дополнению к замкнутому шару в евклидовом пространстве ℝ ^н . связности называются концами М. компоненты Такие

Официальные заявления

Шон и Яу (1979)

Пусть ( M , g , 0) будет симметричным по времени набором исходных данных, удовлетворяющим доминирующему энергетическому условию. Предположим, что ( M , g ) — ориентированное трехмерное гладкое риманово многообразие с краем и что каждый граничный компонент имеет положительную среднюю кривизну. Предположим, что он имеет один конец и асимптотически шварцшильдов в следующем смысле:

Предположим, что K — открытое предкомпактное подмножество M такое, что существует диффеоморфизм Φ : ℝ ³ − B ₁ (0) → M − K , и предположим, что существует число m такое, что симметричный 2-тензор

$h_{ij}=(\Phi ^{\ast }g)_{ij}-\delta _{ij}-{\frac {m}{2|x|}}\delta _{ij}$

на ℝ ³ − B ₁ (0) такова, что для любых i , j , p , q функции $|x|^{2}h_{ij}(x),$ $|x|^{3}\partial _{p}h_{ij}(x),$ и $|x|^{4}\partial _{p}\partial _{q}h_{ij}(x)$ все ограничены.

Теорема Шена и Яу утверждает, что m должно быть неотрицательным. Если, кроме того, функции $|x|^{5}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}h_{ij}(x),$ $|x|^{5}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}\partial _{s}h_{ij}(x),$ и $|x|^{5}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}\partial _{s}\partial _{t}h_{ij}(x)$ ограничены для любого $i,j,p,q,r,s,t,$ тогда m должно быть положительным, если только граница M не пуста и ( M , g ) изометрична ℝ ³ со своей стандартной римановой метрикой.

Обратите внимание, что условия для h утверждают, что h вместе с некоторыми из его производных малы, когда x велико. Поскольку h измеряет дефект между g в координатах Φ и стандартным представлением t = постоянного среза метрики Шварцшильда , эти условия являются количественной оценкой термина «асимптотически Шварцшильда». В чисто математическом смысле это можно интерпретировать как сильную форму «асимптотически плоской», где коэффициент при | х | ⁻¹ часть разложения метрики объявлена ​​постоянной кратной евклидовой метрики, в отличие от общего симметричного 2-тензора.

Обратите также внимание, что теорема Шена и Яу, как указано выше, на самом деле (несмотря на внешний вид) является сильной формой случая «множественных целей». Если ( M , g ) — полное риманово многообразие с кратными концами, то приведенный выше результат применим к любому единственному концу, при условии, что на каждом другом конце существует положительная сфера средней кривизны. Это гарантировано, например, если каждый конец асимптотически плоский в указанном выше смысле; можно выбрать большую координатную сферу в качестве границы и удалять соответствующий остаток каждого конца, пока не получится риманово многообразие с границей с единственным концом.

Шон и Яу (1981)

Пусть ( M , g , k ) будет исходным набором данных, удовлетворяющим доминирующему энергетическому условию. Предположим, что ( M , g ) — ориентированное трехмерное гладкое полное риманово многообразие (без края); предположим, что оно имеет конечное число концов, каждый из которых асимптотически плоский в следующем смысле.

Предположим, что $K\subset M$ является открытым предкомпактным подмножеством таким, что $M\smallsetminus K$ имеет конечное число компонент связности $M_{1},\ldots ,M_{n},$ и для каждого $i=1,\ldots ,n$ существует диффеоморфизм $\Phi _{i}:\mathbb {R} ^{3}\smallsetminus B_{1}(0)\to M_{i}$ такой, что симметричный 2-тензор $h_{ij}=(\Phi ^{\ast }g)_{ij}-\delta _{ij}$ удовлетворяет следующим условиям:

• $|x|h_{ij}(x),$ $|x|^{2}\partial _{p}h_{ij}(x),$ и $|x|^{3}\partial _{p}\partial _{q}h_{ij}(x)$ ограничены для всех $i,j,p,q.$

Также предположим, что

• $|x|^{4}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}$ и $|x|^{5}\partial _{p}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}$ ограничены для любого $p$
• $|x|^{2}(\Phi _{i}^{\ast }k)_{ij}(x),$ $|x|^{3}\partial _{p}(\Phi _{i}^{\ast }k)_{ij}(x),$ и $|x|^{4}\partial _{p}\partial _{q}(\Phi _{i}^{\ast }k)_{ij}(x)$ для любого $p,q,i,j$
• $|x|^{3}((\Phi _{i}^{\ast }k)_{11}(x)+(\Phi ^{\ast }k)_{22}(x)+(\Phi _{i}^{\ast }k)_{33}(x))$ ограничен.

Сделан вывод, что энергия ADM каждого $M_{1},\ldots ,M_{n},$ определяется как

${\text{E}}(M_{i})={\frac {1}{16\pi }}\lim _{r\to \infty }\int _{|x|=r}\sum _{p=1}^{3}\sum _{q=1}^{3}{\big (}\partial _{q}(\Phi _{i}^{\ast }g)_{pq}-\partial _{p}(\Phi _{i}^{\ast }g)_{qq}{\big )}{\frac {x^{p}}{|x|}}\,d{\mathcal {H}}^{2}(x),$

является неотрицательным. Кроме того, если предположить, что

• $|x|^{4}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}h_{ij}(x)$ и $|x|^{4}\partial _{p}\partial _{r}\partial _{s}\partial _{t}h_{ij}(x)$ ограничены для любого $i,j,p,q,r,s,$

предположение, что ${\text{E}}(M_{i})=0$ для некоторых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ следует, что n = 1 , что M диффеоморфно ℝ ³ , и это пространство Минковского ℝ ^3,1 является развитием исходного набора данных ( M , g , k ) .

Виттен (1981)

Позволять $(M,g)$ — ориентированное трехмерное гладкое полное риманово многообразие (без края). Позволять $k$ — гладкий симметричный 2-тензор на $M$ такой, что

$R^{g}-|k|_{g}^{2}+(\operatorname {tr} _{g}k)^{2}\geq 2{\big |}\operatorname {div} ^{g}k-d(\operatorname {tr} _{g}k){\big |}_{g}.$

Предположим, что $K\subset M$ является открытым предкомпактным подмножеством таким, что $M\smallsetminus K$ имеет конечное число компонент связности $M_{1},\ldots ,M_{n},$ и для каждого $\alpha =1,\ldots ,n$ существует диффеоморфизм $\Phi _{\alpha }:\mathbb {R} ^{3}\smallsetminus B_{1}(0)\to M_{i}$ такой, что симметричный 2-тензор $h_{ij}=(\Phi _{\alpha }^{\ast }g)_{ij}-\delta _{ij}$ удовлетворяет следующим условиям:

• $|x|h_{ij}(x),$ $|x|^{2}\partial _{p}h_{ij}(x),$ и $|x|^{3}\partial _{p}\partial _{q}h_{ij}(x)$ ограничены для всех $i,j,p,q.$
• $|x|^{2}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{ij}(x)$ и $|x|^{3}\partial _{p}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{ij}(x),$ ограничены для всех $i,j,p.$

Для каждого $\alpha =1,\ldots ,n,$ определите энергию и линейный импульс ADM по формуле

${\text{E}}(M_{\alpha })={\frac {1}{16\pi }}\lim _{r\to \infty }\int _{|x|=r}\sum _{p=1}^{3}\sum _{q=1}^{3}{\big (}\partial _{q}(\Phi _{\alpha }^{\ast }g)_{pq}-\partial _{p}(\Phi _{\alpha }^{\ast }g)_{qq}{\big )}{\frac {x^{p}}{|x|}}\,d{\mathcal {H}}^{2}(x),$

${\text{P}}(M_{\alpha })_{p}={\frac {1}{8\pi }}\lim _{r\to \infty }\int _{|x|=r}\sum _{q=1}^{3}{\big (}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{pq}-{\big (}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{11}+(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{22}+(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{33}{\big )}\delta _{pq}{\big )}{\frac {x^{q}}{|x|}}\,d{\mathcal {H}}^{2}(x).$

Для каждого $\alpha =1,\ldots ,n,$ считай это вектором $({\text{P}}(M_{\alpha })_{1},{\text{P}}(M_{\alpha })_{2},{\text{P}}(M_{\alpha })_{3},{\text{E}}(M_{\alpha }))$ в пространстве Минковского. Вывод Виттена состоит в том, что для каждого $\alpha$ это обязательно непространственноподобный вектор, указывающий в будущее. Если этот вектор равен нулю для любого $\alpha ,$ затем $n=1,$ $M$ диффеоморфен $\mathbb {R} ^{3},$ и максимальное глобально-гиперболическое развитие исходного набора данных $(M,g,k)$ имеет нулевую кривизну.

Дополнения и примечания

Согласно приведенным выше утверждениям, вывод Виттена сильнее выводов Шена и Яу. Однако третья статья Шона и Яу показывает, что их результат 1981 года подразумевает результат Виттена, сохраняя лишь дополнительное предположение, что $|x|^{4}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}$ и $|x|^{5}\partial _{p}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}$ ограничены для любого $p.$ Следует также отметить, что результат Шена и Яу 1981 г. основан на их Результат 1979 г., доказывающийся от противного; поэтому их расширение результата 1981 года также находится в противоречии. Напротив, доказательство Виттена является логически прямым и показывает энергию ADM непосредственно как неотрицательную величину. Кроме того, доказательства Виттена по делу $\operatorname {tr} _{g}k=0$ может быть без особых усилий распространено на многообразия более высокой размерности при топологическом условии, что многообразие допускает спиновую структуру. Результат и доказательство Шена и Яу 1979 года можно распространить на случай любой размерности меньше восьми. Совсем недавно результат Виттена с использованием методов Шона и Яу (1981) был распространен на тот же контекст. Вкратце: следуя методам Шена и Яу, теорема о положительной энергии была доказана в размерности меньше восьми, а вслед за Виттеном она была доказана в любом измерении, но с ограничением на настройку спиновых многообразий.

По состоянию на апрель 2017 года Шен и Яу выпустили препринт, который доказывает общий случай многомерности в частном случае. $\operatorname {tr} _{g}k=0,$ без каких-либо ограничений по размерности или топологии. Однако он еще (по состоянию на май 2020 года) не появился в академическом журнале.

Приложения

• В 1984 году Шон использовал теорему о положительной массе в своей работе, завершившей решение проблемы Ямабе .
• Теорема о положительной массе использовалась Хьюбертом Бреем в доказательстве риманова неравенства Пенроуза .

Ссылки

• Шен, Ричард; Яу, Шинг-Тунг (1979). «О доказательстве гипотезы положительной массы в общей теории относительности» . Связь в математической физике . 65 (1): 45–76. Бибкод : 1979CMaPh..65...45S . дои : 10.1007/bf01940959 . ISSN   0010-3616 . S2CID   54217085 .
• Шен, Ричард; Яу, Шинг-Тунг (1981). «Доказательство теоремы о положительной массе. II» . Связь в математической физике . 79 (2): 231–260. Бибкод : 1981CMaPh..79..231S . дои : 10.1007/bf01942062 . ISSN   0010-3616 . S2CID   59473203 .
• Виттен, Эдвард (1981). «Новое доказательство теоремы о положительной энергии» . Связь в математической физике . 80 (3): 381–402. Бибкод : 1981CMaPh..80..381W . дои : 10.1007/bf01208277 . ISSN   0010-3616 . S2CID   1035111 .
• Людвигсен, М; Викерс, JAG (1 октября 1981 г.). «Позитивность массы Бонди». Журнал физики A: Математический и общий . 14 (10): Л389–Л391. Бибкод : 1981JPhA...14L.389L . дои : 10.1088/0305-4470/14/10/002 . ISSN   0305-4470 .
• Горовиц, Гэри Т.; Перри, Малкольм Дж. (08 февраля 1982 г.). «Гравитационная энергия не может стать отрицательной». Письма о физических отзывах . 48 (6): 371–374. Бибкод : 1982PhRvL..48..371H . дои : 10.1103/physrevlett.48.371 . ISSN   0031-9007 .
• Шен, Ричард; Яу, Шинг Тунг (8 февраля 1982 г.). «Доказательство того, что масса Бонди положительна». Письма о физических отзывах . 48 (6): 369–371. Бибкод : 1982PhRvL..48..369S . дои : 10.1103/physrevlett.48.369 . ISSN   0031-9007 .
• Гиббонс, ГВ; Хокинг, Юго-Запад; Горовиц, GT; Перри, MJ (1983). «Теоремы о положительной массе для черных дыр» . Связь в математической физике . 88 (3): 295–308. Бибкод : 1983CMaPh..88..295G . дои : 10.1007/BF01213209 . МР   0701918 . S2CID   121580771 .

Учебники

• Шоке-Брюа, Ивонн. Общая теория относительности и уравнения Эйнштейна. Оксфордские математические монографии. Oxford University Press, Оксфорд, 2009. xxvi+785 стр. ISBN   978-0-19-923072-3
• Уолд, Роберт М. Общая теория относительности. Издательство Чикагского университета, Чикаго, Иллинойс, 1984. xiii+491 стр. ISBN   0-226-87032-4