Борелевское функциональное исчисление

В функциональном анализе , разделе математики , функциональное исчисление Бореля — это функциональное исчисление (т. е. присвоение операторов коммутативных алгебр функциям, определенным на их спектрах ), имеющее особенно широкую область применения. Так, например, если T — оператор, применяя возведение в квадрат функции s → s ² на T дает оператор T ² . Используя функциональное исчисление для более крупных классов функций, мы можем, например, строго определить «квадратный корень» из (отрицательного) оператора Лапласа −Δ или экспоненциальной функции. $e^{it\Delta }.$

«Область действия» здесь означает тип функции оператора разрешенной . Функциональное исчисление Бореля является более общим, чем непрерывное функциональное исчисление , и его направленность отличается от голоморфного функционального исчисления .

Точнее, функциональное исчисление Бореля позволяет применять произвольную функцию Бореля к самосопряженному оператору способом, который обобщает применение полиномиальной функции .

Мотивация

Если T — самосопряженный оператор в конечномерном пространстве внутреннего произведения H , то H имеет ортонормированный базис { e ₁ ,..., e _ℓ }, состоящий из собственных векторов T , то есть $$Te_{k}=\lambda _{k}e_{k},\qquad 1\leq k\leq \ell .$$

для любого натурального числа n Таким образом , $$T^{n}e_{k}=\lambda _{k}^{n}e_{k}.$$

Если рассматривать только полиномы от T , то получается голоморфное функциональное исчисление . Это соотношение справедливо и для более общих функций от T . Учитывая борелевскую функцию h , можно определить оператор h ( T ), указав его поведение на основе: $$h(T)e_{k}=h(\lambda _{k})e_{k}.$$

Вообще говоря, любой самосопряженный оператор T оператору унитарно эквивалентен умножения; это означает, что для многих целей T можно рассматривать как оператор $$[T\psi ](x)=f(x)\psi (x)$$действуя на L ² некоторой меры пространства . Область определения T состоит из тех функций, выражение которых выше находится в L ² . В таком случае можно определить аналогично $$[h(T)\psi ](x)=[h\circ f](x)\psi (x).$$

Для многих технических целей предыдущая формулировка достаточно хороша. Однако желательно сформулировать функциональное исчисление таким образом, чтобы это не зависело от конкретного представления Т как оператора умножения. Именно это мы и сделаем в следующем разделе.

Ограниченное функциональное исчисление

Формально ограниченное борелевское функциональное исчисление самосопряженного оператора T в гильбертовом пространстве H представляет собой отображение, определенное в пространстве ограниченных комплекснозначных борелевских функций f на вещественной прямой: $${\begin{cases}\pi _{T}:L^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )\to {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\\f\mapsto f(T)\end{cases}}$$такие, что выполняются следующие условия

• π _T — сохраняющий инволюцию и сохраняющий единицу гомоморфизм кольца комплекснозначных ограниченных измеримых функций на R .
• Если ξ — элемент H , то $$\nu _{\xi }:E\mapsto \langle \pi _{T}(\mathbf {1} _{E})\xi ,\xi \rangle$$ является счетно-аддитивной мерой на борелевских множествах E группы R . В приведенной выше формуле 1 _E обозначает индикаторную E функцию . Эти меры ν _{называются} спектральными мерами T ξ .
• Если η обозначает отображение z → z на C , то: $$\pi _{T}\left([\eta +i]^{-1}\right)=[T+i]^{-1}.$$

Теорема . Любой самосопряженный оператор T имеет единственное функциональное борелевское исчисление.

Это определяет функциональное исчисление для ограниченных функций, применяемое к возможно неограниченным самосопряженным операторам. Используя ограниченное функциональное исчисление, можно доказать часть теоремы Стоуна об однопараметрических унитарных группах :

Теорема . Если A — самосопряженный оператор, то $$U_{t}=e^{itA},\qquad t\in \mathbb {R}$$— 1-параметрическая сильно непрерывная унитарная группа, инфинитезимальным генератором которой является iA .

В качестве приложения мы рассматриваем уравнение Шрёдингера или, что то же самое, динамику квантово-механической системы. В нерелятивистской квантовой механике оператор моделирует H S. полную энергию наблюдаемую квантовой механической гамильтонов системы Унитарная группа, порожденная , соответствует временной эволюции S. iH

Мы также можем использовать функциональное исчисление Бореля для абстрактного решения некоторых линейных задач с начальными значениями, таких как уравнение теплопроводности или уравнения Максвелла.

Существование функционального исчисления

Существование отображения со свойствами функционального исчисления требует доказательства. Для случая ограниченного самосопряженного оператора T существование борелевского функционального исчисления элементарно можно показать следующим образом:

Сначала перейдите от полиномиального к непрерывному функциональному исчислению, используя теорему Стоуна – Вейерштрасса . для ограниченного самосопряженного оператора T и многочлена p Важным фактом здесь является то, что $$\|p(T)\|=\sup _{\lambda \in \sigma (T)}|p(\lambda )|.$$

Следовательно, отображение $$p\mapsto p(T)$$является изометрией и плотно определенным гомоморфизмом на кольце полиномиальных функций. Расширение по непрерывности определяет f ( T ) для непрерывной функции f спектре T. в Тогда теорема Рисса -Маркова позволяет перейти от интегрирования по непрерывным функциям к спектральным мерам , и это функциональное исчисление Бореля.

Альтернативно, непрерывное исчисление может быть получено с помощью преобразования Гельфанда в контексте коммутативных банаховых алгебр. Расширение до измеримых функций достигается применением Рисса-Маркова, как указано выше. В этой формулировке T может быть нормальным оператором .

Для данного оператора T областью непрерывного функционального исчисления h → h ( T ) является (абелева) C*-алгебра C ( T порожденная T. ) , Функциональное исчисление Бореля имеет более широкий диапазон, то есть замыкание C ( T ) в слабой операторной топологии , (еще абелевой) алгебры фон Неймана .

Общее функциональное исчисление

См. Также: Операционное исчисление

Мы также можем определить функциональное исчисление для не обязательно ограниченных борелевских функций h ; в результате получается оператор, который, вообще говоря, не может быть ограничен. Используя умножение на функцию f модели самосопряженного оператора, заданного спектральной теоремой, это умножение на композицию h с f .

Теорема . Пусть T — самосопряженный оператор на H , h — борелевская функция на R. действительная Существует единственный оператор S такой, что $$\operatorname {dom} S=\left\{\xi \in H:h\in L_{\nu _{\xi }}^{2}(\mathbb {R} )\right\}$$$$\langle S\xi ,\xi \rangle =\int _{\mathbb {R} }h(t)\ d\nu _{\xi }(t),\quad {\text{for}}\quad \xi \in \operatorname {dom} S$$

Оператор S предыдущей теоремы обозначается h ( T ).

В более общем смысле, функциональное исчисление Бореля также существует для (ограниченных) нормальных операторов.

Разрешение личности

Позволять $T$ быть самосопряженным оператором. Если $E$ является борелевским подмножеством R и $\mathbf {1} _{E}$ является индикаторной функцией E тогда , $\mathbf {1} _{E}(T)$ является самосопряженным проектором на H . Затем отображение $$\Omega _{T}:E\mapsto \mathbf {1} _{E}(T)$$является проекционнозначной мерой . Мера R относительно ${\textstyle \Omega _{T}}$ является тождественным оператором в H . Другими словами, тождественный оператор можно выразить как спектральный интеграл

$I=\Omega _{T}([-\infty ,\infty ])=\int _{-\infty }^{\infty }d\Omega _{T}$.

Формула Стоуна выражает спектральную меру $\Omega _{T}$ с точки зрения резольвенты $R_{T}(\lambda )\equiv \left(T-\lambda I\right)^{-1}$:

${\frac {1}{2\pi i}}\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}\left[R_{T}(\lambda +i\epsilon ))-R_{T}(\lambda -i\epsilon )\right]\,d\lambda =\Omega _{T}((a,b))+{\frac {1}{2}}\left[\Omega _{T}(\{a\})+\Omega _{T}(\{b\})\right].$

В зависимости от источника разрешение идентичности определяется либо как проекционная мера. $\Omega _{T}$, или как однопараметрическое семейство проекционных мер $\{\Sigma _{\lambda }\}$ с $-\infty <\lambda <\infty$.

В случае дискретной меры (в частности, когда H конечномерно) ${\textstyle I=\int 1\,d\Omega _{T}}$ можно записать как $$I=\sum _{i}\left|i\right\rangle \left\langle i\right|$$в обозначениях Дирака, где каждый $|i\rangle$ является нормализованным собственным вектором T . Набор $\{|i\rangle \}$ является ортонормированным базисом H .

В физической литературе, используя вышеизложенное в качестве эвристики, переходят к случаю, когда спектральная мера больше не является дискретной, и записывают разрешение тождества как $$I=\int \!\!di~|i\rangle \langle i|$$и говорить о «непрерывном базисе» или «континууме базисных состояний», $\{|i\rangle \}$ Математически, если не будут даны строгие обоснования, это выражение является чисто формальным.