Теорема о представлении Рисса–Маркова–Какутани

Не путать с теоремой о представлении Рисса или теоремой Маркова – Какутани о неподвижной точке .

Дополнительные теоремы, которые иногда называют теоремой Рисса, см. в разделе «Теорема Рисса» .

В математике теорема о представлении Рисса–Маркова–Какутани связывает линейные функционалы в пространствах непрерывных функций на локально компактном пространстве с мерами в теории меры. Теорема названа в честь Фриджеса Рисса ( 1909 ), который ввел ее для непрерывных функций на единичном интервале , Андрея Маркова ( 1938 ), который распространил результат на некоторые некомпактные пространства, и Сидзуо Какутани ( 1941 ), который распространил результат на компактные Хаусдорфы. пространства .

Существует множество тесно связанных вариаций теоремы, поскольку линейные функционалы могут быть комплексными, действительными или положительными , пространство, на котором они определены, может быть единичным интервалом, компактом или локально компактным пространством , непрерывные функции могут исчезать. на бесконечности или иметь компактный носитель , а меры могут быть мерами Бэра , обычными мерами Бореля , мерами Радона , знаковыми мерами или комплексными мерами .

Теорема о представлении положительных линейных функционалов на C _c ( X )

Формулировка теоремы для положительных линейных функционалов на Cc _— ( X ) — пространстве с компактным носителем комплекснозначных непрерывных функций следующая:

Теорема. Пусть X — локально компактное хаусдорфово пространство и $\psi$ положительный линейный функционал на C _c ( X ) . Тогда существует единственная положительная борелевская мера $\mu$ на X такой, что

$\psi (f)=\int _{X}f(x)\,d\mu (x),\quad \forall f\in C_{c}(X),$

который имеет следующие дополнительные свойства для некоторых $\Sigma$ содержащая борелевскую σ-алгебру на X :

• $\mu (K)<\infty$ для каждого компакта $K\subset X$,
• Внешняя закономерность : $\mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,U{\mbox{ open}}\}$ справедливо для любого множества Бореля $E\in \Sigma$;
• Внутренняя закономерность : $\mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,K{\mbox{ compact}}\}$ держится всякий раз, когда $E$ открыт или когда $E$ это Борель и $\mu (E)<\infty$;
• $(X,\Sigma ,\mu )$ является полным пространством меры

Таким образом, если все открытые множества в X σ -компактны , то $\mu$ является мерой Радона .

Один из подходов к теории меры том, чтобы начать с меры Радона , определяемой как положительный линейный функционал на Cc _{состоит в} ( X ) . Это путь, принятый Бурбаки ; конечно, предполагается, что X начинает жизнь как топологическое пространство , а не просто как множество. Тогда для локально компактных пространств восстанавливается теория интегрирования.

Без условия регулярности борелевская мера не обязательно будет единственной. Например, пусть X будет набором ординалов, не более чем равным первому несчетному ординалу Ω , с топологией, порожденной « открытыми интервалами ». Линейный функционал, переводящий непрерывную функцию в свое значение в Ω, соответствует регулярной борелевской мере с точечной массой в Ω . Однако это также соответствует (нерегулярной) борелевской мере, которая присваивает меру 1 любому борелевскому множеству. $B\subseteq [0,\Omega ]$ если существует замкнутое и неограниченное множество $C\subseteq [0,\Omega [$ с $C\subseteq B$и присваивает меру 0 другим борелевским наборам. (В частности, синглтон $\{\Omega \}$ получает меру 0 , в отличие от меры массы точки.)

Теорема о представлении непрерывного двойственного к C ₀ ( X )

, также называемое теоремой Рисса-Маркова , дает конкретную реализацию топологического двойственного пространства C Следующее представление ₀ ( X ) , набора непрерывных функций на X, которые обращаются в нуль на бесконечности .

Теорема. Пусть X — локально компактное хаусдорфово пространство. Для любого непрерывного линейного функционала $\psi$ на C ₀ ( X ) существует единственная комплекснозначная регулярная борелевская мера $\mu$ на X такой, что

$\psi (f)=\int _{X}f(x)\,d\mu (x),\quad \forall f\in C_{0}(X).$

Комплексная борелевская мера $\mu$ называется регулярным, если положительная мера $|\mu |$ удовлетворяет условиям регулярности , определенным выше. Норма $\psi$ как линейный функционал – это полная вариация $\mu$, то есть

$\|\psi \|=|\mu |(X).$

Окончательно, $\psi$ положительна тогда и только тогда , когда мера $\mu$ является положительным.

Это утверждение о линейных функционалах можно вывести из утверждения о положительных линейных функционалах, сначала показав, что ограниченный линейный функционал можно записать как конечную линейную комбинацию положительных.

Историческое замечание

В своей первоначальной форме Фридьес Рисс ( 1909 ) теорема утверждает, что каждый непрерывный линейный функционал A в пространстве C ([0, 1]) непрерывных функций f в интервале [0, 1] может быть представлен как

$A[f(x)]=\int _{0}^{1}f(x)\,d\alpha (x),$

где α ( x ) — функция ограниченной вариации на интервале [0, 1] , а интеграл — интеграл Римана–Стилтьеса . Поскольку существует взаимно однозначное соответствие между борелевскими регулярными мерами на интервале и функциями ограниченной вариации (что сопоставляет каждой функции ограниченной вариации соответствующую меру Лебега–Стилтьеса, а интеграл по мере Лебега–Стилтьеса согласуется с интегралом Римана–Стилтьеса для непрерывных функций) сформулированная выше теорема обобщает исходное утверждение Ф. Рисса.

Ссылки

• Фреше, М. (1907). «О множествах функций и линейных операциях». ЧР акад. наук. Париж . 144 : 1414–1416.
• Грей, Джей Ди (1984). «Формирование теоремы о представлении Рисса: глава истории анализа». Архив истории точных наук . 31 (2): 127–187. дои : 10.1007/BF00348293 .
• Хартиг, Дональд Г. (1983). «Возвращение к теореме о представлении Рисса». Американский математический ежемесячник . 90 (4): 277–280. дои : 10.2307/2975760 . JSTOR   2975760 . ; теоретико-категорное представление как естественное преобразование.
• Какутани, Шизуо (1941). «Конкретное представление абстрактных (М)-пространств. (Характеризация пространства непрерывных функций.)». Энн. математики . Серия 2. 42 (4): 994–1024. дои : 10.2307/1968778 . hdl : 10338.dmlcz/100940 . JSTOR   1968778 . МР   0005778 .
• Марков, А. (1938). «О средних значениях и внешних плотностях». Рек. Математика. Москва . НС 4 : 165–190. Збл   0020.10804 .
• Рисс, Ф. (1907). «Об одном из видов аналитической геометрии систем суммируемых функций». ЧР акад. наук. Париж . 144 : 1409–1411.
• Рисс, Ф. (1909). «О линейных функциональных операциях». ЧР акад. наук. Париж . 149 : 974–977.
• Халмос, П. (1950). Теория меры . Д. ван Ностранд и Ко.
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о представлении Рисса» . Математический мир .
• Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ . ISBN  0-07-100276-6 .