Построение сложной нулевой тетрады

Расчеты в формализме Ньюмана-Пенроуза (НП) общей теории относительности обычно начинаются с построения комплексной нулевой тетрады. $\{l^{a},n^{a},m^{a},{\bar {m}}^{a}\}$, где $\{l^{a},n^{a}\}$ представляет собой пару действительных нулевых векторов и $\{m^{a},{\bar {m}}^{a}\}$ представляет собой пару комплексных нулевых векторов. Эти тетрадные векторы соответствуют следующим условиям нормализации и метрики, предполагающим пространственно-временную сигнатуру $(-,+,+,+):$

• $l_{a}l^{a}=n_{a}n^{a}=m_{a}m^{a}={\bar {m}}_{a}{\bar {m}}^{a}=0\,;$
• $l_{a}m^{a}=l_{a}{\bar {m}}^{a}=n_{a}m^{a}=n_{a}{\bar {m}}^{a}=0\,;$
• $l_{a}n^{a}=l^{a}n_{a}=-1\,,\;\;m_{a}{\bar {m}}^{a}=m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\,;$
• $g_{ab}=-l_{a}n_{b}-n_{a}l_{b}+m_{a}{\bar {m}}_{b}+{\bar {m}}_{a}m_{b}\,,\;\;g^{ab}=-l^{a}n^{b}-n^{a}l^{b}+m^{a}{\bar {m}}^{b}+{\bar {m}}^{a}m^{b}\,.$

Только после тетрады $\{l^{a},n^{a},m^{a},{\bar {m}}^{a}\}$ строится, можно ли двигаться дальше, чтобы вычислить производные по направлению , спиновые коэффициенты , коммутаторы , скаляры Вейля-NP $\Psi _{i}$, скаляры Риччи-NP $\Phi _{ij}$ и скаляры Максвелла-NP $\phi _{i}$ и другие величины в формализме NP. Существует три наиболее часто используемых метода построения сложной нулевой тетрады:

1. Все четыре тетрадных вектора представляют собой неголономные комбинации ортонормированных тетрад ;
2. $l^{a}$ (или $n^{a}$) выровнены с исходящим (или входящим) касательным векторным полем нулевых радиальных геодезических , в то время как $m^{a}$ и ${\bar {m}}^{a}$ построены неголономным методом;
3. Тетрада, адаптированная к структуре пространства-времени с точки зрения 3+1, с предполагаемой ее общей формой и функциями тетрады, которые необходимо решить.

В контексте ниже будет показано, как работают эти три метода.

Примечание. В дополнение к конвенции $\{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}$ используется в этой статье, другой используется $\{(+,-,-,-);l^{a}n_{a}=1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=-1\}$.

неголономная тетрада

Основной метод построения сложной нулевой тетрады — использование комбинаций ортонормированных оснований. Для пространства-времени $g_{ab}$ с ортонормированной тетрадой $\{\omega _{0}\,,\omega _{1}\,,\omega _{2}\,,\omega _{3}\}$,

$g_{ab}=-\omega _{0}\omega _{0}+\omega _{1}\omega _{1}+\omega _{2}\omega _{2}+\omega _{3}\omega _{3}\,,$

ковекторы $\{l_{a}\,,n_{a}\,,m_{a}\,,{\bar {m}}_{a}\}$ неголономной формуле комплексной нуль-тетрады можно построить по

$l_{a}dx^{a}={\frac {\omega _{0}+\omega _{1}}{\sqrt {2}}}\,,\quad n_{a}dx^{a}={\frac {\omega _{0}-\omega _{1}}{\sqrt {2}}}\,,$
$m_{a}dx^{a}={\frac {\omega _{2}+i\omega _{3}}{\sqrt {2}}}\,,\quad {\bar {m}}_{a}dx^{a}={\frac {\omega _{2}-i\omega _{3}}{\sqrt {2}}}\,,$

и тетрадные векторы $\{l^{a}\,,n^{a}\,,m^{a}\,,{\bar {m}}^{a}\}$ можно получить, подняв индексы $\{l_{a}\,,n_{a}\,,m_{a}\,,{\bar {m}}_{a}\}$ через обратную метрику $g^{ab}$.

Замечание: неголономная конструкция фактически соответствует структуре локального светового конуса .

Пример: неголономная тетрада.

Учитывая метрику пространства-времени вида (в сигнатуре(-,+,+,+))

$g_{ab}=-g_{tt}dt^{2}+g_{rr}dr^{2}+g_{\theta \theta }d\theta ^{2}+g_{\phi \phi }d\phi ^{2}\,,$

поэтому неголономные ортонормированные ковекторы равны

$\omega _{t}={\sqrt {g_{tt}}}dt\,,\;\;\omega _{r}={\sqrt {g_{rr}}}dr\,,\;\;\omega _{\theta }={\sqrt {g_{\theta \theta }}}d\theta \,,\;\;\omega _{\phi }={\sqrt {g_{\phi \phi }}}d\phi \,,$

и поэтому неголономные нулевые ковекторы равны

$l_{a}dx^{a}={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {g_{tt}}}dt+{\sqrt {g_{rr}}}dr)\,,$ $n_{a}dx^{a}={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {g_{tt}}}dt-{\sqrt {g_{rr}}}dr)\,,$

$m_{a}dx^{a}={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {g_{\theta \theta }}}d\theta +i{\sqrt {g_{\phi \phi }}}d\phi )\,,$ ${\bar {m}}_{a}dx^{a}={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {g_{\theta \theta }}}d\theta -i{\sqrt {g_{\phi \phi }}}d\phi )\,.$

л ^а (н ^а ) выровнено по нулевой радиальной геодезической

В пространстве-времени Минковского неголономно построенные нулевые векторы $\{l^{a}\,,n^{a}\}$ соответственно соответствуют исходящим и входящим нулевым радиальным лучам. В качестве расширения этой идеи в обычном искривленном пространстве-времени, $\{l^{a}\,,n^{a}\}$ все еще может быть выровнено по касательному векторному полю нулевой радиальной конгруэнтности . Однако этот тип адаптации работает только для $\{t,r,\theta ,\phi \}$, $\{u,r,\theta ,\phi \}$ или $\{v,r,\theta ,\phi \}$ координаты, в которых радиальное поведение может быть хорошо описано, с $u$ и $v$ обозначают исходящую (запаздывающую) и входящую (продвинутую) нулевую координату соответственно.

Пример: Нулевая тетрада для метрики Шварцшильда в координатах Эддингтона-Финкельштейна читается

$ds^{2}=-Fdv^{2}+2dvdr+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\phi ^{2})\,,\;\;{\text{with }}F\,:=\,{\Big (}1-{\frac {2M}{r}}{\Big )}\,,$

поэтому лагранжиан нулевой радиальной геодезической пространства-времени Шварцшильда равен

$L=-F{\dot {v}}^{2}+2{\dot {v}}{\dot {r}}\,,$

который имеет входящее решение ${\dot {v}}=0$ и исходящее решение ${\dot {r}}={\frac {F}{2}}{\dot {v}}$. Теперь можно построить сложную нулевую тетраду, адаптированную к входящим нулевым радиальным геодезическим:

$l^{a}=(1,{\frac {F}{2}},0,0)\,,\quad n^{a}=(0,-1,0,0)\,,\quad m^{a}={\frac {1}{{\sqrt {2}}\,r}}(0,0,1,i\,\csc \theta )\,,$

и поэтому двойственные базисные ковекторы равны

$l_{a}=(-{\frac {F}{2}},1,0,0)\,,\quad n_{a}=(-1,0,0,0)\,,\quad m_{a}={\frac {r}{\sqrt {2}}}(0,0,1,i\sin \theta )\,.$

Здесь мы использовали условие перекрестной нормировки $l^{a}n_{a}=n^{a}l_{a}=-1$ а также требование, чтобы $g_{ab}+l_{a}n_{b}+n_{a}l_{b}$ должен охватывать индуцированную метрику $h_{AB}$ для сечений {v=constant, r=constant}, где $dv$ и $dr$ не являются взаимно ортогональными. Кроме того, оставшиеся два тетрадных (ко)вектора построены неголономно. Определив тетраду, теперь можно соответственно найти спиновые коэффициенты, скаляры Вейля-Np и скаляры Риччи-NP, которые

$\kappa =\sigma =\tau =0\,,\quad \nu =\lambda =\pi =0\,,\quad \gamma =0$
$\rho ={\frac {-r+2M}{2r^{2}}}\,,\quad \mu =-{\frac {1}{r}}\,,\quad \alpha =-\beta ={\frac {-{\sqrt {2}}\cot \theta }{4r}}\,,\quad \varepsilon ={\frac {M}{2r^{2}}}\,;$

$\Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0\,,\quad \Psi _{2}=-{\frac {M}{r^{3}}}\,,$

$\Phi _{00}=\Phi _{10}=\Phi _{20}=\Phi _{11}=\Phi _{12}=\Phi _{22}=\Lambda =0\,.$

Пример: Нулевая тетрада для экстремальной метрики Рейсснера – Нордстрема в координатах Эддингтона-Финкельштейна читается

$ds^{2}=-Gdv^{2}+2dvdr+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\!\theta \,d\phi ^{2}\,,\;\;{\text{with }}G\,:=\,{\Big (}1-{\frac {M}{r}}{\Big )}^{2}\,,$

поэтому лагранжиан

$2L=-G{\dot {v}}^{2}+2{\dot {v}}{\dot {r}}+r^{2}({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}^{2})\,.$

Для нулевой радиальной геодезической с $\{L=0\,,{\dot {\theta }}=0\,,{\dot {\phi }}=0\}$, есть два решения

${\dot {v}}=0$ (входящий) и ${\dot {r}}=2F{\dot {v}}$ (исходящий),

и поэтому тетрада для входящего наблюдателя может быть задана как

$l^{a}\partial _{a}\,=\,{\Big (}1\,,{\frac {F}{2}}\,,0\,,0{\Big )}\,,\quad n^{a}\partial _{a}\,=\,{\Big (}0\,,-1\,,0\,,0{\Big )}\,,$

$l_{a}dx^{a}\,=\,{\Big (}-{\frac {F}{2}}\,,1\,,0,0{\Big )}\,,\quad n_{a}dx^{a}\,=\,{\Big (}-1\,,0\,,0\,,0{\Big )}\,,$

$m^{a}\partial _{a}\,=\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,{\Big (}0\,,0\,,{\frac {1}{r}}\,,{\frac {i}{r\sin \theta }}{\Big )}\,,\quad m_{a}dx^{a}\,=\,{\frac {r}{\sqrt {2}}}\,{\Big (}0\,,0\,,1\,,i\sin \theta {\Big )}\,.$

Определив тетраду, мы теперь можем вычислить спиновые коэффициенты, скаляры Вейля-NP и скаляры Риччи-NP, которые

$\kappa =\sigma =\tau =0\,,\quad \nu =\lambda =\pi =0\,,\quad \gamma =0$
$\rho ={\frac {(r-M)^{2}}{2r^{3}}}\,,\quad \mu =-{\frac {1}{r}}\,,\quad \alpha =-\beta ={\frac {-{\sqrt {2}}\cot \theta }{4r}}\,,\quad \varepsilon ={\frac {M(r-M)}{2r^{3}}}\,;$

$\Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0\,,\quad \Psi _{2}=-{\frac {(Mr-M)}{r^{4}}}\,,$

$\Phi _{00}=\Phi _{10}=\Phi _{20}=\Phi _{12}=\Phi _{22}=\Lambda =0\,,\quad \Phi _{11}=-{\frac {M^{2}}{2r^{4}}}\,.$

Тетрады, адаптированные к структуре пространства-времени

В некоторых типичных граничных областях, таких как нулевая бесконечность, времениподобная бесконечность , пространственноподобная бесконечность, горизонты черных дыр и космологические горизонты , для достижения наиболее кратких Ньюмана-Пенроуза описаний обычно используются нулевые тетрады, адаптированные к структурам пространства-времени.

Тетрада Ньюмана-Унти для нулевой бесконечности

Для нулевой бесконечности классическая тетрада Ньюмана-Унти (NU) используется для изучения асимптотического поведения на нулевой бесконечности ,

$l^{a}\partial _{a}=\partial _{r}:=D\,,$
$n^{a}\partial _{a}=\partial _{u}+U\partial _{r}+X\partial _{\varsigma }+{\bar {X}}\partial _{\bar {\varsigma }}:=\Delta \,,$
$m^{a}\partial _{a}=\omega \partial _{r}+\xi ^{3}\partial _{\varsigma }+\xi ^{4}\partial _{\bar {\varsigma }}:=\delta \,,$
${\bar {m}}^{a}\partial _{a}={\bar {\omega }}\partial _{r}+{\bar {\xi }}^{3}\partial _{\bar {\varsigma }}+{\bar {\xi }}^{4}\partial _{\varsigma }:={\bar {\delta }}\,,$

где $\{U,X,\omega ,\xi ^{3},\xi ^{4}\}$ являются тетрадными функциями, которые необходимо решить. Для тетрады НУ листья слоения параметризуются исходящей (расширенной) нулевой координатой. $u$ с $l_{a}=du$, и $r$ – нормированная аффинная координата вдоль $l^{a}$ $(Dr=l^{a}\partial _{a}r=1)$; входящий нулевой вектор $n^{a}$ действует как нулевой генератор на нулевой бесконечности с $\Delta u=n^{a}\partial _{a}u=1$. Координаты $\{u,r,\varsigma ,{\bar {\varsigma }}\}$ содержат две действительные аффинные координаты $\{u,r\}$ и две комплексные стереографические координаты $\{\varsigma :=e^{i\phi }\cot {\frac {\theta }{2}},{\bar {\varsigma }}=e^{-i\phi }\cot {\frac {\theta }{2}}\}$, где $\{\theta ,\phi \}$ — обычные сферические координаты на сечении ${\hat {\Delta }}_{u}=S_{u}^{2}$ (как показано в ссылке, сложные стереографические, а не реальные изотермические координаты используются только для удобства полного решения уравнений NP).

Кроме того, для тетрады НУ основные калибровочные условия таковы:

$\kappa =\pi =\varepsilon =0\,,\quad \rho ={\bar {\rho }}\,,\quad \tau ={\bar {\alpha }}+\beta \,.$

Адаптированная тетрада для экстерьеров и пригоризонтного окружения изолированных горизонтов.

адаптированные тетрады, которые можно плавно переходить от внешней области к окологоризонтной окрестности Для более полного представления о черных дырах в квазилокальных определениях необходимы и к горизонтам. Например, для изолированных горизонтов, описывающих черные дыры, находящиеся в равновесии со своей внешностью, такая тетрада и связанные с ней координаты могут быть построены таким образом. Выберите первый реальный нулевой ковектор $n_{a}$ как градиент листьев слоения

$n_{a}\,=-dv\,,$
где $v$ – входящая (запаздывающая) нулевая координата типа Эддингтона – Финкельштейна , которая отмечает сечения слоений и действует как аффинный параметр по отношению к исходящему нулевому векторному полю. $l^{a}\partial _{a}$, то есть

$Dv=1\,,\quad \Delta v=\delta v={\bar {\delta }}v=0\,.$
Введем вторую координату $r$ как аффинный параметр вдоль входящего нулевого векторного поля $n^{a}$, подчиняющийся нормировке

$n^{a}\partial _{a}r\,=\,-1\;\Leftrightarrow \;n^{a}\partial _{a}\,=\,-\partial _{r}\,.$

Теперь первый настоящий вектор нулевой тетрады $n^{a}$ фиксировано. Чтобы определить оставшиеся векторы тетрад $\{l^{a},m^{a},{\bar {m}}^{a}\}$ и их ковекторов, помимо основных условий перекрестной нормировки, также требуется, чтобы: (i) исходящее нулевое нормальное поле $l^{a}$ действует как генератор нулей; (ii) нулевой каркас (ковекторы) $\{l_{a},n_{a},m_{a},{\bar {m}}_{a}\}$ распространяются параллельно $n^{a}\partial _{a}$; (iii) $\{m^{a},{\bar {m}}^{a}\}$ охватывает сечения {t=constant, r=constant}, которые помечены реальными изотермическими координатами $\{y,z\}$.

Тетрады, удовлетворяющие указанным ограничениям, можно выразить в общем виде:

$l^{a}\partial _{a}=\partial _{v}+U\partial _{r}+X^{3}\partial _{y}+X^{4}\partial _{z}\,:=\,D\,,$
$n^{a}\partial _{a}=-\partial _{r}\,:=\,\Delta \,,$
$m^{a}\partial _{a}=\Omega \partial _{r}+\xi ^{3}\partial _{y}+\xi ^{4}\partial _{z}\,:=\,\delta \,,$
${\bar {m}}^{a}\partial _{a}={\bar {\Omega }}\partial _{r}+{\bar {\xi }}^{3}\partial _{y}+{\bar {\xi }}^{4}\partial _{z}\,:=\,{\bar {\delta }}\,.$

Калибровочные условия в этой тетраде таковы:

$\nu =\tau =\gamma =0\,,\quad \mu ={\bar {\mu }}\,,\quad \pi =\alpha +{\bar {\beta }}\,,$

Примечание: В отличие от координат типа Шварцшильда , здесь r=0 представляет собой горизонт , а r>0 (r<0) соответствует внешней (внутренней) поверхности изолированного горизонта. Люди часто Тейлор расширяют скаляр $Q$ функция относительно горизонта r=0,

$Q=\sum _{i=0}Q^{(i)}r^{i}=Q^{(0)}+Q^{(1)}r+\cdots +Q^{(n)}r^{n}+\ldots$

где $Q^{(0)}$ относится к его значению на горизонте. Те самые координаты, которые используются в приведенной выше адаптированной тетраде, на самом деле являются гауссовыми нулевыми координатами, используемыми при изучении окологоризонтной геометрии и механики черных дыр.

См. также

• Формализм Ньюмана – Пенроуза