Скаляры Риччи (формализм Ньюмана – Пенроуза)

В формализме Ньюмана-Пенроуза (NP) теории общей относительности независимые компоненты тензоров Риччи четырехмерного пространства-времени кодируются в семь (или десять) скаляров Риччи , которые состоят из трех действительных скаляров. $\{\Phi _{00},\Phi _{11},\Phi _{22}\}$, три (или шесть) комплексных скаляров $\{\Phi _{01}={\overline {\Phi }}_{10}\,,\Phi _{02}={\overline {\Phi }}_{20}\,,\Phi _{12}={\overline {\Phi }}_{21}\}$ и скаляр кривизны NP $\Lambda$. Физически скаляры Риччи-NP связаны с распределением энергии-импульса пространства-времени из-за уравнения поля Эйнштейна .

Определения

Учитывая сложную нулевую тетраду $\{l^{a},n^{a},m^{a},{\bar {m}}^{a}\}$ и с конвенцией $\{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}$скаляры Риччи-NP определяются формулой (где черта означает комплексно-сопряженное )

$\Phi _{00}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}l^{b}\,,\quad \Phi _{11}:={\frac {1}{4}}R_{ab}(\,l^{a}n^{b}+m^{a}{\bar {m}}^{b})\,,\quad \Phi _{22}:={\frac {1}{2}}R_{ab}n^{a}n^{b}\,,\quad \Lambda :={\frac {R}{24}}\,;$

$\Phi _{01}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}m^{b}\,,\quad \;\Phi _{10}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}{\bar {m}}^{b}={\overline {\Phi }}_{01}\,,$
$\Phi _{02}:={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}m^{b}\,,\quad \Phi _{20}:={\frac {1}{2}}R_{ab}{\bar {m}}^{a}{\bar {m}}^{b}={\overline {\Phi }}_{02}\,,$
$\Phi _{12}:={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}n^{b}\,,\quad \;\Phi _{21}:={\frac {1}{2}}R_{ab}{\bar {m}}^{a}n^{b}={\overline {\Phi }}_{12}\,.$

Замечание I. В этих определениях $R_{ab}$ может быть заменена его бесследной частью $Q_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{4}}g_{ab}R$ или тензором Эйнштейна $G_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{2}}g_{ab}R$ из-за отношений нормализации (т.е. внутреннего продукта), которые

$l_{a}l^{a}=n_{a}n^{a}=m_{a}m^{a}={\bar {m}}_{a}{\bar {m}}^{a}=0\,,$

$l_{a}m^{a}=l_{a}{\bar {m}}^{a}=n_{a}m^{a}=n_{a}{\bar {m}}^{a}=0\,.$

Замечание II. Конкретно для электровакуума имеем $\Lambda =0$, таким образом

$24\Lambda \,=0=\,R_{ab}g^{ab}\,=\,R_{ab}{\Big (}-2l^{a}n^{b}+2m^{a}{\bar {m}}^{b}{\Big )}\;\Rightarrow \;R_{ab}l^{a}n^{b}\,=\,R_{ab}m^{a}{\bar {m}}^{b}\,,$

и поэтому $\Phi _{11}$ сводится к

$\Phi _{11}:={\frac {1}{4}}R_{ab}(\,l^{a}n^{b}+m^{a}{\bar {m}}^{b})={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}n^{b}={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}{\bar {m}}^{b}\,.$

Замечание III: Если принять конвенцию $\{(+,-,-,-);l^{a}n_{a}=1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=-1\}$, определения $\Phi _{ij}$ должен принимать противоположные значения; то есть, $\Phi _{ij}\mapsto -\Phi _{ij}$ после перехода подписи.

Альтернативные выводы

См. Также: формализм Ньюмана-Пенроуза § уравнения поля NP и уравнения поля Ньюмана-Пенроуза.

Согласно приведенным выше определениям, необходимо найти тензоры Риччи перед вычислением скаляров Риччи-NP посредством сокращений с соответствующими тетрадными векторами. Однако этот метод не может полностью отразить дух формализма Ньюмана-Пенроуза, и в качестве альтернативы можно вычислить спиновые коэффициенты , а затем вывести скаляры Риччи-NP. $\Phi _{ij}$ через соответствующие уравнения поля NP, которые

$\Phi _{00}=D\rho -{\bar {\delta }}\kappa -(\rho ^{2}+\sigma {\bar {\sigma }})-(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\rho +{\bar {\kappa }}\tau +\kappa (3\alpha +{\bar {\beta }}-\pi )\,,$

$\Phi _{10}=D\alpha -{\bar {\delta }}\varepsilon -(\rho +{\bar {\varepsilon }}-2\varepsilon )\alpha -\beta {\bar {\sigma }}+{\bar {\beta }}\varepsilon +\kappa \lambda +{\bar {\kappa }}\gamma -(\varepsilon +\rho )\pi \,,$

$\Phi _{02}=\delta \tau -\Delta \sigma -(\mu \sigma +{\bar {\lambda }}\rho )-(\tau +\beta -{\bar {\alpha }})\tau +(3\gamma -{\bar {\gamma }})\sigma +\kappa {\bar {\nu }}\,,$

$\Phi _{20}=D\lambda -{\bar {\delta }}\pi -(\rho \lambda +{\bar {\sigma }}\mu )-\pi ^{2}-(\alpha -{\bar {\beta }})\pi +\nu {\bar {\kappa }}+(3\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\lambda \,,$

$\Phi _{12}=\delta \gamma -\Delta \beta -(\tau -{\bar {\alpha }}-\beta )\gamma -\mu \tau +\sigma \nu +\varepsilon {\bar {\nu }}+(\gamma -{\bar {\gamma }}-\mu )\beta -\alpha {\bar {\lambda }}\,,$

$\Phi _{22}=\delta \nu -\Delta \mu -(\mu ^{2}+\lambda {\bar {\lambda }})-(\gamma +{\bar {\gamma }})\mu +{\bar {\nu }}\pi -(\tau -3\beta -{\bar {\alpha }})\nu \,,$

$2\Phi _{11}=D\gamma -\Delta \varepsilon +\delta \alpha -{\bar {\delta }}\beta -(\tau +{\bar {\pi }})\alpha -\alpha {\bar {\alpha }}-({\bar {\tau }}+\pi )\beta -\beta {\bar {\beta }}+2\alpha \beta +(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\gamma -(\rho -{\bar {\rho }})\gamma +(\gamma +{\bar {\gamma }})\varepsilon -(\mu -{\bar {\mu }})\varepsilon -\tau \pi +\nu \kappa -(\mu \rho -\lambda \sigma )\,,$

а скаляр кривизны NP $\Lambda$ может быть непосредственно и легко вычислено через $\Lambda ={\frac {R}{24}}$ с $R$ это обычная скалярная кривизна метрики пространства-времени $g_{ab}=-l_{a}n_{b}-n_{a}l_{b}+m_{a}{\bar {m}}_{b}+{\bar {m}}_{a}m_{b}$.

Электромагнитные скаляры Риччи-NP

Согласно определениям скаляров Риччи-NP $\Phi _{ij}$ выше и тот факт, что $R_{ab}$ может быть заменен на $G_{ab}$ в определениях, $\Phi _{ij}$ связаны с распределением энергии-импульса, обусловленным уравнениями поля Эйнштейна $G_{ab}=8\pi T_{ab}$. В простейшей ситуации, т.е. вакуумном пространстве-времени при отсутствии полей материи с $T_{ab}=0$, у нас будет $\Phi _{ij}=0$. Более того, для электромагнитного поля, помимо приведенных выше определений, $\Phi _{ij}$ можно было бы определить более конкретно

$\Phi _{ij}=\,2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi }}_{j}\,,\quad (i,j\in \{0,1,2\})\,,$

где $\phi _{i}$ обозначаем три комплексных скаляра Максвелла-NP которые кодируют шесть независимых компонентов 2-формы Фарадея-Максвелла. $F_{ab}$ (т.е. тензор напряженности электромагнитного поля )

$\phi _{0}:=-F_{ab}l^{a}m^{b}\,,\quad \phi _{1}:=-{\frac {1}{2}}F_{ab}{\big (}l^{a}n^{a}-m^{a}{\bar {m}}^{b}{\big )}\,,\quad \phi _{2}:=F_{ab}n^{a}{\bar {m}}^{b}\,.$

Примечание: уравнение $\Phi _{ij}=2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi }}_{j}$ Однако утверждение о электромагнитном поле не обязательно справедливо для других видов материальных полей. Например, в случае полей Янга–Миллса будет $\Phi _{ij}=\,{\text{Tr}}\,(\digamma _{i}\,{\bar {\digamma }}_{j})$ где $\digamma _{i}(i\in \{0,1,2\})$ являются скалярами Янга–Миллса-NP.

См. также

• Формализм Ньюмана – Пенроуза
• скаляр Вейля