Окологоризонтная метрика

Окологоризонтная метрика ( NHM ) относится к окологоризонтному пределу глобальной метрики черной дыры . НМЗ играют важную роль в изучении геометрии и топологии черных дыр, но четко определены только для экстремальных черных дыр. НМЗ выражаются в гауссовских нулевых координатах, и одним из важных свойств является то, что зависимость от координаты $r$ фиксируется в окологоризонтном пределе.

НГМ экстремальных черных дыр Рейсснера – Нордстрема

Метрика Райсснера – Нордстрема экстремальной черной дыры равна

$ds^{2}\,=\,-{\Big (}1-{\frac {M}{r}}{\Big )}^{2}\,dt^{2}+{\Big (}1-{\frac {M}{r}}{\Big )}^{-2}dr^{2}+r^{2}\,{\big (}d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}{\big )}\,.$

Принимая ближний горизонтальный предел

$t\mapsto {\frac {\tilde {t}}{\epsilon }}\,,\quad r\mapsto M+\epsilon \,{\tilde {r}}\,,\quad \epsilon \to 0\,,$

а затем опуская тильды, получаем окологоризонтную метрику

$ds^{2}=-{\frac {r^{2}}{M^{2}}}\,dt^{2}+{\frac {M^{2}}{r^{2}}}\,dr^{2}+M^{2}\,{\big (}d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}{\big )}$

НЧМ экстремальных черных дыр Керра

Метрика экстремальной черной дыры Керра ( $M=a=J/M$) в координатах Бойера – Линдквиста можно записать в следующих двух поучительных формах:

$ds^{2}\,=\,-{\frac {\rho _{K}^{2}\Delta _{K}}{\Sigma ^{2}}}\,dt^{2}+{\frac {\rho _{K}^{2}}{\Delta _{K}}}\,dr^{2}+\rho _{K}^{2}d\theta ^{2}+{\frac {\Sigma ^{2}\sin ^{2}\theta }{\rho _{K}^{2}}}{\big (}d\phi -\omega _{K}\,dt{\big )}^{2}\,,$

$ds^{2}\,=\,-{\frac {\Delta _{K}}{\rho _{K}^{2}}}\,{\big (}dt-M\sin ^{2}\theta d\phi {\big )}^{2}+{\frac {\rho _{K}^{2}}{\Delta _{K}}}\,dr^{2}+\rho _{K}^{2}d\theta ^{2}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho _{K}^{2}}}{\Big (}Mdt-(r^{2}+M^{2})d\phi {\Big )}^{2}\,,$

где

$\rho _{K}^{2}:=r^{2}+M^{2}\cos ^{2}\theta \,,\;\;\Delta _{K}:={\big (}r-M{\big )}^{2}\,,\;\;\Sigma ^{2}:={\big (}r^{2}+M^{2}{\big )}^{2}-M^{2}\Delta _{K}\sin ^{2}\theta \,,\;\;\omega _{K}:={\frac {2M^{2}r}{\Sigma ^{2}}}\,.$

Принимая ближний горизонтальный предел

$t\mapsto {\frac {\tilde {t}}{\epsilon }}\,,\quad r\mapsto M+\epsilon \,{\tilde {r}}\,,\quad \phi \mapsto {\tilde {\phi }}+{\frac {1}{2M\epsilon }}{\tilde {t}}\,,\quad \epsilon \to 0\,,$

и опуская тильды, получаем окологоризонтную метрику (ее еще называют экстремальным горлом Керра )

$ds^{2}\simeq {\frac {1+\cos ^{2}\theta }{2}}\,{\Big (}-{\frac {r^{2}}{2M^{2}}}\,dt^{2}+{\frac {2M^{2}}{r^{2}}}\,dr^{2}+2M^{2}d\theta ^{2}{\Big )}+{\frac {4M^{2}\sin ^{2}\theta }{1+\cos ^{2}\theta }}\,{\Big (}d\phi +{\frac {rdt}{2M^{2}}}{\Big )}^{2}\,.$

НЧМ экстремальных черных дыр Керра – Ньюмана

Экстремальные Керра – Ньюмана ( черные дыры $r_{+}^{2}=M^{2}+Q^{2}$) описываются метрикой

$ds^{2}=-{\Big (}1-{\frac {2Mr-Q^{2}}{\rho _{KN}}}\!{\Big )}dt^{2}-{\frac {2a\sin ^{2}\!\theta \,(2Mr-Q^{2})}{\rho _{KN}}}dtd\phi +\rho _{KN}{\Big (}{\frac {dr^{2}}{\Delta _{KN}}}+d\theta ^{2}{\Big )}+{\frac {\Sigma ^{2}}{\rho _{KN}}}d\phi ^{2},$

где

$\Delta _{KN}\,:=\,r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2}\,,\;\;\rho _{KN}\,:=\,r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\!\theta \,,\;\;\Sigma ^{2}\,:=\,(r^{2}+a^{2})^{2}-\Delta _{KN}a^{2}\sin ^{2}\theta \,.$

Переход к трансформации вблизи горизонта

$t\mapsto {\frac {\tilde {t}}{\epsilon }}\,,\quad r\mapsto M+\epsilon \,{\tilde {r}}\,,\quad \phi \mapsto {\tilde {\phi }}+{\frac {a}{r_{0}^{2}\epsilon }}{\tilde {t}}\,,\quad \epsilon \to 0\,,\quad {\Big (}r_{0}^{2}\,:=\,M^{2}+a^{2}{\Big )}$

и опуская тильды, получаем NHM

$ds^{2}\simeq {\Big (}1-{\frac {a^{2}}{r_{0}^{2}}}\sin ^{2}\!\theta {\Big )}\left(-{\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}dt^{2}+{\frac {r_{0}^{2}}{r^{2}}}dr^{2}+r_{0}^{2}d\theta ^{2}\right)+r_{0}^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\Big (}1-{\frac {a^{2}}{r_{0}^{2}}}\sin ^{2}\!\theta {\Big )}^{-1}\left(d\phi +{\frac {2arM}{r_{0}^{4}}}dt\right)^{2}\,.$

НЧМ типичных черных дыр

Помимо обсуждавшихся выше НУМ экстремальных метрик семейства Керра–Ньюмана, все стационарные НУМ можно записать в виде

$ds^{2}=({\hat {h}}_{AB}G^{A}G^{B}-F)r^{2}dv^{2}+2dvdr-{\hat {h}}_{AB}G^{B}rdvdy^{A}-{\hat {h}}_{AB}G^{A}rdvdy^{B}+{\hat {h}}_{AB}dy^{A}dy^{B}$
$=-F\,r^{2}dv^{2}+2dvdr+{\hat {h}}_{AB}{\big (}dy^{A}-G^{A}\,rdv{\big )}{\big (}dy^{B}-G^{B}\,rdv{\big )}\,,$

где метрические функции $\{F,G^{A}\}$ не зависят от координаты r, ${\hat {h}}_{AB}$ обозначает внутреннюю метрику горизонта, а $y^{A}$ — изотермические координаты на горизонте.

Примечание. В гауссовых нулевых координатах горизонт черной дыры соответствует $r=0$.

См. также

• Экстремальная черная дыра
• Метрика Рейсснера – Нордстрема
• Метрика Керра
• Метрика Керра – Ньюмана