Вершинная модель

Вершинная модель — это тип статистической механики модели , в которой веса Больцмана связаны с вершиной модели (представляющей атом или частицу). ^[1]^[2] Это контрастирует с моделью ближайшего соседа, такой как модель Изинга , в которой энергия и, следовательно, вес Больцмана статистического микросостояния приписывается связям, соединяющим две соседние частицы. Таким образом, энергия, связанная с вершиной решетки частиц, зависит от состояния связей, соединяющих ее с соседними вершинами. Оказывается, каждое решение уравнения Янга–Бакстера со спектральными параметрами в тензорном произведении векторных пространств $V\otimes V$ дает точно решаемую вершинную модель.

Хотя модель может быть применена к различной геометрии в любом количестве измерений и с любым количеством возможных состояний для данной связи, наиболее фундаментальные примеры встречаются для двумерных решеток, простейшей из которых является квадратная решетка , в которой каждая связь имеет два возможных состояния. В этой модели каждая частица связана с четырьмя другими частицами, и каждая из четырех связей, прилегающих к частице, имеет два возможных состояния, обозначенных направлением стрелки на связи. В этой модели каждая вершина может принимать $2^{4}$ возможные конфигурации. Энергия выражением для данной вершины может быть задана $\varepsilon _{ij}^{k\ell }$ ,

Вершина в модели вершин квадратной решетки

с состоянием решетки — это присвоение состояния каждой связи, причем полная энергия состояния представляет собой сумму энергий вершин. Поскольку энергия для бесконечной решетки часто расходится, модель изучается для конечной решетки, когда решетка приближается к бесконечному размеру. Периодическая или доменная стена ^[3] Граничные условия могут быть наложены на модель.

Обсуждение

Для данного состояния решетки вес Больцмана можно записать как произведение по вершинам весов Больцмана соответствующих вершинных состояний.

\exp(-\beta \varepsilon ({\mbox{state}}))=\prod _{\mbox{vertices}}\exp(-\beta \varepsilon _{ij}^{k\ell })

где веса Больцмана вершин записаны

R_{ij}^{k\ell }=\exp(-\beta \varepsilon _{ij}^{k\ell })

,

и диапазон i , j , k , l охватывает возможные состояния каждого из четырех ребер, прикрепленных к вершине. Чтобы состояние было допустимым, состояния соседних вершин должны удовлетворять условиям совместимости вдоль соединительных ребер (связей).

Вероятность нахождения системы в любом заданном состоянии в определенный момент времени и, следовательно , свойства системы определяются статистической суммой , для которой желательна аналитическая форма.

\mathbb {Z} =\sum _{\mbox{states}}\exp(-\beta \varepsilon ({\mbox{state}}))

где β = 1/ kT , T — температура , а k — постоянная Больцмана . Вероятность того, что система находится в любом заданном состоянии ( микросостоянии ), определяется выражением

{\frac {\exp(-\beta \varepsilon ({\mbox{state}}))}{\mathbb {Z} }}

так что среднее значение энергии системы определяется выражением

\langle \varepsilon \rangle ={\frac {\sum _{\mbox{states}}\varepsilon \exp(-\beta \varepsilon )}{\sum _{\mbox{states}}\exp(-\beta \varepsilon )}}=kT^{2}{\frac {\partial }{\partial T}}\ln \mathbb {Z}

Чтобы оценить статистическую сумму, сначала проверьте состояния ряда вершин.

Ряд вершин в модели вершин квадратной решетки

Внешние края являются свободными переменными с суммированием по внутренним связям. Следовательно, сформируем статистическую сумму строк

T_{i_{1}k_{1}\dots k_{N}}^{i'_{1}\ell _{1}\dots l_{N}}=\sum _{r_{1},\dots ,r_{N-1}}R_{i_{1}k_{1}}^{r_{1}\ell _{1}}R_{r_{1}k_{2}}^{r_{2}\ell _{2}}\cdots R_{r_{N-1}k_{N}}^{i'_{1}\ell _{N}}

Это можно переформулировать в терминах вспомогательного n -мерного векторного пространства V с базисом $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ , и $R\in End(V\otimes V)$ как

R(v_{i}\otimes v_{j})=\sum _{k,\ell }R_{ij}^{k\ell }v_{k}\otimes v_{\ell }

и $T\in End(V\otimes V^{\otimes N})$ как

T(v_{i_{1}}\otimes v_{k_{1}}\otimes \cdots \otimes v_{k_{N}})=\sum _{i'_{1},\ell _{1},\dots \ell _{N}}T_{i_{1}k_{1}\dots k_{N}}^{i'_{1}\ell _{1}\dots \ell _{N}}v_{i'_{1}}\otimes v_{\ell _{1}}\otimes \cdots \otimes v_{\ell _{N}}

тем самым подразумевая, что T можно записать как

T=R_{0N}\cdots R_{02}R_{01},

где индексы обозначают множители тензорного произведения $V\otimes V^{\otimes N}$ на котором R. действует Суммирование по состояниям связей первой строки с периодическими граничными условиями $i_{1}=i'_{1}$ , дает

(\operatorname {trace} _{V}(T))_{k_{1}\dots k_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}},

где $\tau =\operatorname {trace} _{V}(T)$ — матрица переноса строк.

Два ряда вершин в модели вершин квадратной решетки

Суммируя вклады по двум строкам, результат:

(\operatorname {trace} _{V}(T))_{k_{1}\dots k_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}(\operatorname {trace} _{V}(T))_{j_{1}\dots j_{N}}^{k_{1}\dots k_{N}}.

что при суммировании по вертикальным связям, соединяющим первые две строки, дает: $((\operatorname {trace} _{V}(T))^{2})_{j_{1}\dots j_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}$ для M строк это дает

((\operatorname {trace} _{V}(T))^{M})_{\ell '_{1}\dots \ell '_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}

а затем применив периодические граничные условия к вертикальным столбцам, статистическую сумму можно выразить через передаточную матрицу $\tau$ как

\mathbb {Z} =\operatorname {trace} _{V^{\otimes N}}(\tau ^{M})\sim \lambda _{max}^{M}

где $\lambda _{max}$ является наибольшим собственным значением $\tau$ . Аппроксимация следует из того, что собственные значения $\tau ^{M}$ являются собственными значениями $\tau$ в степени M и так как $M\rightarrow \infty$ , степень наибольшего собственного значения становится намного больше остальных. Поскольку след представляет собой сумму собственных значений, проблема вычисления $\mathbb {Z}$ сводится к задаче нахождения максимального собственного значения $\tau$ . Это само по себе еще одна область исследования. Однако стандартный подход к задаче нахождения наибольшего собственного значения $\tau$ состоит в том, чтобы найти большую семью операторов, которые ездят на работу с $\tau$ . Это означает, что собственные пространства являются общими, и ограничивает возможное пространство решений. Такое семейство коммутирующих операторов обычно находится с помощью уравнения Янга–Бакстера , которое, таким образом, связывает статистическую механику с изучением квантовых групп .

Интегрируемость

Определение : Вершинная модель интегрируема , если $\forall \mu ,\nu ,\exists \lambda$ такой, что

R_{12}(\lambda )R_{13}(\mu )R_{23}(\nu )=R_{23}(\nu )R_{13}(\mu )R_{12}(\lambda )

Это параметризованная версия уравнения Янга–Бакстера, соответствующая возможной зависимости энергий вершин и, следовательно, весов Больцмана R от внешних параметров, таких как температура, внешние поля и т. д.

Из условия интегрируемости следует следующее соотношение.

Предложение : Для интегрируемой вершинной модели с $\lambda ,\mu$ и $\nu$ определено, как указано выше, тогда

R(\lambda )(1\otimes T(\mu ))(T(\nu )\otimes 1)=(T(\nu )\otimes 1)(1\otimes T(\mu ))R(\lambda )

как эндоморфизмы $V\otimes V\otimes V^{\otimes N}$ , где $R(\lambda )$ действует на первые два вектора тензорного произведения.

Это следует путем умножения обеих частей приведенного выше уравнения справа на $R(\lambda )^{-1}$ и используя циклическое свойство оператора следа, справедливо следующее следствие.

Следствие : для интегрируемой вершинной модели, для которой $R(\lambda )$ является обратимым $\forall \lambda$ , передаточная матрица $\tau (\mu )$ ездит с $\tau (\nu ),\ \forall \mu ,\nu$ .

Это иллюстрирует роль уравнения Янга – Бакстера в решении разрешимых решеточных моделей. Так как трансфер-матрицы $\tau$ ездить на работу для всех $\lambda ,\nu$ , собственные векторы $\tau$ являются общими и, следовательно, не зависят от параметризации. Это повторяющаяся тема, которая появляется во многих других типах статистических механических моделей, связанных с поиском коммутирующих передаточных матриц.

Из определения R , приведенного выше, следует, что для каждого решения уравнения Янга–Бакстера в тензорном произведении двух n -мерных векторных пространств существует соответствующая двумерная разрешимая вершинная модель, в которой каждая из связей может находиться в возможные состояния $\{1,\ldots ,n\}$ , где R — эндоморфизм в пространстве, натянутом на $\{|a\rangle \otimes |b\rangle \},1\leq a,b\leq n$ . Это мотивирует классификацию всех конечномерных неприводимых представлений данной квантовой алгебры с целью найти соответствующие ей разрешимые модели.

Известные вершинные модели

Шестивершинная модель
Configurations of the Six vertex model with Boltzmann weights
Восьмивершинная модель
Configurations of the Eight vertex model with Boltzmann weights
Девятнадцативершинная модель (модель Изергина-Корепина) ^[4]

Ссылки

^ Р. Дж. Бакстер, Точно решенные модели в статистической механике , Лондон, Academic Press, 1982.
^ В. Чари и А.Н. Прессли, Путеводитель по квантовым группам Издательство Кембриджского университета, 1994 г.
^ В. Е. Корепин и др., Квантовый метод обратной задачи рассеяния и корреляционные функции , Нью-Йорк, Пресс-синдикат Кембриджского университета, 1993.
^ А. Г. Изергин и В. Е. Корепин, Подход метода обратной задачи к квантовой модели Шабата-Михайлова. Коммуникации по математической физике , 79 , 303 (1981)

[1] Р. Дж. Бакстер, Точно решенные модели в статистической механике , Лондон, Academic Press, 1982.

[2] В. Чари и А.Н. Прессли, Путеводитель по квантовым группам Издательство Кембриджского университета, 1994 г.

[3] В. Е. Корепин и др., Квантовый метод обратной задачи рассеяния и корреляционные функции , Нью-Йорк, Пресс-синдикат Кембриджского университета, 1993.

[4] А. Г. Изергин и В. Е. Корепин, Подход метода обратной задачи к квантовой модели Шабата-Михайлова. Коммуникации по математической физике , 79 , 303 (1981)

[1]

[2]

[3]

[4]