Энтропия запутанности

Энтропия запутанности (или энтропия запутанности ) — это мера степени квантовой запутанности состоящую из двух частей между двумя подсистемами, составляющими составную квантовую систему, . Учитывая чистое двудольное квантовое состояние сложной системы, можно получить приведенную матрицу плотности, описывающую знание состояния подсистемы. Энтропия запутанности — это энтропия фон Неймана приведенной матрицы плотности для любой из подсистем. Если оно не равно нулю, это указывает на то, что две подсистемы запутаны.

Более математически; если состояние, описывающее две подсистемы A и B $|\Psi _{AB}\rangle =|\phi _{A}\rangle |\phi _{B}\rangle$является сепарабельным состоянием, то приведенная матрица плотности $\rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}|\Psi _{AB}\rangle \langle \Psi _{AB}|=|\phi _{A}\rangle \langle \phi _{A}|$это чистое состояние . Таким образом, энтропия государства равна нулю. Аналогично, матрица плотности B также будет иметь энтропию 0. Таким образом, приведенная матрица плотности, имеющая ненулевую энтропию, является сигналом о наличии запутанности в системе.

Двудольная энтропия запутанности

Предположим, что квантовая система состоит из $N$частицы. Бираздел системы — это раздел, который делит систему на две части. $A$ и $B$, содержащий $k$ и $l$ частицы соответственно с $k+l=N$. Энтропия двудольной запутанности определяется относительно этого двудольного разделения.

Энтропия запутанности фон Неймана

Двудольная энтропия запутанности фон Неймана $S$ определяется как энтропия фон Неймана любого из его приведенных состояний, поскольку они имеют одно и то же значение (может быть доказано разложением Шмидта состояния относительно двуразделения); результат не зависит от того, какой из них мы выберем. То есть для чистого состояния $\rho _{AB}=|\Psi \rangle \langle \Psi |_{AB}$, оно определяется:

${\mathcal {S}}(\rho _{A})=-\operatorname {Tr} [\rho _{A}\operatorname {log} \rho _{A}]=-\operatorname {Tr} [\rho _{B}\operatorname {log} \rho _{B}]={\mathcal {S}}(\rho _{B})$

где $\rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}(\rho _{AB})$ и $\rho _{B}=\operatorname {Tr} _{A}(\rho _{AB})$ — приведенные матрицы плотности для каждого раздела.

Энтропию запутанности можно выразить с помощью сингулярных значений разложения Шмидта состояния. Любое чистое состояние можно записать как $|\Psi \rangle =\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}|u_{i}\rangle _{A}\otimes |v_{i}\rangle _{B}$ где $|u_{i}\rangle _{A}$ и $|v_{i}\rangle _{B}$ являются ортонормированными состояниями в подсистеме $A$ и подсистема $B$ соответственно. Энтропия запутанности просто:

${\textstyle -\sum _{i}\alpha _{i}^{2}\log(\alpha _{i}^{2})}$

Эта форма записи энтропии ясно дает понять, что энтропия запутанности одинакова независимо от того, вычисляется ли частичный след по $A$ или $B$ подсистема.

Многие меры запутанности сводятся к энтропии запутанности при оценке на чистых состояниях. Среди них:

• Дистилляционная запутанность
• Стоимость запутывания
• Запутывание образования
• Относительная энтропия запутанности
• Раздавленное запутывание

Некоторые меры запутанности, которые не сводятся к энтропии запутанности:

• Негатив
• Логарифмический отрицательность
• Прочность запутывания

Энтропия запутанности Реньи

Энтропия запутанности Реньи ${\mathcal {S}}_{\alpha }$ также определяются через приведенные матрицы плотности и индекс Реньи $\alpha \geq 0$. Она определяется как энтропия Реньи приведенных матриц плотности:

${\mathcal {S}}_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {1}{1-\alpha }}\operatorname {log} \operatorname {tr} (\rho _{A}^{\alpha })={\mathcal {S}}_{\alpha }(\rho _{B})$

Обратите внимание, что в пределе $\alpha \rightarrow 1$, Энтропия запутанности Реньи приближается к энтропии запутанности Фон Неймана.

Пример со связанными гармоническими генераторами

Рассмотрим два связанных квантовых гармонических осциллятора с положениями $q_{A}$ и $q_{B}$, momenta $p_{A}$ и $p_{B}$и системный гамильтониан

$H=(p_{A}^{2}+p_{B}^{2})/2+\omega _{1}^{2}(q_{A}^{2}+q_{B}^{2})/{2}+{\omega _{2}^{2}(q_{A}-q_{B})^{2}}/{2}$

С $\omega _{\pm }^{2}=\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\pm \omega _{2}^{2}$матрица плотности чистого основного состояния системы равна $\rho _{AB}=|0\rangle \langle 0|$, что в базисе позиций равно $\langle q_{A},q_{B}|\rho _{AB}|q_{A}',q_{B}'\rangle \propto \exp \left(-{\omega _{+}(q_{A}+q_{B})^{2}}/{2}-{\omega _{-}(q_{A}-q_{B})^{2}}/{2}-{\omega _{+}(q'_{A}+q'_{B})^{2}}/{2}-{\omega _{-}(q'_{A}-q'_{B})^{2}}/{2}\right)$. Затем

$\langle q_{A}|\rho _{A}|q_{A}'\rangle \propto \exp \left({\frac {2(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}q_{A}q_{A}'-(8\omega _{+}\omega _{-}+(\omega _{+}-\omega _{-})^{2})(q_{A}^{2}+q_{A}'^{2})}{8(\omega _{+}+\omega _{-})}}\right)$

С $\rho _{A}$ оказывается в точности равным матрице плотности одиночного квантового гармонического осциллятора с частотой $\omega \equiv {\sqrt {\omega _{+}\omega _{-}}}$ в тепловом равновесии с температурой $T$ (такой, что $\omega /k_{B}T=\cosh ^{-1}\left({\frac {8\omega _{+}\omega _{-}+(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}}{(\omega _{+}-\omega _{-})^{2}}}\right)$ где $k_{B}$ – постоянная Больцмана ), собственные значения $\rho _{A}$ являются $\lambda _{n}=(1-e^{-\omega /k_{B}T})e^{-n\omega /k_{B}T}$ для неотрицательных целых чисел $n$. Таким образом, энтропия фон Неймана равна

$-\sum _{n}\lambda _{n}\ln(\lambda _{n})={\frac {\omega /k_{B}T}{e^{\omega /k_{B}T}-1}}-\ln(1-e^{-\omega /k_{B}T})$.

Аналогично энтропия Реньи $S_{\alpha }(\rho _{A})={\frac {(1-e^{-\omega /k_{B}T})^{\alpha }}{1-e^{-\alpha \omega /k_{B}T}}}/(1-\alpha )$.

Закон площади двудольной энтропии запутанности

Квантовое состояние удовлетворяет закону площади , если главный член энтропии запутанности растет не более чем пропорционально границе между двумя разделами.Законы площадей удивительно распространены для основных состояний квантовых систем многих тел с локальной щелью. Это имеет важные применения, одно из которых заключается в том, что это значительно снижает сложность квантовых систем многих тел. такие законы площади . Например, группа ренормализации матрицы плотности и состояния матричного произведения неявно полагаются на

Ссылки/источники

• Янцинг, Доминик (2009). «Энтропия запутанности». В Гринбергере, Дэниел; Хентшель, Клаус; Вайнерт, Фридель (ред.). Сборник квантовой физики . Спрингер. С. 205–209 . дои : 10.1007/978-3-540-70626-7_66 . ISBN  978-3-540-70626-7 .