Раздавленное запутывание

Сжатая запутанность , также называемая запутанностью CMI (CMI можно произносить как «увидишь меня»), является теоретико-информационной мерой квантовой запутанности для двудольной квантовой системы. Если $\varrho _{A,B}$ - матрица плотности системы $(A,B)$ состоит из двух подсистем $A$ и $B$, то запутанность CMI $E_{CMI}$ системы $(A,B)$ определяется

$E_{CMI}(\varrho _{A,B})={\frac {1}{2}}\min _{\varrho _{A,B,\Lambda }\in K}S(A:B|\Lambda )$, Уравнение (1)

где $K$ представляет собой набор всех матриц плотности $\varrho _{A,B,\Lambda }$ для трехсторонней системы $(A,B,\Lambda )$ такой, что $\varrho _{A,B}=tr_{\Lambda }(\varrho _{A,B,\Lambda })$. Таким образом, запутанность CMI определяется как экстремум функционала $S(A:B|\Lambda )$ из $\varrho _{A,B,\Lambda }$. Мы определяем $S(A:B|\Lambda )$, квантовая условная взаимная информация (CMI) , ниже. В более общей версии уравнения (1) «min» (минимум) в уравнении (1) заменяется на «inf» ( infimum ). Когда $\varrho _{A,B}$ это чистое состояние, $E_{CMI}(\varrho _{A,B})=S(\varrho _{A})=S(\varrho _{B})$, что согласуется с определением запутанности образования для чистых состояний. Здесь $S(\varrho )$ - энтропия фон Неймана матрицы плотности $\varrho$.

Мотивация определения запутанности ОМС

Запутанность CMI имеет свои корни в классической (неквантовой) теории информации , как мы объясним далее.

Учитывая любые две случайные величины $A,B$Классическая теория информации определяет взаимную информацию , меру корреляций, как

$H(A:B)=H(A)+H(B)-H(A,B)\,$. Уравнение (2)

Для трех случайных величин $A,B,\Lambda$, он определяет CMI как

${\begin{matrix}H(A:B|\Lambda )&=&H(A|\Lambda )+H(B|\Lambda )-H(A,B|\Lambda )\\&=&H(A,\Lambda )+H(B,\Lambda )-H(\Lambda )-H(A,B,\Lambda )\end{matrix}}$. Уравнение (3)

Можно показать, что $H(A:B|\Lambda )\geq 0$.

Теперь предположим $\varrho _{A,B,\Lambda }$ - матрица плотности трехсторонней системы $(A,B,\Lambda )$. Мы представим частичный след $\varrho _{A,B,\Lambda }$ по отношению к одной или двум его подсистемам путем $\varrho _{A,B,\Lambda }$ со стертым символом прослеживаемой системы. Например, $\varrho _{A,B}=tr_{\Lambda }(\varrho _{A,B,\Lambda })$. Квантовый аналог уравнения (2) можно определить формулой

$S(A:B)=S(\varrho _{A})+S(\varrho _{B})-S(\varrho _{A,B})\,$, Уравнение (4)

и квантовый аналог уравнения (3) по формуле

$S(A:B|\Lambda )=S(\varrho _{A,\Lambda })+S(\varrho _{B,\Lambda })-S(\varrho _{\Lambda })-S(\varrho _{A,B,\Lambda })\,$. Уравнение (5)

Можно показать, что $S(A:B|\Lambda )\geq 0$. Это неравенство часто называют свойством сильной субаддитивности квантовой энтропии.

Рассмотрим три случайные величины $A,B,\Lambda$ с распределением вероятностей $P_{A,B,\Lambda }(a,b,\lambda )$, который мы будем сокращать как $P(a,b,\lambda )$. Для тех особенных $P(a,b,\lambda )$ формы

$P(a,b,\lambda )=P(a|\lambda )P(b|\lambda )P(\lambda )\,$, Уравнение (6)

Рис.1: Представление уравнения (6) в байесовской сети

можно показать, что $H(A:B|\Lambda )=0$. Распределения вероятностей вида (6) фактически описываются байесовской сетью, показанной на рис.1.

Классическую запутанность CMI можно определить следующим образом:

$E_{CMI}(P_{A,B})=\min _{P_{A,B,\Lambda }\in K}H(A:B|\Lambda )$, Уравнение (7)

где $K$ это набор всех распределений вероятностей $P_{A,B,\Lambda }$ в трех случайных величинах $A,B,\Lambda$, такой, что $\sum _{\lambda }P_{A,B,\Lambda }(a,b,\lambda )=P_{A,B}(a,b)\,$для всех $a,b$. Поскольку, учитывая распределение вероятностей $P_{A,B}$, всегда можно распространить его на распределение вероятностей $P_{A,B,\Lambda }$ удовлетворяющее уравнению (6) , отсюда следует, что классическая запутанность CMI, $E_{CMI}(P_{A,B})$, равен нулю для всех $P_{A,B}$. Тот факт, что $E_{CMI}(P_{A,B})$ всегда исчезает, является важной мотивацией для определения $E_{CMI}(\varrho _{A,B})$. Нам нужна мера квантовой запутанности, которая исчезает в классическом режиме.

Предполагать $w_{\lambda }$ для $\lambda =1,2,...,dim(\Lambda )$ представляет собой набор неотрицательных чисел, сумма которых равна единице, и $|\lambda \rangle$ для $\lambda =1,2,...,dim(\Lambda )$ является ортонормированным базисом гильбертова пространства, ассоциированного с квантовой системой $\Lambda$. Предполагать $\varrho _{A}^{\lambda }$ и $\varrho _{B}^{\lambda }$, для $\lambda =1,2,...,dim(\Lambda )$ — матрицы плотности для систем $A$ и $B$, соответственно. Можно показать, что следующая матрица плотности

$\varrho _{A,B,\Lambda }=\sum _{\lambda }\varrho _{A}^{\lambda }\varrho _{B}^{\lambda }w_{\lambda }|\lambda \rangle \langle \lambda |\,$ Уравнение (8)

удовлетворяет $S(A:B|\Lambda )=0$. Уравнение (8) является квантовым аналогом уравнения (6). Прослеживая матрицу плотности уравнения (8) по $\Lambda$, мы получаем $\varrho _{A,B}=\sum _{\lambda }\varrho _{A}^{\lambda }\varrho _{B}^{\lambda }w_{\lambda }\,$, которое является сепарабельным состоянием . Поэтому, $E_{CMI}(\varrho _{A,B})$ заданное уравнением (1), обращается в нуль для всех сепарабельных состояний.

Когда $\varrho _{A,B}$ является чистым состоянием, можно получить $E_{CMI}(\varrho _{A,B})=S(\varrho _{A})=S(\varrho _{B})$. Этотсогласуется с определением запутанности формации для чистых состояний, данным в Ben96 .

Далее предположим $|\psi _{A,B}^{\lambda }\rangle$ для $\lambda =1,2,...,dim(\Lambda )$ некоторые состояния в гильбертовом пространстве, связанные с квантовой системой $(A,B)$. Позволять $K$ – набор матриц плотности, определенный ранее для уравнения (1). Определять $K_{o}$ быть набором всех матриц плотности $\varrho _{A,B,\Lambda }$ которые являются элементами $K$ и иметь специальную форму $\varrho _{A,B,\Lambda }=\sum _{\lambda }|\psi _{A,B}^{\lambda }\rangle \langle \psi _{A,B}^{\lambda }|w_{\lambda }|\lambda \rangle \langle \lambda |\,$. Можно показать, что если заменить в уравнении (1) множество $K$ по его собственному подмножеству $K_{o}$, то уравнение (1) сводится к определению запутанности образования для смешанных состояний, как это дано в Ben96 . $K$ и $K_{o}$ представляют разные степени знания о том, как $\varrho _{A,B,\Lambda }$ был создан. $K$ представляет собой полное невежество.

Поскольку запутанность CMI сводится к запутанности пласта, если минимизировать более $K_{o}$ вместо $K$, можно ожидать, что перепутывание CMI унаследует многие желаемые свойства от перепутывания пласта.

История

Важное неравенство $S(A:B|\Lambda )\geq 0$ впервые было доказано Либом и Рускаем в LR73 .

Классический CMI, заданный уравнением (3), впервые вошел в теорию информации вскоре после основополагающей статьи Шеннона 1948 года и, по крайней мере, уже в 1954 году в McG54 . Квантовый CMI, заданный уравнением (5), был впервые определен Серфом и Адами в Cer96 . Однако, похоже, Серф и Адами не осознавали связь CMI с запутанностью или возможность получения меры квантовой запутанности на основе CMI; это можно сделать, например, из более поздней статьи Cer97 , где они пытаются использовать $S(A|B)$ вместо CMI, чтобы понять запутанность. Первой статьей, явно указывающей на связь между CMI и квантовой запутанностью, является Tuc99 .

Окончательное определение запутанности CMI (1) было впервые дано Туччи в серии из 6 статей. (См., например, уравнение (8) для Tuc02 и уравнение (42) для Tuc01a ). В Tuc00b он указал на классическую вероятностную мотивацию уравнения (1) и ее связь с определениями запутанности образования для чистых и смешанных состояний. В Tuc01a он представил алгоритм и компьютерную программу, основанные на Аримото-Блахута методе теории информации , для численного расчета запутанности CMI. В Tuc01b он рассчитал запутанность CMI аналитически, для смешанного состояния двух кубитов .

В Hay03 Хайден, Йожа, Петц и Винтер исследовали связь между квантовым CMI и разделимостью .

Однако только до Chr03 было показано, что запутанность CMI на самом деле является мерой запутанности, т.е. что она не увеличивается при локальных операциях и классической коммуникации (LOCC). Доказательство адаптировало аргументы Бена96 о запутанности образований. В Chr03 они также доказали множество других интересных неравенств, касающихся запутанности CMI, в том числе то, что она аддитивна, и исследовали ее связь с другими мерами запутанности. Название «раздавленная запутанность» впервые появилось в Chr03 . В Chr05 Кристандл и Винтер аналитически рассчитали запутанность CMI некоторых интересных состояний.

В Ali03 Алики и Фаннес доказали непрерывность запутанности CMI. В BCY10 Брандао, Кристандл и Ярд показали, что запутанность CMI равна нулю тогда и только тогда, когда состояние сепарабельно. В Hua14 Хуанг доказал, что вычисление сжатой запутанности NP-сложно.

Ссылки

• Али03 Алики, Р.; Фаннес, М. (2003). «Непрерывность квантовой взаимной информации». Дж. Физ. А. ​ 37 (55): L55–L57. arXiv : Quant-ph/0312081 . Бибкод : 2004JPhA...37L..55A . дои : 10.1088/0305-4470/37/5/L01 . S2CID   118859724 .
• BCY10 Брандао, Ф.; Кристандл, М.; Ярд, Дж. (сентябрь 2011 г.). «Верное раздавленное запутывание». Связь в математической физике . 306 (3): 805–830. arXiv : 1010.1750 . Бибкод : 2011CMaPh.306..805B . дои : 10.1007/s00220-011-1302-1 . S2CID   46576412 .
• Бен96 Беннетт, Чарльз Х.; ДиВинченцо, Дэвид П.; Смолин, Джон А.; Вуттерс, Уильям К. (1996). «Запутывание смешанного состояния и квантовая коррекция ошибок». Физический обзор А. 54 (5): 3824–3851. arXiv : Quant-ph/9604024 . Бибкод : 1996PhRvA..54.3824B . дои : 10.1103/PhysRevA.54.3824 . ПМИД   9913930 . S2CID   3059636 .
• Цер96 Серф, Нью-Джерси; Адами, К. (1996). «Квантовая механика измерения». arXiv : Quant-ph/9605002 .
• Цер97 Серф, Нью-Джерси; Адами, К.; Гингрич, Р.М. (1999). «Квантовый условный оператор и критерий разделимости». Физический обзор А. 60 (2): 893–898. arXiv : Quant-ph/9710001 . Бибкод : 1999PhRvA..60..893C . дои : 10.1103/PhysRevA.60.893 . S2CID   119451904 .
• Chr03 Матиас Кристандл; Андреас Винтер (2003). « «Сжатая запутанность»: аддитивная мера запутанности». Журнал математической физики . 45 (3): 829–840. arXiv : Quant-ph/0308088 . Бибкод : 2004JMP....45..829C . дои : 10.1063/1.1643788 . S2CID   119459299 .
• Chr05 Матиас Кристандл; Андреас Винтер (2005). «Неопределенность, моногамия и блокировка квантовых корреляций». Транзакции IEEE по теории информации . 51 (9): 3159–3165. arXiv : Quant-ph/0501090 . дои : 10.1109/TIT.2005.853338 . S2CID   7911129 .
• Chr06 Матиас Кристандл (2006). «Структура двудольных квантовых состояний - идеи теории групп и криптографии». arXiv : Quant-ph/0604183 . Кембриджская докторская диссертация.
• Хэй03 Патрик Хейден; Ричард Джожа; Денес Петц; Андреас Винтер (2004). «Структура состояний, которые удовлетворяют сильной субаддитивности квантовой энтропии с равенством». Связь в математической физике . 246 (2): 359–374. arXiv : Quant-ph/0304007 . Бибкод : 2004CMaPh.246..359H . дои : 10.1007/s00220-004-1049-z . S2CID   27093521 .
• Хуа14 Хуан, Ичэнь (21 марта 2014 г.). «Вычисление квантового диссонанса является NP-полным». Новый журнал физики . 16 (3): 033027. arXiv : 1305.5941 . Бибкод : 2014NJPh...16c3027H . дои : 10.1088/1367-2630/16/3/033027 . S2CID   118556793 .
• LR73 Эллиот Х. Либ, Мэри Бет Рускай, «Доказательство сильной субаддитивности квантово-механической энтропии», Журнал математической физики 14 (1973) 1938–1941.
• McG54 У. Дж. МакГилл, «Многомерная передача информации», IRE Trans. Информация. Теория 4 (1954) 93–111.
• Тук99 Туччи, Роберт Р. (1999). «Квантовая запутанность и условная передача информации». arXiv : Quant-ph/9909041 .
• Тук00а Туччи, Роберт Р. (2000). «Разделимость матриц плотности и условная передача информации». arXiv : Quant-ph/0005119 .
• Tuc00b Туччи, Роберт Р. (2000). «Запутывание формирования и передача условной информации». arXiv : Quant-ph/0010041 .
• Тук01а Туччи, Роберт Р. (2001). «Релаксационный метод для расчета квантовой запутанности». arXiv : Quant-ph/0101123 .
• Tuc01b Туччи, Роберт Р. (2001). «Запутывание Белловых смесей двух кубитов». arXiv : Quant-ph/0103040 .
• Тук02 Туччи, Роберт Р. (2002). «Запутывание дистилляции и условной взаимной информации». arXiv : Quant-ph/0202144 .

Внешние ссылки

• Верное раздавленное запутывание