Сильная субаддитивность квантовой энтропии.

В квантовой теории информации сильная субаддитивность квантовой энтропии ( SSA ) — это отношение между энтропиями фон Неймана различных квантовых подсистем более крупной квантовой системы, состоящей из трех подсистем (или одной квантовой системы с тремя степенями свободы). Это основная теорема современной квантовой теории информации . Это было предположено Д. У. Робинсоном и Д. Рюэлем. в 1966 году и О.Э. Лэнфорд III и Д.У. Робинсон. в 1968 г. и доказан в 1973 г. Э. Х. Либом и М. Б. Рускаи , опираясь на результаты, полученные Либом при доказательстве гипотезы Вигнера-Янасе-Дайсона.

Классическая версия SSA была давно известна и оценена в классической теории вероятностей и теории информации. Доказательство этого соотношения в классическом случае достаточно простое, но квантовый случай затруднен из-за некоммутативности приведенных матриц плотности, описывающих квантовые подсистемы.

Некоторые полезные ссылки здесь включают:

• «Квантовые вычисления и квантовая информация»
• «Квантовая энтропия и ее использование»
• Отслеживание неравенств и квантовая энтропия: вводный курс

Определения

В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения: Гильбертово пространство обозначается через ${\mathcal {H}}$, и ${\mathcal {B}}({\mathcal {H}})$ обозначает ограниченные линейные операторы на ${\mathcal {H}}$.Тензорные произведения обозначаются верхними индексами, например, ${\mathcal {H}}^{12}={\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}$. След обозначается ${\rm {Tr}}$.

Матрица плотности

Матрица плотности — это эрмитова положительная полуопределенная матрица со следом единица. Это позволяет описать квантовую систему в смешанном состоянии . Матрицы плотности тензорного произведения обозначаются верхними индексами, например: $\rho ^{12}$ представляет собой матрицу плотности на ${\mathcal {H}}^{12}$.

Энтропия

фон Неймана Квантовая энтропия матрицы плотности $\rho$ является

$S(\rho ):=-{\rm {Tr}}(\rho \log \rho )$.

Относительная энтропия

Умегаки квантовая относительная энтропия двух матриц плотности $\rho$ и $\sigma$ является

$S(\rho ||\sigma )={\rm {Tr}}(\rho \log \rho -\rho \log \sigma )\geq 0$.

Совместная вогнутость

Функция $g$ двух переменных называется совместно вогнутым, если для любого $0\leq \lambda \leq 1$ имеет место следующее

$g(\lambda A_{1}+(1-\lambda )A_{2},\lambda B_{1}+(1-\lambda )B_{2})\geq \lambda g(A_{1},B_{1})+(1-\lambda )g(A_{2},B_{2}).$

Субаддитивность энтропии

Обыкновенная субаддитивность касается только двух пространств ${\mathcal {H}}^{12}$ и матрица плотности $\rho ^{12}$. В нем говорится, что

$S(\rho ^{12})\leq S(\rho ^{1})+S(\rho ^{2})$

Это неравенство, конечно, верно и в классической теории вероятностей, но последняя содержит итеорема о том, что условные энтропии $S(\rho ^{12}|\rho ^{1})=S(\rho ^{12})-S(\rho ^{1})$ и $S(\rho ^{12}|\rho ^{2})=S(\rho ^{12})-S(\rho ^{2})$ оба неотрицательны. Однако в квантовом случае оба могут быть отрицательными, например $S(\rho ^{12})$может быть нулевым, пока $S(\rho ^{1})=S(\rho ^{2})>0$. Тем не менее верхняя граница субаддитивности $S(\rho ^{12})$ продолжает держаться. Самое близкое, что есть к $S(\rho ^{12})-S(\rho ^{1})\geq 0$ — неравенство треугольника Араки–Либа

$S(\rho ^{12})\geq |S(\rho ^{1})-S(\rho ^{2})|$

который получен в от субаддитивности с помощью математического метода, известного как очистка .

Сильная субаддитивность (SSA)

Предположим, что гильбертово пространство системы является тензорным произведением трех пространств: ${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}\otimes {\mathcal {H}}^{3}.$. Физически эти три пространства могутинтерпретироваться как пространство трех различных систем или как три части или три степени свободы.одной физической системы.

Учитывая матрицу плотности $\rho ^{123}$ на ${\mathcal {H}}$, мы определяем матрицу плотности $\rho ^{12}$ на ${\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}$ как частичный след : $\rho ^{12}={\rm {Tr}}_{{\mathcal {H}}^{3}}\rho ^{123}$. Аналогично мы можем определить матрицы плотности: $\rho ^{23}$, $\rho ^{13}$, $\rho ^{1}$, $\rho ^{2}$, $\rho ^{3}$.

Заявление

Для любого трёхстороннего государства $\rho ^{123}$ имеет место следующее

$S(\rho ^{123})+S(\rho ^{2})\leq S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})$,

где $S(\rho ^{12})=-{\rm {Tr}}_{{\mathcal {H}}^{12}}\rho ^{12}\log \rho ^{12}$, например.

Эквивалентно, это утверждение можно переформулировать с точки зрения условной энтропии, чтобы показать, что для трехстороннего состояния $\rho ^{ABC}$,

$S(A\mid BC)\leq S(A\mid B)$.

Это также можно переформулировать в терминах квантовой взаимной информации :

$I(A:BC)\geq I(A:B)$.

Эти утверждения параллельны классической интуиции, за исключением того, что квантовая условная энтропия может быть отрицательной, а квантовая взаимная информация может превышать классическую границу предельной энтропии.

Сильное неравенство субаддитивности было улучшено Карленом и Либом следующим образом.

$S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 2\max\{S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13}),S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13}),0\}$,

с оптимальной константой $2$.

Дж. Кифер в 1959 году доказал результат о выпуклости, связанный с периферией, который является следствием операторного неравенства Шварца, доказанного Э.Х.Либом и М.Б.Рускаем. Однако эти результаты сравнительно просты, и в доказательствах не используются результаты статьи Либа 1973 года о выпуклых и вогнутых функционалах следа. Именно эта статья послужила математической основой доказательства SSA Либа и Рускаи. Расширение от настройки гильбертового пространства до настройки алгебры фон Неймана, где состояния не задаются матрицами плотности, было сделано Нарнгофер и Тирринг.

Теорему также можно получить, доказав многочисленные эквивалентные утверждения, некоторые из которых кратко изложены ниже.

Гипотеза Вигнера-Янасе-Дайсона

Е.П. Вигнер и М.М. Янасэ предложил другое определение энтропии, которое было обобщено Фрименом Дайсоном .

-асимметрии Вигнера-Янасе-Дайсона о p Информация

Вигнер-Янасе-Дайсон $p$-искажение информации матрицы плотности $\rho$. по отношению к оператору $K$ является

$I_{p}(\rho ,K)={\frac {1}{2}}{\rm {Tr}}[\rho ^{p},K^{*}][\rho ^{1-p},K],$

где $[A,B]=AB-BA$ является коммутатором, $K^{*}$ этопримыкающий к $K$ и $0\leq p\leq 1$ фиксировано.

Вогнутость p -асимметричной информации

Это предположение было высказано Е. П. Вигнером и М. М. Янасэ в что $p$- информация об асимметрии является вогнутой как функция матрицы плотности $\rho$ за фиксированную $0\leq p\leq 1$.

Поскольку срок $-{\tfrac {1}{2}}{\rm {Tr}}\rho KK^{*}$ вогнута (линейна), то гипотеза сводится к проблеме вогнутости $Tr\rho ^{p}K^{*}\rho ^{1-p}K$. Как отмечается в, эта гипотеза (для всех $0\leq p\leq 1$) подразумевает SSA, и было доказано для $p={\tfrac {1}{2}}$ в, и для всех $0\leq p\leq 1$ в в следующей более общей форме: Функция две матричные переменные

$A,B\mapsto {\rm {Tr}}A^{r}K^{*}B^{p}K$ ( 1 )

является совместно вогнутым в $A$ и $B,$когда $0\leq r\leq 1$ и $p+r\leq 1$.

Эта теорема является существенной частью доказательства SSA в.

В своей статье Е. П. Вигнер и М. М. Янасэ также высказали гипотезу о субаддитивности $p$-искажать информацию для $p={\tfrac {1}{2}}$, что было опровергнуто Хансеном приведя контрпример.

Первые два утверждения эквивалентны SSA

Это было указано в что первое утверждение ниже эквивалентно SSA и А. Ульману в показал эквивалентность между вторым утверждением ниже и SSA.

• $S(\rho ^{1})+S(\rho ^{3})-S(\rho ^{12})-S(\rho ^{23})\leq 0.$ Заметим, что условные энтропии $S(\rho ^{12}|\rho ^{1})$ и $S(\rho ^{23}|\rho ^{3})$ не обязательно должны быть оба неотрицательными.
• Карта $\rho ^{12}\mapsto S(\rho ^{1})-S(\rho ^{12})$ является выпуклым.

Оба эти утверждения были непосредственно доказаны в.

Совместная выпуклость относительной энтропии

Как отметил Линдблад и Ульман, если в уравнении ( 1 ) взять $K=1$ и $r=1-p,A=\rho$ и $B=\sigma$ и дифференцируется в $p$ в $p=0$, одинполучает совместную выпуклость относительной энтропии :то есть, если $\rho =\sum _{k}\lambda _{k}\rho _{k}$, и $\sigma =\sum _{k}\lambda _{k}\sigma _{k}$, затем

$S{\Bigl (}\sum _{k}\lambda _{k}\rho _{k}||\sum _{k}\lambda _{k}\sigma _{k}{\Bigr )}\leq \sum _{k}\lambda _{k}S(\rho _{k}||\sigma _{k}),$ ( 2 )

где $\lambda _{k}\geq 0$ с $\sum _{k}\lambda _{k}=1$.

Монотонность квантовой относительной энтропии

Относительная энтропия монотонно уменьшается при операциях полностью положительного сохранения следа (CPTP). ${\mathcal {N}}$ на матрицах плотности,

$S({\mathcal {N}}(\rho )\|{\mathcal {N}}(\sigma ))\leq S(\rho \|\sigma )$.

Это неравенство называется монотонностью квантовой относительной энтропии. Благодаря факторизационной теореме Стайнспринга это неравенство является следствием конкретного выбора карты CPTP — частичной карты следов, описанной ниже.

Самый важный и основной класс карт CPTP — операция частичной трассировки. $T:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}}^{12})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {H}}^{1})$, заданный $T=1_{{\mathcal {H}}^{1}}\otimes \mathrm {Tr} _{{\mathcal {H}}^{2}}$. Затем

$S(T\rho ||T\sigma )\leq S(\rho ||\sigma ),$ ( 3 )

что называется монотонностью квантовой относительной энтропии при частичном следе .

Чтобы увидеть, как это следует из совместной выпуклости относительной энтропии, заметим, что $T$ можно записать в представлении Ульмана как

$T(\rho ^{12})=N^{-1}\sum _{j=1}^{N}(1_{{\mathcal {H}}^{1}}\otimes U_{j})\rho ^{12}(1_{{\mathcal {H}}^{1}}\otimes U_{j}^{*}),$

для некоторого конечного $N$ и некоторый набор унитарных матриц на ${\mathcal {H}}^{2}$ (альтернативно интегрировать по мере Хаара ). Поскольку след (и, следовательно, относительная энтропия) унитарно инвариантен,неравенство ( 3 ) теперь следует из ( 2 ). Эта теорема принадлежит Линдбладу. и Ульман, доказательство которого приведено здесь.

SSA получается из ( 3 ) с ${\mathcal {H}}^{1}$ заменен на ${\mathcal {H}}^{12}$ и ${\mathcal {H}}^{2}$ заменил ${\mathcal {H}}^{3}$. Брать $\rho =\rho ^{123},$ $\sigma =\rho ^{1}\otimes \rho ^{23},$ $T=1_{{\mathcal {H}}^{12}}\otimes Tr_{{\mathcal {H}}^{3}}$.Тогда ( 3 ) становится

$S(\rho ^{12}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{2})\leq S(\rho ^{123}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{23}).$

Поэтому,

$S(\rho ^{123}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{23})-S(\rho ^{12}||\rho ^{1}\otimes \rho ^{2})=S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 0,$

что такое ССА. Таким образом,монотонность квантовой относительной энтропии (следующая из ( 1 )) влечет за собой SSA.

Связь между неравенствами

Все перечисленные важные неравенства эквивалентны друг другу, а также могут быть доказаны непосредственно. Следующие действия эквивалентны:

• Монотонность квантовой относительной энтропии (МОНО);
• Монотонность квантовой относительной энтропии при частичном следе (MPT);
• Сильная субаддитивность (SSA);
• Совместная выпуклость квантовой относительной энтропии (JC);

Следующие следствия показывают эквивалентность этих неравенств.

• МОНОНУКЛЕОЗ $\Rightarrow$ MPT: следует, поскольку MPT является частным случаем MONO;
• МПТ $\Rightarrow$ МОНО: было показано Линдбладом, использование представления стохастических отображений в виде частичного следа над вспомогательной системой;
• МПТ $\Rightarrow$ SSA: следует за конкретным выбором трехчастных состояний в MPT, описанным в разделе выше «Монотонность квантовой относительной энтропии»;
• ССА $\Rightarrow$ MPT: выбрав $\rho _{123}$ чтобы быть блочной диагональю, можно показать, что из SSA следует, что отображение

$\rho _{12}\mapsto S(\rho _{1})-S(\rho _{12})$ является выпуклым. В было замечено, что эта выпуклость дает MPT;

• МПТ $\Rightarrow$ ДК: как уже упоминалось выше, выбрав $\rho _{12}$ (и аналогично, $\sigma _{12}$) быть блочной диагональной матрицей с блоками $\lambda _{k}\rho _{k}$ (и $\lambda _{k}\sigma _{k}$), частичная трасса представляет собой сумму по блокам, так что $\rho :=\rho _{2}=\sum _{k}\lambda _{k}\rho _{k}$, поэтому из MPT можно получить JC;
• Джей Си $\Rightarrow$ SSA: используя «процесс очистки», Араки и Либ, заметил, что из известных можно получить новые полезные неравенства. Очищая $\rho _{123}$ к $\rho _{1234}$ можно показать, что SSA эквивалентно

$S(\rho _{4})+S(\rho _{2})\leq S(\rho _{12})+S(\rho _{14}).$

Более того, если $\rho _{124}$ чист, то $S(\rho _{2})=S(\rho _{14})$ и $S(\rho _{4})=S(\rho _{12})$, поэтому в приведенном выше неравенстве выполнено равенство. Поскольку крайние точки выпуклого множества матриц плотности являются чистыми состояниями, SSA следует из JC;

Видеть, для обсуждения.

Случай равенства

Равенство монотонности квантового неравенства относительной энтропии

В, Д. Петц показал, что единственный случай равенства в отношении монотонности — это наличие собственного канала «восстановления»:

Для всех штатов $\rho$ и $\sigma$ в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$ и все квантовые операторы $T:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})$,

$S(T\rho ||T\sigma )=S(\rho ||\sigma ),$

тогда и только тогда, когда существует квантовый оператор ${\hat {T}}$ такой, что

${\hat {T}}T\sigma =\sigma ,$ и ${\hat {T}}T\rho =\rho .$

Более того, ${\hat {T}}$ может быть задано явно по формуле

${\hat {T}}\omega =\sigma ^{1/2}T^{*}{\Bigl (}(T\sigma )^{-1/2}\omega (T\sigma )^{-1/2}{\Bigr )}\sigma ^{1/2},$

где $T^{*}$ является присоединенной картой $T$.

Д. Петц также поставил еще одно условие когда выполняется равенство в монотонности квантовой относительной энтропии: первое утверждение ниже. Дифференцируя его по $t=0$ у нас есть второе условие. Более того, М.Б. Рускай привел еще одно доказательство второго утверждения.

Для всех штатов $\rho$ и $\sigma$ на ${\mathcal {H}}$ и все квантовые операторы $T:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})$,

$S(T\rho ||T\sigma )=S(\rho ||\sigma ),$

тогда и только тогда, когда выполняются следующие эквивалентные условия:

• $T^{*}(T(\rho )^{it}T(\sigma )^{it})=\rho ^{it}\sigma ^{-it}$ для всех реально $t$.
• $\log \rho -\log \sigma =T^{*}{\Bigl (}\log T(\rho )-\log T(\sigma ){\Bigr )}.$

где $T^{*}$ является присоединенным отображением $T$.

Равенство в сильном субаддитивном неравенстве

П. Хейден , Р. Йожа, Д. Петц и А. Винтер описали состояния, для которых равенство имеет место в АЮС.

Государство $\rho ^{ABC}$ в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}^{A}\otimes {\mathcal {H}}^{B}\otimes {\mathcal {H}}^{C}$ удовлетворяет сильной субаддитивности с равенством тогда и только тогда, когда существует разложение второй системы как

${\mathcal {H}}^{B}=\bigoplus _{j}{\mathcal {H}}^{B_{j}^{L}}\otimes {\mathcal {H}}^{B_{j}^{R}}$

в прямую сумму тензорных произведений, такую ​​что

$\rho ^{ABC}=\bigoplus _{j}q_{j}\rho ^{AB_{j}^{L}}\otimes \rho ^{B_{j}^{R}C},$

с государствами $\rho ^{AB_{j}^{L}}$ на ${\mathcal {H}}^{A}\otimes {\mathcal {H}}^{B_{j}^{L}}$ и $\rho ^{B_{j}^{R}C}$ на ${\mathcal {H}}^{B_{j}^{R}}\otimes {\mathcal {H}}^{C}$и распределение вероятностей $\{q_{j}\}$.

Расширение Карлен Либ

Э. Х. Либ и Э. А. Карлен обнаружили явную ошибку в неравенстве SSA: а именно,

$S(\rho ^{12})+S(\rho ^{23})-S(\rho ^{123})-S(\rho ^{2})\geq 2\max\{0,S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13}),S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})\}$

Если $S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13})\leq 0$ и $S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})\leq 0$, как и всегда в случае классической энтропии Шеннона, это неравенство ни о чем не говорит. С другой стороны, для квантовой энтропии вполне возможно, что условные энтропии удовлетворяют $-S(\rho ^{13}|\rho ^{1})=S(\rho ^{1})-S(\rho ^{13})>0$ или $-S(\rho ^{13}|\rho ^{3})=S(\rho ^{3})-S(\rho ^{13})>0$ (но никогда оба!). Затем, в этом «высоко квантовом» режиме это неравенство дает дополнительную информацию.

Константа 2 является оптимальной в том смысле, что для любой константы, большей 2, можно найти состояние, для которого неравенство с этой константой нарушается.

Операторное расширение сильной субаддитивности

В своей статье И. Ким исследовал операторное расширение сильной субаддитивности, доказав следующее неравенство:

Для трехстороннего состояния (матрица плотности) $\rho ^{123}$ на ${\mathcal {H}}^{1}\otimes {\mathcal {H}}^{2}\otimes {\mathcal {H}}^{3}$,

$Tr_{12}{\Bigl (}\rho ^{123}(-\log(\rho ^{12})-\log(\rho ^{23})+\log(\rho ^{2})+\log(\rho ^{123})){\Bigr )}\geq 0.$

Доказательство этого неравенства основано на теореме Эффроса : для которых выбраны конкретные функции и операторы для вывода приведенного выше неравенства. М.Б. Рускай подробно описывает эту работу в и обсуждается, как доказать большой класс новых матричных неравенств в трехдольном и двудольном случаях, проведя частичный след по всем пространствам, кроме одного.

Расширения сильной субаддитивности с точки зрения восстанавливаемости.

Значительное усиление сильной субаддитивности было доказано в 2014 г. который впоследствии был усовершенствован в и. В 2017 году было показано, что канал восстановления можно принять за исходную карту восстановления Петца. Эти улучшения сильной субаддитивности имеют физическую интерпретацию с точки зрения восстанавливаемости, а это означает, что если условная взаимная информация $I(A;B|E)=S(AE)+S(BE)-S(E)-S(ABE)$ трехчастного квантового состояния $\rho _{ABE}$ почти равно нулю, то можно выполнить канал восстановления ${\mathcal {R}}_{E\to AE}$ (от системы E к AE) такой, что $\rho _{ABE}\approx {\mathcal {R}}_{E\to AE}(\rho _{BE})$. Таким образом, эти результаты обобщают упомянутые выше точные условия равенства.

См. также

• Энтропия фон Неймана
• Условная квантовая энтропия
• Квантовая взаимная информация
• Расхождение Кульбака – Лейблера