Сетевая наука

Чтобы узнать о других значениях, см. Сеть (значения) .

Сетевая наука — это академическая область, которая изучает сложные сети , такие как телекоммуникационные сети , компьютерные сети , биологические сети , когнитивные и семантические сети и социальные сети , рассматривая отдельные элементы или субъектов, представленных узлами (или вершинами ), и связи между элементами или субъектами. как ссылки (или края ). Эта область опирается на теории и методы, включая теорию графов из математики, статистическую механику из физики, интеллектуальный анализ данных и визуализацию информации из информатики, логическое моделирование из статистики и социальную структуру из социологии. Национальный исследовательский совет США определяет сетевую науку как «исследование сетевых представлений физических, биологических и социальных явлений, ведущее к созданию прогнозирующих моделей этих явлений».

Предыстория и история

Изучение сетей возникло в различных дисциплинах как средство анализа сложных реляционных данных. Самая ранняя известная статья в этой области — знаменитые «Семь мостов Кенигсберга», написанные Леонардом Эйлером в 1736 году. Математическое описание Эйлером вершин и ребер легло в основу теории графов — раздела математики, изучающего свойства парных отношений в сетевой структуре. . Область теории графов продолжала развиваться и находила приложения в химии (Сильвестр, 1878).

Денес Кениг , венгерский математик и профессор, написал первую книгу по теории графов под названием «Теория конечных и бесконечных графов» в 1936 году.

Социограмма Морено 1 класса.

В 1930-х годах Джейкоб Морено , психолог гештальт в США приехал -традиции. Он разработал социограмму и представил ее публике в апреле 1933 года на съезде ученых-медиков. Морено утверждал, что «до появления социометрии никто не знал, как «точно» выглядит межличностная структура группы» (Moreno, 1953). Социограмма представляла собой представление социальной структуры группы учащихся начальной школы. Мальчики дружили с мальчиками, а девочки дружили с девочками, за исключением одного мальчика, который сказал, что ему нравится одна девушка. Это чувство не было взаимным. Это сетевое представление социальной структуры оказалось настолько интригующим, что оно было напечатано в «Нью-Йорк Таймс» (3 апреля 1933 г., стр. 17). Социограмма нашла множество применений и переросла в область анализа социальных сетей .

Вероятностная теория в сетевой науке возникла как ответвление теории графов в Пола Эрдеша и Альфреда Реньи восьми знаменитых статьях о случайных графах . Для социальных сетей модель экспоненциального случайного графа или p* представляет собой систему обозначений, используемую для представления вероятностного пространства связи, возникающей в социальной сети . Альтернативным подходом к структурам вероятности сети является матрица вероятностей сети , которая моделирует вероятность появления ребер в сети на основе исторического присутствия или отсутствия ребра в выборке сетей.

В 1998 году Дэвид Кракхардт и Кэтлин Карли представили идею метасети с помощью модели PCANS. Они предполагают, что «все организации структурированы по этим трем областям: люди, задачи и ресурсы». В их статье представлена ​​концепция, согласно которой сети существуют в нескольких областях и взаимосвязаны. Эта область переросла в другую дисциплину сетевой науки, называемую динамическим сетевым анализом .

Совсем недавно другие усилия в области сетевых наук были сосредоточены на математическом описании различных сетевых топологий. Дункан Уоттс и Стивен Строгац согласовали эмпирические данные о сетях с математическим представлением, описав сеть маленького мира . Альберт-Ласло Барабаши и Река Альберт обнаружили безмасштабные сети — свойство, отражающее тот факт, что в реальных сетевых узлах сосуществуют множество вершин малой степени, и предложили динамическую модель, объясняющую происхождение этого безмасштабного состояния.

Министерства

Американские военные впервые заинтересовались сетецентрической войной как оперативной концепцией, основанной на сетевой науке, в 1996 году. Джон А. Парментола, директор по исследованиям и управлению лабораториями армии США, предложил Совету армии по науке и технологиям (BAST) 1 декабря 2003 г. сетевые науки стали новой областью исследований в армии. BAST, отдел инженерных и физических наук Национального исследовательского совета (NRC) национальных академий, служит органом, созывающим обсуждение вопросов науки и техники, имеющих важное значение для армии, и курирует независимые исследования, связанные с армией, проводимые Национальные академии. BAST провел исследование, чтобы выяснить, может ли определение и финансирование новой области фундаментальных исследований, сетевых наук, помочь сократить разрыв между тем, что необходимо для реализации сетецентрических операций, и нынешним примитивным состоянием фундаментальных знаний о сетях.

В результате в 2005 году BAST опубликовал исследование NRC под названием «Сетевые науки» (упомянутое выше), которое определило новую область фундаментальных исследований в области сетевых наук для армии. На основе выводов и рекомендаций этого исследования и последующего отчета NRC 2007 года под названием «Стратегия армейского центра сетевых наук, технологий и экспериментов» ресурсы фундаментальных исследований армии были перенаправлены на инициирование новой программы фундаментальных исследований в области сетевых наук. Чтобы создать новую теоретическую основу для сложных сетей, некоторые из ключевых исследований в области сетевых наук, проводимых в настоящее время в армейских лабораториях, направлены на:

• Математические модели поведения сети для прогнозирования производительности в зависимости от размера, сложности и среды сети.
• Оптимизированные человеческие возможности, необходимые для сетевой войны
• Сеть внутри экосистем и на молекулярном уровне клеток.

По инициативе Фредерика И. Моксли в 2004 году при поддержке, которую он запросил у Дэвида С. Альбертса, Министерство обороны помогло создать первый Центр сетевых наук совместно с армией США в Военной академии США (USMA). Под руководством доктора Моксли и преподавателей USMA курсантам Вест-Пойнта были преподаны первые междисциплинарные курсы бакалавриата по сетевым наукам. Чтобы лучше привить принципы сетевой науки своим будущим лидерам, USMA также учредила программу бакалавриата по сетевым наукам, состоящую из пяти курсов.

В 2006 году армия США и Соединенное Королевство (Великобритания) сформировали Международный технологический альянс сетевых и информационных наук , совместное партнерство Армейской исследовательской лаборатории, Министерства обороны Великобритании и консорциума промышленных предприятий и университетов США и Великобритании. Целью альянса является проведение фундаментальных исследований в поддержку сетецентрических операций, отвечающих потребностям обеих стран.

В 2009 году армия США сформировала Network Science CTA , совместный исследовательский альянс Армейской исследовательской лаборатории CERDEC и консорциума, состоящего примерно из 30 промышленных научно-исследовательских лабораторий и университетов США. Целью альянса является развитие глубокого понимания основные общие черты между переплетенными социальными/когнитивными, информационными и коммуникационными сетями и, как следствие, улучшают нашу способность анализировать, прогнозировать, проектировать и влиять на сложные системы, переплетающие множество видов сетей.

Впоследствии, в результате этих усилий, Министерство обороны США спонсировало многочисленные исследовательские проекты, поддерживающие сетевую науку.

Классификация сетей

Детерминированная сеть

Определение детерминированной сети определяется по сравнению с определением вероятностной сети. В невзвешенных детерминированных сетях ребра либо существуют, либо нет. Обычно мы используем 0 для обозначения отсутствия ребра, а 1 для обозначения существования ребра. Во взвешенных детерминированных сетях значение ребра представляет собой вес каждого ребра, например уровень силы.

Вероятностная сеть

В вероятностных сетях значения за каждым ребром представляют вероятность существования каждого ребра. Например, если одно ребро имеет значение, равное 0,9, мы говорим, что вероятность существования этого ребра равна 0,9.

Свойства сети

Часто сети имеют определенные атрибуты, которые можно рассчитать для анализа свойств и характеристик сети. Поведение этих свойств сети часто определяет сетевые модели и может использоваться для анализа того, насколько определенные модели отличаются друг от друга. Многие определения других терминов, используемых в сетевой науке, можно найти в Глоссарии теории графов .

Размер

Размер сети может относиться к количеству узлов. $N$ или, реже, количество ребер $E$ который (для связных графов без мультиребер) может варьироваться от $N-1$ (дерево) чтобы $E_{\max }$ (полный график). В случае простого графа (сети, в которой между каждой парой вершин существует не более одного (ненаправленного) ребра и в которой ни одна вершина не соединяется сама с собой) мы имеем $E_{\max }={\tbinom {N}{2}}=N(N-1)/2$; для ориентированных графов (без самосвязных узлов), $E_{\max }=N(N-1)$; для ориентированных графов с разрешенными самосвязностями, $E_{\max }=N^{2}$. В случае графа, в котором между парой вершин может существовать несколько ребер, $E_{\max }=\infty$.

Плотность

Плотность $D$ сети определяется как нормализованное соотношение между 0 и 1 количества ребер $E$ к числу возможных ребер в сети с $N$ узлы. Плотность сети — это мера процента «необязательных» ребер, существующих в сети, и ее можно рассчитать как $D={\frac {E-E_{\mathrm {min} }}{E_{\mathrm {max} }-E_{\mathrm {min} }}}$где $E_{\mathrm {min} }$ и $E_{\mathrm {max} }$ — минимальное и максимальное количество ребер в подключенной сети с $N$ узлы соответственно. В случае простых графиков $E_{\mathrm {max} }$ определяется биномиальным коэффициентом ${\tbinom {N}{2}}$ и $E_{\mathrm {min} }=N-1$, придающий плотность $D={\frac {E-(N-1)}{E_{\mathrm {max} }-(N-1)}}={\frac {2(E-N+1)}{N(N-3)+2}}$.Другое возможное уравнение: $D={\frac {T-2N+2}{N(N-3)+2}},$ тогда как связи $T$ являются однонаправленными (Вассерман и Фауст, 1994). Это дает лучшее представление о плотности сети, поскольку можно измерить однонаправленные отношения.

сети

Плотность $D$ сети, в которой нет пересечения ребер, определяется как отношение числа ребер $E$ к числу возможных ребер в сети с $N$ узлы, заданные графом без пересекающихся ребер $(E_{\max }=3N-6)$, давая $D={\frac {E-N+1}{2N-5}}.$

Средняя степень

Степень ​ $k$ узла — это количество ребер, соединенных с ним. С плотностью сети тесно связана средняя степень, $\langle k\rangle ={\tfrac {2E}{N}}$ (или, в случае ориентированных графов, $\langle k\rangle ={\tfrac {E}{N}}$, первый множитель 2, возникающий из-за каждого ребра неориентированного графа, вносящего вклад в степень двух различных вершин). В модели случайного графа ER ( $G(N,p)$) мы можем вычислить ожидаемое значение $\langle k\rangle$ (равен ожидаемому значению $k$ произвольной вершины): случайная вершина имеет $N-1$ другие вершины сети доступны и с вероятностью $p$, подключается к каждому. Таким образом, $\mathbb {E} [\langle k\rangle ]=\mathbb {E} [k]=p(N-1)$.

длина пути

Средняя длина кратчайшего пути вычисляется путем нахождения кратчайшего пути между всеми парами узлов и взятия среднего значения по всем путям этой длины (длина представляет собой количество промежуточных ребер, содержащихся в пути, т. е. расстояние $d_{u,v}$ между двумя вершинами $u,v$ внутри графика). Это показывает нам в среднем количество шагов, необходимых для перехода от одного члена сети к другому. Поведение ожидаемой средней длины кратчайшего пути (то есть среднего по ансамблю средней длины кратчайшего пути) в зависимости от количества вершин $N$ случайной сетевой модели определяет, демонстрирует ли эта модель эффект маленького мира; если он масштабируется как $O(\ln N)$, модель генерирует сети маленького мира. Для роста, превышающего логарифмический, модель не создает маленькие миры. Особый случай $O(\ln \ln N)$ известен как эффект сверхмалого мира.

Диаметр сети

В качестве еще одного средства измерения сетевых графов мы можем определить диаметр сети как самый длинный из всех рассчитанных кратчайших путей в сети. Это кратчайшее расстояние между двумя наиболее удаленными узлами сети. Другими словами, как только вычислена кратчайшая длина пути от каждого узла ко всем остальным узлам, диаметр становится наибольшей из всех рассчитанных длин пути. Диаметр отражает линейный размер сети. Если узел ABCD соединен, идя от A->D, это будет диаметр 3 (3 шага, 3 канала).

Коэффициент кластеризации

Коэффициент кластеризации является мерой свойства «все мои друзья знают друг друга». Иногда это описывают так: друзья моих друзей — это мои друзья. Точнее, коэффициент кластеризации узла — это отношение существующих связей, соединяющих соседей узла друг с другом, к максимально возможному числу таких связей. Коэффициент кластеризации для всей сети представляет собой среднее значение коэффициентов кластеризации всех узлов. Высокий коэффициент кластеризации сети является еще одним признаком маленького мира .

Коэффициент кластеризации $i$'й узел

$C_{i}={2e_{i} \over k_{i}{(k_{i}-1)}}\,,$

где $k_{i}$ это количество соседей $i$'-й узел и $e_{i}$ — это количество связей между этими соседями. Тогда максимально возможное число соединений между соседями равно

${\binom {k}{2}}={{k(k-1)} \over 2}\,.$

С вероятностной точки зрения ожидаемый коэффициент локальной кластеризации — это вероятность существования связи между двумя произвольными соседями одного и того же узла.

Связность

Способ подключения сети играет большую роль в том, как сети анализируются и интерпретируются. Сети подразделяются на четыре категории:

• Клика / Полный граф : полностью связная сеть, в которой все узлы соединены с каждым другим узлом. Эти сети симметричны в том смысле, что все узлы имеют входящие и исходящие каналы от всех остальных.
• Гигантский компонент : отдельный подключенный компонент, который содержит большинство узлов в сети.
• Слабо связный компонент : совокупность узлов, в которой существует путь от любого узла к любому другому, игнорируя направленность ребер.
• Сильно связанный компонент : совокупность узлов, в которой существует направленный путь от любого узла к любому другому.

Центральность узла

Основная статья: Центральность

Индексы центральности составляют рейтинги, которые направлены на определение наиболее важных узлов в сетевой модели. Различные индексы центральности кодируют разные контексты слова «важность». узлами . Например, центральность посредничества считает узел очень важным, если он образует мосты между многими другими Центральность по собственным значениям , напротив, считает узел очень важным, если с ним связаны многие другие очень важные узлы. В литературе предложены сотни таких мер.

Индексы центральности точны только для определения наиболее важных узлов. Эти меры редко, если вообще когда-либо, имеют значение для остальных узлов сети. Кроме того, их показания точны только в предполагаемом контексте важности и имеют тенденцию «понимать неправильно» в других контекстах. Например, представьте себе два отдельных сообщества, единственная связь которых — это преимущество между самым младшим членом каждого сообщества. Поскольку любой переход из одного сообщества в другое должен происходить через эту связь, два младших члена будут иметь высокую центральность по отношению к посредничеству. Но, поскольку они младшие, (предположительно) у них мало связей с «важными» узлами в их сообществе, а это означает, что их центральность по собственным значениям будет довольно низкой.

Влияние узла

Основная статья: Метрика влияния узла

Ограничения мер центральности привели к разработке более общих мер. Два примера:доступность , , которая использует разнообразие случайных блужданий для измерения того, насколько доступна остальная часть сети из данного начального узла и ожидаемая сила , полученная из ожидаемого значения силы заражения, создаваемой узлом. Обе эти меры могут быть значимо вычислены только на основе структуры сети.

Структура сообщества

Основная статья: Структура сообщества

Рис. 1: Эскиз небольшой сети , отображающей структуру сообщества с тремя группами узлов с плотными внутренними связями и более редкими связями между группами.

Узлы в сети могут быть разделены на группы, представляющие сообщества. В зависимости от контекста сообщества могут быть отдельными или пересекающимися. Обычно узлы в таких сообществах будут тесно связаны с другими узлами в том же сообществе, но слабо связаны с узлами за пределами сообщества. В отсутствие достоверных данных, описывающих структуру сообщества конкретной сети, было разработано несколько алгоритмов для вывода возможных структур сообщества с использованием контролируемых или неконтролируемых методов кластеризации.

Сетевые модели

Сетевые модели служат основой для понимания взаимодействия внутри эмпирических сложных сетей. Различные модели генерации случайных графов создают сетевые структуры, которые можно использовать по сравнению с реальными сложными сетями.

Эрдеша

Эта модель Эрдеша – Реньи генерируется с N = 4 узлами. Для каждого ребра полного графа, образованного всеми N узлами, генерируется случайное число и сравнивается с заданной вероятностью. Если случайное число меньше p , на модели формируется ребро.

Модель Эрдеша-Реньи , названная в честь Пола Эрдеша и Альфреда Реньи , используется для создания случайных графов , в которых ребра устанавливаются между узлами с равными вероятностями. Его можно использовать в вероятностном методе для доказательства существования графов, удовлетворяющих различным свойствам, или для обеспечения строгого определения того, что означает наличие свойства почти для всех графов.

Чтобы создать модель Эрдеша – Реньи $G(n,p)$ необходимо указать два параметра: общее количество узлов n и вероятность p того, что случайная пара узлов имеет ребро.

Поскольку модель генерируется без смещения к конкретным узлам, распределение степеней является биномиальным: для случайно выбранной вершины $v$,

$P(\deg(v)=k)={n-1 \choose k}p^{k}(1-p)^{n-1-k}.$

В этой модели коэффициент кластеризации 0 п.н. равен Поведение $G(n,p)$ можно разделить на три региона.

Подкритический $np<1$: Все компоненты простые и очень маленькие, самый большой компонент имеет размер. $|C_{1}|=O(\log n)$;

Критический $np=1$: $|C_{1}|=O(n^{\frac {2}{3}})$;

сверхкритический $np>1$: $|C_{1}|\approx yn$ где $y=y(np)$ является положительным решением уравнения $e^{-pny}=1-y$.

Самый крупный связный компонент имеет высокую сложность. Все остальные компоненты просты и малы. $|C_{2}|=O(\log n)$.

Модель конфигурации

Модель конфигурации принимает последовательность степеней или распределение степеней (который впоследствии используется для генерации последовательности степеней) в качестве входных данных и создает случайно связанные графы во всех отношениях, кроме последовательности степеней. Это означает, что при заданном выборе последовательности степеней граф выбирается равномерно случайным образом из множества всех графов, соответствующих этой последовательности степеней. Степень $k$ случайно выбранной вершины является независимой и одинаково распределенной случайной величиной с целочисленными значениями. Когда ${\textstyle \mathbb {E} [k^{2}]-2\mathbb {E} [k]>0}$граф конфигурации содержит гигантскую компоненту связности , имеющую бесконечный размер. Остальные компоненты имеют конечные размеры, которые можно определить количественно с помощью понятия распределения по размерам. Вероятность $w(n)$ что случайно выбранный узел связан с компонентом размера $n$ определяется степенями свертки распределения степеней:

$$w(n)={\begin{cases}{\frac {\mathbb {E} [k]}{n-1}}u_{1}^{*n}(n-2),&n>1,\\u(0)&n=1,\end{cases}}$$

где $u(k)$ обозначает распределение степеней и $u_{1}(k)={\frac {(k+1)u(k+1)}{\mathbb {E} [k]}}$. Гигантский компонент можно уничтожить, случайным образом удалив критическую фракцию. $p_{c}$ всех ребер. Этот процесс называется перколяцией в случайных сетях . Когда второй момент распределения степеней конечен, ${\textstyle \mathbb {E} [k^{2}]<\infty }$, эта критическая доля края определяется выражением $p_{c}=1-{\frac {\mathbb {E} [k]}{\mathbb {E} [k^{2}]-\mathbb {E} [k]}}$и среднее расстояние между вершинами $l$ в гигантском компоненте логарифмически масштабируется с общим размером сети, $l=O(\log N)$.

В модели направленной конфигурации степень узла задается двумя числами в степени $k_{\text{in}}$ и вне степени $k_{\text{out}}$, и, следовательно, распределение степеней является двумерным. Ожидаемое количество входящих и исходящих ребер совпадает, так что ${\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{in}}]=\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}$. Модель направленной конфигурации содержит гигантскую компоненту тогда и только тогда, когда

$$2\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{in}}^{2}]+\mathbb {E} [k_{\text{in}}^{2}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]^{2}>0.$$

Обратите внимание, что ${\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{in}}]}$ и ${\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{out}}]}$ в последнем неравенстве равны и, следовательно, взаимозаменяемы. Вероятность того, что случайно выбранная вершина принадлежит компоненту размера $n$ дается:

$$h_{\text{in}}(n)={\frac {\mathbb {E} [k_{in}]}{n-1}}{\tilde {u}}_{\text{in}}^{*n}(n-2),\;n>1,\;{\tilde {u}}_{\text{in}}={\frac {k_{\text{in}}+1}{\mathbb {E} [k_{\text{in}}]}}\sum \limits _{k_{\text{out}}\geq 0}u(k_{\text{in}}+1,k_{\text{out}}),$$

для встроенных компонентов и

$h_{\text{out}}(n)={\frac {\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}{n-1}}{\tilde {u}}_{\text{out}}^{*n}(n-2),\;n>1,\;{\tilde {u}}_{\text{out}}={\frac {k_{\text{out}}+1}{\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}}\sum \limits _{k_{\text{in}}\geq 0}u(k_{\text{in}},k_{\text{out}}+1),$

для внешних компонентов.

маленького мира Уоттса

Модель Уоттса и Строгаца использует концепцию перемонтажа для достижения своей структуры. Генератор модели будет перебирать каждое ребро исходной структуры решетки. Ребро может менять свои соединенные вершины в соответствии с заданной вероятностью перемонтажа. $\langle k\rangle =4$ в этом примере.

Модель Уоттса и Строгаца — это модель генерации случайных графов, которая создает графы со свойствами маленького мира .

Исходная решетчатая структура используется для создания модели Уоттса – Строгаца. Каждый узел сети изначально связан со своим $\langle k\rangle$ ближайшие соседи. Другой параметр указывается как вероятность перемонтирования. Каждое ребро имеет вероятность $p$ что оно будет перемонтировано в граф как случайное ребро. Ожидаемое количество перемонтированных каналов в модели равно $pE=pN\langle k\rangle /2$.

Поскольку модель Уоттса-Строгаца начинается с неслучайной решетчатой ​​структуры, она имеет очень высокий коэффициент кластеризации наряду с высокой средней длиной пути. Каждое переподключение, скорее всего, создаст ярлык между сильно связанными кластерами. По мере увеличения вероятности перемонтирования коэффициент кластеризации уменьшается медленнее, чем средняя длина пути. По сути, это позволяет значительно уменьшить среднюю длину пути сети при лишь незначительном уменьшении коэффициента кластеризации. Более высокие значения p приводят к большему количеству перемонтированных ребер, что фактически делает модель Уоттса-Строгаца случайной сетью.

предпочтительной привязанности Барабаши-Альберта (

Модель Барабаши-Альберта представляет собой случайную сетевую модель, используемую для демонстрации преимущественной привязанности или эффекта «богатые становятся богаче». В этой модели ребро, скорее всего, будет прикреплено к узлам с более высокими степенями.Сеть начинается с начальной сети из m ₀ узлов. m ₀ ≥ 2 и степень каждого узла исходной сети должна быть не менее 1, иначе он всегда будет оставаться отключенным от остальной сети.

В модели BA новые узлы добавляются в сеть по одному. Каждый новый узел подключается к $m$ существующие узлы с вероятностью, пропорциональной количеству связей, которые уже есть в существующих узлах. Формально вероятность p _i того, что новый узел соединен с узлом i, равна

$p_{i}={\frac {k_{i}}{\sum _{j}k_{j}}},$

где k _i — степень узла i . Сильно связанные узлы («концентраторы») имеют тенденцию быстро накапливать еще больше ссылок, в то время как узлы всего с несколькими ссылками вряд ли будут выбраны в качестве места назначения для новой ссылки. Новые узлы имеют «предпочтение» присоединяться к уже тесно связанным узлам.

Распределение степеней модели BA, подчиняющееся степенному закону. В логарифмическом масштабе степенная функция представляет собой прямую линию.

Распределение степеней, полученное в результате модели БА, является безмасштабным, в частности, для большой степени оно представляет собой степенной закон вида:

$P(k)\sim k^{-3}\,$

Концентраторы демонстрируют высокую центральность между узлами, что позволяет существовать коротким путям между узлами. В результате модель BA имеет тенденцию иметь очень короткую среднюю длину пути. Коэффициент кластеризации этой модели также стремится к 0.

Модель Барабаши – Альберта был разработан для неориентированных сетей с целью объяснить универсальность свойства безмасштабности и применялся к широкому спектру различных сетей и приложений. Направленной версией этой модели является модель Прайса. который был разработан только для сетей цитирования.

Нелинейное преференциальное вложение

Основная статья: Нелинейная льготная привязанность

При нелинейном предпочтительном присоединении (NLPA) существующие узлы в сети получают новые ребра пропорционально степени узла, возведенной в постоянную положительную степень. $\alpha$. Формально это означает, что вероятность того, что узел $i$ получает новое преимущество,

$p_{i}={\frac {k_{i}^{\alpha }}{\sum _{j}k_{j}^{\alpha }}}.$

Если $\alpha =1$NLPA сводится к модели BA и называется «линейной». Если $0<\alpha <1$NLPA называется «сублинейным», а распределение степеней сети имеет тенденцию к растянутому экспоненциальному распределению . Если $\alpha >1$NLPA называется «суперлинейным», и небольшое количество узлов подключается практически ко всем остальным узлам в сети. Для обоих $\alpha <1$ и $\alpha >1$, безмасштабность сети нарушается в пределе бесконечного размера системы. Однако, если $\alpha$ лишь немного больше, чем $1$, NLPA может привести к тому, что распределения степеней временно кажутся свободными от масштабирования.

Модель вложений, управляемых посредничеством (MDA)

В модели прикрепления, управляемой посредничеством (MDA), в которой новый узел поставляется с $m$ ребра случайным образом выбирают существующий связный узел, а затем соединяются не с ним, а с $m$ из его соседей, выбранных также случайно. Вероятность $\Pi (i)$ что узел $i$ существующего выбранного узла

$\Pi (i)={\frac {k_{i}}{N}}{\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{k_{i}}}.$

Фактор ${\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{k_{i}}}$ является обратной величиной среднего гармонического(IHM) степеней $k_{i}$ соседи узла $i$. Обширные численные исследования показывают, что примерно в течение примерно $m>14$ среднее значение IHM в большом $N$ предел становится константой, что означает $\Pi (i)\propto k_{i}$. Это означает, что чем вышесвязей (уровня) узла, тем выше его шансы получить больше связей, поскольку они могут бытьдостигается большим количеством способов через посредников, которые, по сути, воплощают интуитивныйидея механизма «богатые становятся богаче» (или правила преимущественной привязанности модели Барабаси-Альберта). Таким образом, можно увидеть, что сеть MDA следуетправило ПА, но замаскированное.

Однако для $m=1$ он описывает механизм «победитель получает все», поскольку мы обнаруживаем, что почти $99\%$ из общего числа узлов имеют первую степень, а один — сверхбогатую по степени. Как $m$ стоимость увеличивается, неравенство между сверхбогатыми и бедными уменьшается, и по мере того, как $m>14$ мы обнаруживаем переход от механизма «богатые становятся супербогаче» к механизму «богатые становятся еще богаче».

Фитнес-модель

Другая модель, в которой ключевым фактором является природа вершины, была предложена Калдарелли и др. Здесь создается связь между двумя вершинами $i,j$ с вероятностью, заданной связывающей функцией $f(\eta _{i},\eta _{j})$ пригодности рассматриваемых вершин.Степень вершины i определяется выражением

$k(\eta _{i})=N\int _{0}^{\infty }f(\eta _{i},\eta _{j})\rho (\eta _{j})\,d\eta _{j}$

Если $k(\eta _{i})$ является обратимой и возрастающей функцией $\eta _{i}$, затемраспределение вероятностей $P(k)$ дается

$P(k)=\rho (\eta (k))\cdot \eta '(k)$

В результате, если фитнесс $\eta$ распределяются по степенному закону, то и степень узла тоже.

Менее интуитивно понятно с быстро убывающим распределением вероятностей, как $\rho (\eta )=e^{-\eta }$ вместе со связующей функцией типа

$f(\eta _{i},\eta _{j})=\Theta (\eta _{i}+\eta _{j}-Z)$

с $Z$ константа и $\Theta$ функцию Хэвисайда, мы также получаембезмасштабные сети.

Такая модель была успешно применена для описания торговли между странами, используя ВВП как приспособленность к различным узлам. $i,j$ и связующая функция вида

${\frac {\delta \eta _{i}\eta _{j}}{1+\delta \eta _{i}\eta _{j}}}.$

Экспоненциальные модели случайных графов

Экспоненциальные модели случайных графов (ERGM) — это семейство статистических моделей для анализа данных из социальных и других сетей. Семейство Exponential — это широкое семейство моделей, охватывающих многие типы данных, а не только сети. ERGM — это модель из этого семейства, описывающая сети.

Мы принимаем обозначения для представления случайного графа $Y\in {\mathcal {Y}}$ через набор $n$ узлы и набор связанных переменных $\{Y_{ij}:i=1,\dots ,n;j=1,\dots ,n\}$, индексированный парами узлов $ij$, где $Y_{ij}=1$ если узлы $(i,j)$ соединены ребром и $Y_{ij}=0$ в противном случае.

Основное предположение ERGM заключается в том, что структура наблюдаемого графа $y$ можно объяснить заданным вектором достаточной статистики $s(y)$ которые являются функцией наблюдаемой сети и, в некоторых случаях, узловых атрибутов. Вероятность графа $y\in {\mathcal {Y}}$ в ERGM определяется:

$P(Y=y|\theta )={\frac {\exp(\theta ^{T}s(y))}{c(\theta )}}$

где $\theta$ вектор параметров модели, связанный с $s(y)$ и $c(\theta )=\sum _{y'\in {\mathcal {Y}}}\exp(\theta ^{T}s(y'))$ является нормирующей константой.

Сетевой анализ

Анализ социальных сетей

социальных сетей Анализ исследует структуру взаимоотношений между социальными субъектами. Этими субъектами часто являются отдельные лица, но также могут быть группы , организации , национальные государства , веб-сайты , научные публикации .

С 1970-х годов эмпирическое исследование сетей играет центральную роль в социальных науках, и многие математические и статистические инструменты, используемые для изучения сетей, были впервые разработаны в социологии . Среди многих других приложений анализ социальных сетей использовался для понимания распространения инноваций . новости и слухи. Аналогичным образом, его использовали для изучения распространения как болезней , так и поведения, связанного со здоровьем . Его также применяли к изучению рынков , где его использовали для изучения роли доверия в отношениях обмена и социальных механизмов в установлении цен. Точно так же его использовали для изучения вербовки в политические движения и общественные организации. Его также использовали для концептуализации научных разногласий, а также академического престижа. В литературе по освоению второго языка есть устоявшаяся история исследований по обучению за границей, показывающая, как сети взаимодействия со сверстниками влияют на их языковой прогресс. Совсем недавно сетевой анализ (и его близкий родственник анализ трафика ) получил широкое применение в военной разведке для раскрытия повстанческих сетей как иерархического характера, так и без лидеров . В криминологии он используется для выявления влиятельных лиц в преступных группировках, правонарушительных движениях, соучастниках преступлений, прогнозировании преступной деятельности и выработке политики.

Динамический сетевой анализ

Динамический сетевой анализ исследует меняющуюся структуру отношений между различными классами сущностей в результате воздействия сложных социотехнических систем и отражает социальную стабильность и изменения, такие как появление новых групп, тем и лидеров. Динамический сетевой анализ фокусируется на метасетях, состоящих из нескольких типов узлов (сущностей) и нескольких типов связей . Эти сущности могут быть весьма разнообразными. Примеры включают людей, организации, темы, ресурсы, задачи, события, места и убеждения.

Методы динамических сетей особенно полезны для оценки тенденций и изменений в сетях с течением времени, выявления новых лидеров и изучения совместной эволюции людей и идей.

сетевой

С недавним взрывным ростом общедоступных биологических данных с высокой пропускной способностью анализ молекулярных сетей приобрел значительный интерес. Тип анализа этого контента тесно связан с анализом социальных сетей, но часто фокусируется на локальных закономерностях в сети. Например, сетевые мотивы — это небольшие подграфы, которые чрезмерно представлены в сети. Мотивы деятельности — это аналогичные перепредставленные шаблоны в атрибутах узлов и ребер сети, которые перепредставлены с учетом структуры сети. Анализ биологических сетей привел к развитию сетевой медицины , которая изучает влияние заболеваний на интерактом .

Анализ ссылок

Анализ связей — это разновидность сетевого анализа, изучающая связи между объектами. Примером может служить изучение адресов подозреваемых и потерпевших, номеров телефонов, которые они набирали, финансовых операций, в которых они участвовали в течение определенного периода времени, а также семейных отношений между этими субъектами в рамках полицейского расследования. Анализ связей здесь обеспечивает важные отношения и ассоциации между очень многими объектами разных типов, которые не очевидны из изолированных фрагментов информации. Компьютерный или полностью автоматический компьютерный анализ каналов все чаще используется банками и страховыми агентствами для обнаружения мошенничества , операторами связи для анализа телекоммуникационных сетей, медицинским сектором в эпидемиологии и фармакологии , в правоохранительных расследованиях , поисковыми системами для релевантности оценки . (и наоборот, спамерами для спамдексинга и владельцами бизнеса для поисковой оптимизации ), и везде, где необходимо анализировать отношения между многими объектами.

анализ

Модель SIR — один из наиболее известных алгоритмов прогнозирования распространения глобальных пандемий среди инфекционной популяции.

Восприимчив к заражению

$S=\beta \left({\frac {1}{N}}\right)$

Приведенная выше формула описывает «силу» заражения для каждой восприимчивой единицы инфекционной популяции, где β эквивалентен скорости передачи указанного заболевания.

Чтобы отслеживать изменение восприимчивых лиц в инфекционной популяции:

$\Delta S=\beta \times S{1 \over N}\,\Delta t$

От зараженного к выздоровевшему

$\Delta I=\mu I\,\Delta t$

С течением времени число инфицированных колеблется в зависимости от: указанной скорости выздоровления, представленной $\mu$ но вычитается на единицу за средний период заражения ${1 \over \tau }$, количество заразных лиц, $I$, и изменение во времени, $\Delta t$.

Инфекционный период

Сможет ли население победить пандемию, что касается модели SIR, зависит от ценности $R_{0}$ или «средний человек, зараженный инфицированным человеком».

$R_{0}=\beta \tau ={\beta \over \mu }$

Анализ веб-ссылок

Некоторые веб-поиска алгоритмы ранжирования ссылок, включая (в порядке появления) Маркиори Google Hyper Search , используют PageRank TrustRank Кляйнберга , алгоритм HITS , алгоритмы CheiRank и метрики централизации на основе . Анализ ссылок также проводится в информатике и коммуникативных науках, чтобы понять и извлечь информацию из структуры коллекций веб-страниц. Например, анализ может касаться взаимосвязей между веб-сайтами или блогами политиков.

Рейтинг страницы

PageRank работает путем случайного выбора «узлов» или веб-сайтов, а затем с определенной вероятностью «случайного перехода» к другим узлам. Случайный переход к этим другим узлам помогает PageRank полностью обойти сеть, поскольку некоторые веб-страницы существуют на периферии и их не так легко оценить.

Каждый узел, $x_{i}$, имеет PageRank, определяемый суммой страниц $j$ эта ссылка на $i$ раз на единицу по исходящим ссылкам или «исходящей степени» $j$ раз превышает «важность» или PageRank $j$.

$x_{i}=\sum _{j\rightarrow i}{1 \over N_{j}}x_{j}^{(k)}$

Случайные прыжки

Как объяснялось выше, PageRank учитывает случайные скачки при попытках присвоить PageRank каждому веб-сайту в Интернете. Эти случайные переходы позволяют найти веб-сайты, которые не могут быть найдены при использовании обычных методов поиска, таких как поиск в ширину и поиск в глубину .

Улучшение вышеупомянутой формулы для определения PageRank включает добавление этих компонентов случайного перехода. Без случайных переходов некоторые страницы получили бы PageRank равный 0, что было бы нехорошо.

Первое - это $\alpha$, или вероятность того, что произойдет случайный скачок. Контрастность – это «фактор демпфирования», или $1-\alpha$.

$R{(p)}={\alpha \over N}+(1-\alpha )\sum _{j\rightarrow i}{1 \over N_{j}}x_{j}^{(k)}$

Другой взгляд на это:

$R(A)=\sum {R_{B} \over B_{\text{(outlinks)}}}+\cdots +{R_{n} \over n_{\text{(outlinks)}}}$

Меры

Информацию об относительной важности узлов и ребер в графе можно получить с помощью показателей центральности , широко используемых в таких дисциплинах, как социология . Меры центральности необходимы, когда сетевой анализ должен ответить на такие вопросы, как: «Какие узлы в сети должны быть нацелены, чтобы гарантировать распространение сообщения или информации на все или большинство узлов в сети?» или наоборот: «На какие узлы следует воздействовать, чтобы остановить распространение болезни?». Формально установленными мерами центральности являются центральность по степени , центральность по близости , центральность по посредничеству , центральность по собственному вектору и центральность по Кацу . Цель сетевого анализа обычно определяет тип меры(ов) центральности, которая будет использоваться.

• Степень централизации узла в сети — это количество связей (вершин), инцидентных узлу.
• Центральность по близости определяет, насколько «близок» узел к другим узлам в сети, путем измерения суммы кратчайших расстояний (геодезических путей) между этим узлом и всеми другими узлами в сети.
• Центральность по посредничеству определяет относительную важность узла путем измерения объема трафика, проходящего через этот узел к другим узлам в сети. Это делается путем измерения доли путей, соединяющих все пары узлов и содержащих интересующий узел. Центральность группового промежутка измеряет объем трафика, проходящего через группу узлов.
• Центральность по собственному вектору — это более сложная версия централизации по степени, при которой центральность узла зависит не только от количества связей, инцидентных узлу, но и от качества этих ссылок. Эта добротность определяется собственными векторами матрицы смежности сети.
• Центральность узла по Кацу измеряется путем суммирования геодезических путей между этим узлом и всеми (достижимыми) узлами в сети. Эти пути взвешены: пути, соединяющие узел с его непосредственными соседями, имеют более высокий вес, чем те, которые соединяются с узлами, расположенными дальше от непосредственных соседей.

Распространение контента в сетях

Контент в сложной сети может распространяться двумя основными способами: консервативным и несохраняемым распространением. При консервативном распространении общий объем контента, поступающего в сложную сеть, остается постоянным при прохождении через нее. Модель сохраняющегося распространения лучше всего можно представить в виде кувшина с фиксированным количеством воды, наливаемой в ряд воронок, соединенных трубками. Здесь кувшин представляет собой первоначальный источник, а вода — это распространяемое содержимое. Воронки и соединительные трубки представляют собой узлы и соединения между узлами соответственно. Когда вода переходит из одной воронки в другую, вода мгновенно исчезает из воронки, которая ранее подвергалась воздействию воды. При несохраняемом распространении количество контента меняется по мере его поступления и прохождения через сложную сеть. Модель несохраняющегося распространения лучше всего можно представить в виде непрерывно работающего крана, проходящего через ряд воронок, соединенных трубками. Здесь количество воды из первоисточника бесконечно. Кроме того, любые воронки, подвергшиеся воздействию воды, продолжают подвергаться воздействию воды, даже когда она проходит через последующие воронки. Неконсервативная модель является наиболее подходящей для объяснения передачи большинства инфекционные заболевания .

Модель SIR

В 1927 году У. О. Кермак и А. Г. Маккендрик создали модель, в которой они считали восприимчивой фиксированную популяцию, состоящую всего из трех компартментов: $S(t)$, зараженный, $I(t)$и выздоровел, $R(t)$. Отсеки, используемые в этой модели, состоят из трех классов:

• $S(t)$ используется для обозначения количества людей, еще не инфицированных болезнью на момент t или восприимчивых к этой болезни.
• $I(t)$ обозначает количество людей, которые были инфицированы этой болезнью и способны распространить болезнь среди лиц, относящихся к восприимчивой категории.
• $R(t)$ Это отсек, используемый для тех людей, которые были инфицированы, а затем выздоровели от этой болезни. Люди из этой категории не могут заразиться повторно или передать инфекцию другим.

Поток этой модели можно рассматривать следующим образом:

${\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {R}}$

Используя фиксированную численность населения, $N=S(t)+I(t)+R(t)$, Кермак и Маккендрик вывели следующие уравнения:

${\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=-\beta SI\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta SI-\gamma I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I\end{aligned}}$

При формулировке этих уравнений было сделано несколько предположений: во-первых, следует рассматривать человека в популяции с такой же вероятностью, как и любой другой человек, заразиться этим заболеванием с частотой $\beta$, который считается контактным или зараженным заболеванием. Таким образом, инфицированный человек вступает в контакт и может передать болезнь с помощью $\beta N$ других в единицу времени, а доля контактов инфицированного с восприимчивым равна $S/N$. Тогда число новых случаев заражения в единицу времени на одного инфицированного составит $\beta N(S/N)$, определяя уровень новых инфекций (или тех, кто выходит из категории восприимчивости) как $\beta N(S/N)I=\beta SI$ (Брауэр и Кастильо-Чавес, 2001). Для второго и третьего уравнений считаем, что численность населения, покидающего восприимчивый класс, равна числу людей, вошедших в зараженный класс. Однако заразители покидают этот класс в единицу времени и попадают в восстановленный/удаленный класс со скоростью $\gamma$ в единицу времени (где $\gamma$ представляет собой среднюю скорость восстановления, или $1/\gamma$ средний период заражения). Эти процессы, происходящие одновременно, называются законом действия масс – широко распространенной идеей, согласно которой скорость контактов между двумя группами населения пропорциональна размеру каждой из соответствующих групп (Daley & Gani, 2005). Наконец, предполагается, что скорость заражения и выздоровления намного быстрее, чем временной масштаб рождаемости и смертности, и поэтому эти факторы в этой модели игнорируются.

Подробнее об этой модели можно прочитать на странице модели эпидемии .

Подход основного уравнения

Главное уравнение может выражать поведение ненаправленной растущей сети, в которой на каждом временном шаге к сети добавляется новый узел, связанный со старым узлом (выбранным случайно и без предпочтений). Исходная сеть формируется двумя узлами и двумя связями между ними во времени. $t=2$, такая конфигурация нужна лишь для упрощения дальнейших расчетов, поэтому на время $t=n$ в сети есть $n$ узлы и $n$ ссылки.

Основное уравнение для этой сети:

$p(k,s,t+1)={\frac {1}{t}}p(k-1,s,t)+\left(1-{\frac {1}{t}}\right)p(k,s,t),$

где $p(k,s,t)$ это вероятность иметь узел $s$ со степенью $k$ во время $t+1$, и $s$ — это временной шаг, когда этот узел был добавлен в сеть. Обратите внимание, что для старого узла есть только два пути. $s$ иметь $k$ ссылки во время $t+1$:

• Узел $s$ иметь степень $k-1$ во время $t$ и будет связан новым узлом с вероятностью $1/t$
• Уже имеет степень $k$ во время $t$ и не будет связан новым узлом.

После упрощения этой модели распределение степеней будет иметь вид $P(k)=2^{-k}.$

На основе этой растущей сети разрабатывается модель эпидемии по простому правилу: каждый раз, когда добавляется новый узел и после выбора старого узла для связи принимается решение: будет ли этот новый узел заражен. Основное уравнение для этой модели эпидемии:

$p_{r}(k,s,t)=r_{t}{\frac {1}{t}}p_{r}(k-1,s,t)+\left(1-{\frac {1}{t}}\right)p_{r}(k,s,t),$

где $r_{t}$ представляет собой решение заразить ( $r_{t}=1$) или нет ( $r_{t}=0$). Решая это основное уравнение, получаем следующее решение: ${\tilde {P}}_{r}(k)=\left({\frac {r}{2}}\right)^{k}.$

Многоуровневые сети

Основная статья: Многомерная сеть

Многоуровневые сети — это сети с несколькими видами отношений. Попытки смоделировать системы реального мира как многомерные сети использовались в различных областях, таких как анализ социальных сетей, экономика, история, городской и международный транспорт, экология, психология, медицина, биология, коммерция, климатология, физика, вычислительная нейробиология, операционный менеджмент и финансы.

Оптимизация сети

Сетевые проблемы, предполагающие поиск оптимального способа выполнения чего-либо, изучаются под названием комбинаторной оптимизации . Примеры включают сетевой поток , проблему кратчайшего пути , проблему транспортировки , проблему перевалки , проблему местоположения , проблему сопоставления , проблему назначения , проблему упаковки , проблему маршрутизации , анализ критического пути и PERT (метод оценки и анализа программ).

Взаимозависимые сети

Взаимозависимые сети — это сети, в которых функционирование узлов одной сети зависит от функционирования узлов другой сети. В природе сети редко возникают изолированно, скорее, обычно сети обычно являются элементами более крупных систем и взаимодействуют с элементами этой сложной системы. Такие сложные зависимости могут иметь нетривиальные последствия друг для друга. Хорошо изученным примером является взаимозависимость инфраструктурных сетей. электростанции, образующие узлы энергосистемы, требуют подачи топлива по сети дорог или труб, а также управляются через узлы сети связи. Хотя функционирование транспортной сети не зависит от энергетической сети, сеть связи зависит. В таких инфраструктурных сетях выход из строя критического числа узлов либо в сети электропитания, либо в сети связи может привести к каскадным сбоям во всей системе с потенциально катастрофическими последствиями для функционирования всей системы. Если бы две сети рассматривались изолированно, этот важный эффект обратной связи не был бы виден, а прогнозы надежности сети были бы сильно переоценены.

См. также

• Каскадный отказ
• Климат как сложные сети
• Совместная инновационная сеть
• Коммуникативная экология
• Комплексная сеть
• Структуры ядро-периферия в сетях
• Двухфазная эволюция
• Модель Эрдеша – Реньи
• Глоссарий теории графов
• Градиентная сеть
• Теория высших категорий
• Теория иммунной сети
• Нерегулярная война
• Сетевой анализатор
• Сетевая динамика
• Формирование сети
• Сетевая теория в оценке рисков
• Топология сети
• Сети в экономике труда
• Нелинейная льготная привязанность
• перколяция
• Теория перколяции
• Политический сетевой анализ
• Вежливо
• Квантовая комплексная сеть
• Случайные сети
• Слух распространился в соцсети
• Безмасштабные сети
• Последовательная динамическая система
• Сервисная сеть
• Сети маленького мира
• Структурное отсечение
• Теория систем

Дальнейшее чтение

• Первый курс сетевых наук , Ф. Менцер , С. Фортунато, К. А. Дэвис. (Издательство Кембриджского университета, 2020). ISBN   9781108471138 . Сайт GitHub с учебными пособиями, наборами данных и другими ресурсами.
• «На связи: сила шести градусов», https://web.archive.org/web/20111006191031/http://ivl.slis.indiana.edu/km/movies/2008-talas-connected.mov
• Коэн, Р.; Эрез, К. (2000). «Устойчивость Интернета к случайным сбоям» . Физ. Преподобный Летт . 85 (21): 4626–4628. arXiv : cond-mat/0007048 . Бибкод : 2000PhRvL..85.4626C . CiteSeerX   10.1.1.242.6797 . дои : 10.1103/physrevlett.85.4626 . ПМИД   11082612 . S2CID   15372152 .
• Пу, Цунь-Лай; Вэнь-; Пей, Цзян; Майклсон, Эндрю (2012). «Анализ устойчивости управляемости сети» (PDF) . Физика А. 391 (18): 4420–4425. Бибкод : 2012PhyA..391.4420P . дои : 10.1016/j.physa.2012.04.019 . Архивировано из оригинала (PDF) 13 октября 2016 г. Проверено 18 сентября 2013 г.
• С. Н. Дороговцев и Дж. Ф. Мендес, Эволюция сетей: от биологических сетей к Интернету и WWW , Oxford University Press, 2003, ISBN   0-19-851590-1
• Связано: Новая наука о сетях , А.-Л. Барабаши (Perseus Publishing, Кембридж)
• « Безмасштабные сети» , Дж. Калдарелли (Oxford University Press, Оксфорд)
• Сетевые науки , Комитет по сетевым наукам для будущих армейских приложений, Национальный исследовательский совет. 2005. Издательство национальных академий (2005). ISBN   0-309-10026-7
• Бюллетень сетевых наук , USMA (2007 г.) ISBN   978-1-934808-00-9
• Структура и динамика сетей Марк Ньюман, Альберт-Ласло Барабаши и Дункан Дж. Уоттс (The Princeton Press, 2006) ISBN   0-691-11357-2
• Динамические процессы в сложных сетях , Ален Барра, Марк Бартелеми, Алессандро Веспиньяни (Cambridge University Press, 2008) ISBN   978-0-521-87950-7
• Сетевая наука: теория и приложения , Тед Г. Льюис (Уайли, 11 марта 2009 г.) ISBN   0-470-33188-7
• Связь: маленькие миры и революционная теория сетей , Марк Бьюкенен (WW Norton & Company, июнь 2003 г.) ISBN   0-393-32442-7
• Шесть степеней: наука эпохи подключений , Дункан Дж. Уоттс (WW Norton & Company, 17 февраля 2004 г.) ISBN   0-393-32542-3