Парадокс дружбы

Схема социальной сети детей 7–8 лет, составленная путем запроса каждого ребенка указать двух других, с которыми он хотел бы сидеть рядом в классе. У большинства детей меньше связей, чем в среднем у тех, с кем они связаны.

Парадокс дружбы — это феномен, впервые обнаруженный социологом Скоттом Л. Фельдом в 1991 году: в среднем у друзей человека больше друзей, чем у самого человека. Это можно объяснить как форму систематической ошибки выборки , при которой люди с большим количеством друзей с большей вероятностью попадут в свою группу друзей. Другими словами, у человека меньше шансов дружить с тем, у кого очень мало друзей. Вопреки этому, большинство людей считают, что у них больше друзей, чем у их друзей.

То же наблюдение можно применить в более общем плане к социальным сетям, определяемым другими отношениями, а не дружбой: например, у сексуальных партнеров большинства людей было (в среднем) большее количество сексуальных партнеров, чем у них самих.

Парадокс дружбы — пример того, как сетевая структура может существенно исказить локальные наблюдения человека.

объяснение

Несмотря на свою кажущуюся парадоксальность , явление реально и может быть объяснено как следствие общих математических свойств социальных сетей . Математика, лежащая в основе этого, напрямую связана с неравенством среднего арифметико-геометрического и неравенством Коши – Шварца .

что социальная сеть представлена ​​неориентированным графом G = ( V , E ) , где множество V вершин Формально Фельд предполагает , соответствует людям в социальной сети, а множество E ребер . соответствует отношению дружбы между парами людей. То есть он предполагает, что дружба — это симметричное отношение : если x — друг y , то y — друг x . Таким образом, дружба между x и y моделируется ребром { x , y }, а количество друзей, которые имеет человек, соответствует степени вершины . Таким образом, среднее количество друзей человека в социальной сети определяется средним значением степеней вершин графа. То есть, если вершина v имеет d ( v ) ребер, соприкасающихся с ней (что представляет человека, у которого есть d ( v ) друзей), то среднее число µ друзей случайного человека в графе равно

$\mu ={\frac {\sum _{v\in V}d(v)}{|V|}}={\frac {2|E|}{|V|}}.$

Среднее количество друзей, которые имеет типичный друг, можно смоделировать, выбрав случайного человека (у которого есть хотя бы один друг), а затем подсчитав, сколько друзей в среднем у его друзей. Это равносильно выбору равномерно случайным образом ребра графа (представляющего пару друзей) и конечной точки этого ребра (одного из друзей) и повторному вычислению степени выбранной конечной точки. Вероятность определенной вершины $v$ быть выбранным - это

${\frac {d(v)}{|E|}}{\frac {1}{2}}.$

Первый фактор соответствует вероятности того, что выбранное ребро содержит вершину, и эта вероятность увеличивается, когда у вершины больше друзей. Коэффициент сокращения вдвое просто обусловлен тем фактом, что каждое ребро имеет две вершины. Таким образом, ожидаемое значение количества друзей (случайно выбранного) друга равно

$\sum _{v}\left({\frac {d(v)}{|E|}}{\frac {1}{2}}\right)d(v)={\frac {\sum _{v}d(v)^{2}}{2|E|}}.$

Мы знаем из определения дисперсии, что

${\frac {\sum _{v}d(v)^{2}}{|V|}}=\mu ^{2}+\sigma ^{2},$

где $\sigma ^{2}$ - это дисперсия степеней на графике. Это позволяет нам вычислить желаемое ожидаемое значение как

${\frac {\sum _{v}d(v)^{2}}{2|E|}}={\frac {|V|}{2|E|}}(\mu ^{2}+\sigma ^{2})={\frac {\mu ^{2}+\sigma ^{2}}{\mu }}=\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{\mu }}.$

Для графа, имеющего вершины разной степени (что типично для социальных сетей), ${\sigma }^{2}$ строго положителен, что означает, что средняя степень друга строго больше средней степени случайного узла.

Другой способ понять, как появился первый термин, заключается в следующем. Для каждой дружбы (u, v) узел u упоминает, что v является другом и что у v есть d(v) друзей. Есть d(v) такие друзья, которые об этом упоминают. Отсюда квадрат члена d(v) . Мы добавляем это для всех таких дружеских отношений в сети как с точки зрения u , так и с точки зрения v , что дает числитель. Знаменатель — общее количество таких дружеских связей, что в два раза превышает общее количество ребер в сети (одно с точки зрения u , другое — с точки зрения v ).

После этого анализа Фельд делает еще несколько качественных предположений о статистической корреляции между количеством друзей, которые есть у двух друзей, основываясь на теориях социальных сетей, таких как ассортативное смешивание , и анализирует, что эти предположения подразумевают в отношении количества людей. у чьих друзей больше друзей, чем у них. На основании этого анализа он приходит к выводу, что в реальных социальных сетях у большинства людей, скорее всего, меньше друзей, чем среднее число друзей их друзей. Однако этот вывод не является математической уверенностью; существуют неориентированные графы (например, граф, образованный удалением одного ребра из большого полного графа ), которые вряд ли возникнут как социальные сети, но в которых большинство вершин имеют более высокую степень, чем средняя степень их соседей.

Парадокс дружбы можно переформулировать в терминах теории графов : «средняя степень случайно выбранного узла в сети меньше средней степени соседей случайно выбранного узла», но это оставляет неопределенным точный механизм усреднения (т. е. макро- и микро-усреднение). Позволять $G=(V,E)$ быть неориентированным графом с $|V|=N$ и $|E|=M$, не имеющий изолированных узлов. Пусть множество соседей узла $u$ обозначаться $\operatorname {nbr} (u)$. Тогда средняя степень $\mu ={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}|\operatorname {nbr} (u)|={\frac {2M}{N}}\geq 1$. Пусть количество «друзей друзей» узла $u$ обозначаться $\operatorname {FF} (u)=\sum _{v\in \operatorname {nbr} (u)}|\operatorname {nbr} (v)|$. Обратите внимание, что это может подсчитывать соседей с двумя переходами несколько раз, как и анализ Фельда. У нас есть $\operatorname {FF} (u)\geq |\operatorname {nbr} (u)|\geq 1$. Фельд рассмотрел следующую «микросреднюю» величину.

${\text{MicroAvg}}={\frac {\sum _{u\in V}\operatorname {FF} (u)}{\sum _{u\in V}|\operatorname {nbr} (u)|}}$

Однако существует также (столь же законная) «макросредняя» величина, определяемая выражением

${\text{MacroAvg}}={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}{\frac {\operatorname {FF} (u)}{|\operatorname {nbr} (u)|}}$

Вычисление MacroAvg можно выразить в виде следующего псевдокода.

Algorithm MacroAvg

1. для каждого узла $u\in V$
   1. инициализировать $Q(u)\leftarrow 0$
2. для каждого края $\{u,v\}\in E$
   1. $Q(u)\leftarrow Q(u)+{\frac {|\operatorname {nbr} (v)|}{|\operatorname {nbr} (u)|}}$
   2. $Q(v)\leftarrow Q(v)+{\frac {|\operatorname {nbr} (u)|}{|\operatorname {nbr} (v)|}}$
3. возвращаться ${\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}Q(u)$

• « ←» означает присвоение . Например, « самый большой ← элемент » означает, что значение самого большого изменяется на значение элемента .
• « return » завершает алгоритм и выводит следующее значение.

Каждое ребро $\{u,v\}$ способствует MacroAvg количеству ${\frac {|\operatorname {nbr} (v)|}{|\operatorname {nbr} (u)|}}+{\frac {|\operatorname {nbr} (u)|}{|\operatorname {nbr} (v)|}}\geq 2$, потому что $\min _{a,b>0}{\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}=2$. Таким образом, мы получаем

${\text{MacroAvg}}={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}Q(u)\geq {\frac {1}{N}}\cdot M\cdot 2={\frac {2M}{N}}=\mu$.

Таким образом, у нас есть оба ${\text{MicroAvg}}\geq \mu$ и ${\text{MacroAvg}}\geq \mu$, но между ними нет неравенства.

В статье 2023 года Гасемиан и Кристакис определили и продемонстрировали параллельный парадокс, но для негативных, антагонистических или враждебных связей, названный «парадоксом вражды» . Короче говоря, у врагов человека больше врагов, чем у него самого. В этой статье также задокументированы разнообразные явления «смешанных миров» как враждебных, так и дружественных связей.

Приложения

Анализ парадокса дружбы предполагает, что друзья случайно выбранных людей, вероятно, будут иметь центральность выше средней . Это наблюдение использовалось как способ прогнозирования и замедления течения эпидемий , используя этот процесс случайного отбора для выбора людей для иммунизации или мониторинга инфекции, избегая при этом необходимости сложного вычисления централизации всех узлов в сети. Аналогичным образом, при опросах и прогнозировании выборов парадокс дружбы использовался для того, чтобы охватить и опросить людей с хорошими связями, которые могут знать о том, сколько других людей собираются голосовать. Однако при использовании в таких контекстах парадокс дружбы неизбежно вносит предвзятость из-за чрезмерного представления людей, имеющих много друзей, что потенциально искажает итоговые оценки.

Исследование, проведенное Кристакисом и Фаулером в 2010 году, показало, что вспышки гриппа можно обнаружить почти за две недели до того, как это сделают традиционные меры наблюдения, если использовать парадокс дружбы при отслеживании заражения в социальной сети. Они обнаружили, что использование парадокса дружбы для анализа здоровья главных друзей является «идеальным способом прогнозирования вспышек, но для большинства групп не существует подробной информации, а ее получение заняло бы много времени и средств». Это распространяется и на распространение идей: есть доказательства того, что парадокс дружбы можно использовать для отслеживания и прогнозирования распространения идей и дезинформации через сети. Это наблюдение было объяснено тем, что люди с большим количеством социальных связей могут быть движущей силой распространения этих идей и убеждений и, как таковые, могут использоваться в качестве сигналов раннего предупреждения.

Теоретически и эмпирически было показано, что выборка на основе парадокса дружбы (т. е. выборка случайных друзей) превосходит классическую равномерную выборку с целью оценки степенного распределения степеней безмасштабных сетей . Причина в том, что равномерная выборка сети не позволит собрать достаточное количество выборок из характерной части тяжелого хвоста степенного распределения степеней, чтобы правильно оценить ее. Однако выборка случайных друзей включает в выборку больше узлов из хвоста распределения степеней (т. е. больше узлов более высокой степени). Следовательно, выборка на основе парадокса дружбы более точно улавливает характерный тяжелый хвост степенного распределения степеней и уменьшает смещение и дисперсию оценки.

«Обобщенный парадокс дружбы» гласит, что парадокс дружбы применим и к другим характеристикам. Например, соавторы в среднем, скорее всего, будут более известными, у них будет больше публикаций, больше цитирований и больше соавторов. или у чьих-то подписчиков в Твиттере больше подписчиков. Тот же эффект был продемонстрирован Болленом и соавт. для субъективного благополучия. (2017), который использовал крупномасштабную сеть Twitter и продольные данные о субъективном благополучии каждого человека в сети, чтобы продемонстрировать, что в социальных сетях онлайн могут возникать как парадокс дружбы, так и парадокс «счастья».

Парадокс дружбы также использовался как средство выявления структурно влиятельных узлов в социальных сетях, чтобы усилить социальное заражение разнообразных практик, имеющих отношение к благополучию человека и общественному здоровью. Это было показано в нескольких крупномасштабных рандомизированных контролируемых полевых исследованиях, проведенных Christakis et al., в отношении приема поливитаминов. или практика охраны здоровья матери и ребенка в Гондурасе или обогащенной железом соли в Индии. Этот метод ценен, потому что, используя парадокс дружбы, можно идентифицировать такие влиятельные узлы без затрат и задержек при составлении карты всей сети.

См. также

• Вторая проблема соседства
• Теория поддержания самооценки
• Список парадоксов

Внешние ссылки

• Строгац, Стивен (17 сентября 2012 г.). «Друзья, на которых можно положиться» . Нью-Йорк Таймс . Проверено 17 января 2013 г.