Модель прикрепления на основе медиации

В теории безмасштабных сетей ( математической теории сетей или теории графов ) модель привязанности, управляемой посредничеством (MDA), по-видимому, воплощает правило предпочтительного прикрепления неявно, а молчаливо. Согласно правилу MDA, новый узел сначала выбирает случайным образом узел из существующей сети и соединяется не с ним, а с одним из соседей, также выбранным случайным образом.

Барабаси и Альберт в 1999 году в своей основополагающей статье отметили отметил, что (i) большинство естественных и искусственных сетей не статичны, а скорее растут со временем, и (ii) новые узлы не соединяются с уже подключенным случайно, а предпочтительно по отношению к их степеням. Последний механизм называется правилом преференциального прикрепления (PA), которое воплощает в себе феномен «богатые становятся богаче» в экономике. В своей первой модели, известной как модель Барабаши-Альберта , Барабаши и Альберт (модель BA) выбирают

$\Pi (i)={\frac {k_{i}}{\sum _{j=1}k_{j}}}$

где, $\Pi (i)$ это вероятность того, что новый узел выберет узел $i$ из помеченных узлов существующей сети. Он непосредственно воплощает в себе механизм «богатые становятся еще богаче».

Недавно Хасан и др. предложил модель привязанности, основанную на посредничестве, которая, по-видимому, воплощает правило PA, но не напрямую, а замаскировано. В модели MDA входящий узел выбирает существующий узел для подключения, сначала выбирая один из существующих узлов случайным образом, который считается посредником. Затем новый узел соединяется с одним из соседей посредника, который также выбирается случайным образом. Теперь вопрос: какова вероятность $\Pi (i)$ что уже существующий узел $i$ наконец выбран, чтобы соединить его с новым узлом? Скажем, узел $i$ имеет степень $k_{i}$ и, следовательно, оно имеет $k_{i}$ соседи. Учтите, что соседи г. $i$ помечены $1,2,\ldots ,k_{i}$ которые имеют степени $k_{1},k_{2},\ldots ,k_{k_{i}}$ соответственно. Можно добраться до узла $i$ от каждого из этих $k_{i}$ узлы с вероятностями, обратными их соответствующим степеням, и каждый из $k_{i}$ узлы, вероятно, будут выбраны случайным образом с вероятностью $1/N$. Таким образом, вероятность $\Pi (i)$ модели MDA:

$\Pi (i)={\frac {1}{N}}\left[{\frac {1}{k_{1}}}+{\frac {1}{k_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{k_{k_{i}}}}\right]={\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{N}}.$

Его можно переписать как

$\Pi (i)={\frac {k_{i}}{N}}\cdot {\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{k_{i}}},$

где фактор ${\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{k_{i}}}$ является обратной величиной среднего гармонического (IHM) степеней $k_{i}$ соседи узла $i$. Обширное численное моделирование показывает, что для небольших $m$ Значение IHM каждого узла колеблется настолько сильно, что среднее значение IHM по всей сети не имеет никакого значения. Однако для больших $m$ (специально $m$ примерно больше, чем 14) распределение значения IHM всей сети становится асимметричным влево по гауссовскому типу, и среднее значение начинает иметь значение, которое становится постоянным значением в большом $m$ предел. В этом пределе обнаруживается, что $\Pi (i)\propto k_{i}$ что и является правилом PA. Это означает, что чем выше уровень связей (уровня) узла, тем выше его шансы получить больше ссылок, поскольку они могут быть достигнуты большим количеством способов через посредников, что, по сути, воплощает интуитивную идею механизма богатых, которые становятся богаче. Таким образом, можно увидеть, что сеть MDA следует правилу PA, но замаскированно. Более того, для небольших $m$ MFA больше не действителен, а вероятность прикрепления $\Pi (i)$ приобретает сверхпреференциальный характер.

Идею правила MDA можно найти в процессе роста взвешенной планарной стохастической решетки (WPSL) . Существующий узел (центр каждого блока WPSL рассматривается как узлы, а общая граница между блоками как связь между соответствующими узлами) в ходе процесса получает связи только в том случае, если один из его соседей выбран не сам. Это означает, что чем выше количество связей (или степень) узла, тем выше его шансы получить больше связей, поскольку к ним можно добраться большим количеством способов. По сути, он воплощает интуитивную идею правила PA. Таким образом, двойником WPSL является сеть, которая, как можно видеть, следует правилу предпочтительного подключения, но замаскированно. Действительно, обнаружено, что его распределение степеней демонстрирует степенной закон, как это подчеркивали Барабаси и Альберт как один из важнейших компонентов.

Сеть прикреплений на основе медиации размером 256 узлов.

Распределение степеней: два фактора, благодаря которым среднее значение IHM имеет смысл и не зависит от них. $N$ подразумевает, что можно применить приближение среднего поля (MFA). То есть в этом приближении можно заменить истинное значение ИГМ $\beta /m$ каждого узла по их среднему значению, где коэффициент $m$ что количество ребер, с которыми приходят новые узлы, введено для последнего удобства. Тогда уравнение скорости, которое необходимо решить, становится точно таким же, как в модели BA, и, следовательно, сеть, возникающая в соответствии с правилом MDA, также является безмасштабной по своей природе. Единственное отличие состоит в том, что показатель степени $\gamma ={{1} \over {\beta (m)}}+1$ зависит от $m$ где как в модели BA $\gamma =3$ независимый от $m$.

Графики распределения степеней для модели MDA. Отдельные графики предназначены для входящих узлов и ребер m = 1, m = 15 и m = 100. На вставке мы показываем изменение показателя степени распределения степеней в зависимости от m .

Вероятность сохранения лидерства

В растущей сети не все узлы одинаково важны. Степень их важности измеряется величиной их степени $k$. Узлы, которые связаны с необычно большим количеством других узлов, т.е. узлы с исключительно высокой $k$ значения, известны как концентраторы. Они особенные, потому что их существование делает среднее расстояние, измеряемое в единицах числа связей, между узлами невероятно малым, тем самым играя ключевую роль в распространении слухов, мнений, болезней, компьютерных вирусов и т. д. Поэтому важно знать свойства крупнейшего хаба, который мы считаем лидером. Как и в обществе, лидерство в растущей сети не является постоянным. То есть, если узел становится лидером, это не значит, что он остается лидером до бесконечности . Интересен вопрос: как долго лидер сохраняет это лидерское свойство по мере развития сети? Чтобы найти ответ на этот вопрос, определим вероятность сохранения лидерства. $F(\tau )$ этот лидер сохраняет свое лидерство, по крайней мере, до определенного времени $\tau$. Вероятность сохранения представляла интерес для многих различных систем, от динамики огрубления до флуктуирующих границ раздела или полимерных цепей.

Два графика вверху показывают степенное поведение вероятности сохранения лидерства. Чтобы оценить роль m, мы даем вероятность сохранения лидерства для двух значений (m = 1 и m = 100) на одном графике: (а) сети BA и (b) сети MDA. Два графика внизу предназначены для показателя персистентности как функции m в (c) сетях BA и (d) сетях MDA.

Основная идея правила MDA, однако, не является полностью новой, поскольку ни ее, ни подобные ей модели можно найти в нескольких более ранних работах, хотя их подход, последующий анализ и результаты отличаются от наших. Например, Сарамаки и Каски представили модель, основанную на случайном блуждании. Другая модель, предложенная Боккалетти и др. может показаться похожим на наш, но при ближайшем рассмотрении он заметно отличается. Недавно Ян {\it и др.} также предложил форму для $\Pi (i)$ и прибегнул к приближению среднего поля. Однако природа их экспрессии существенно отличается от той, которую изучал Hassan et al. . Еще одна тесно связанная модель - это модель растущей сети с перенаправлением (GNR), представленная Гейбелем, Крапивски и Реднером, где на каждом временном шаге новый узел либо с вероятностью присоединяется к случайно выбранному целевому узлу. $1-r$, или родительскому элементу цели с вероятностью $r=1$. Модель GNR с $r=1$ может выглядеть похожей на модель MDA. Однако, в отличие от модели GNR, модель MDA предназначена для ненаправленных сетей, и новый канал может соединяться с любым соседом родительского-посредника или нет. Еще одно отличие состоит в том, что в модели MDA новый узел может присоединиться к существующей сети с $m$ ребра и в модели GNR считается $m=1$ только случай.