Многомерная сеть

В теории сетей многомерные сети , особый тип многослойной сети , представляют собой сети с несколькими видами отношений. Все более изощренные попытки смоделировать системы реального мира как многомерные сети дали ценную информацию в области анализа социальных сетей . экономика, городской и международный транспорт , экология , психология, медицина, биология, коммерция, климатология, физика, вычислительная нейробиология , операционное управление и финансы.

Терминология

Быстрое исследование сложных сетей в последние годы сдерживается отсутствием стандартизированных соглашений об именах, поскольку различные группы используют перекрывающиеся и противоречивые названия. терминология для описания конкретных сетевых конфигураций (например, мультиплексная, многоуровневая, многоуровневая, многомерная, многореляционная, взаимосвязанная). Чтобы в полной мере использовать информацию набора данных о направленном характере коммуникаций, некоторые авторы рассматривают только прямые сети без каких-либо меток на вершинах и вводят определение мультиграфов с метками ребер , которые могут охватывать многие многомерные ситуации. Термин «полностью многомерный» также использовался для обозначения многочастного мультиграфа с метками ребер. Многомерные сети также недавно были переформулированы как конкретные экземпляры многоуровневых сетей. В этом случае слоев столько, сколько измерений, а связи между узлами внутри каждого слоя — это просто все ссылки для данного измерения.

Определение

Невзвешенные многоуровневые сети

В элементарной теории сетей сеть представляется графом. $G=(V,E)$ в котором $V$ представляет собой набор узлов и $E$ связи между узлами, обычно представленные в виде кортежа узлов $u,v\in V$. Хотя эта базовая формализация полезна для анализа многих систем, сети реального мира часто добавляют сложности в виде множества типов отношений между элементами системы. Ранняя формализация этой идеи произошла благодаря ее применению в области анализа социальных сетей (см., например, и статьи о реляционных алгебрах в социальных сетях), в которых многочисленные формы социальных связей между людьми были представлены несколькими типами ссылок.

Чтобы учесть наличие более чем одного типа ссылок, многомерная сеть представляется тройкой $G=(V,E,D)$, где $D$ представляет собой набор измерений (или слоев), каждый член которого представляет собой ссылку разного типа, и $E$ состоит из троек $(u,v,d)$ с $u,v\in V$ и $d\in D$.

Обратите внимание, что, как и во всех ориентированных графах , связи $(u,v,d)$ и $(v,u,d)$ различны.

По соглашению количество связей между двумя узлами в данном измерении равно 0 или 1 в многомерной сети. Однако общее количество связей между двумя узлами по всем измерениям меньше или равно $|D|$.

Взвешенные многоуровневые сети

В случае взвешенной сети этот триплет расширяется до четверки $e=(u,v,d,w)$, где $w$ вес на связи между $u$ и $v$ в измерении $d$.

Мультиплексная сеть европейских аэропортов. Каждая авиакомпания обозначает отдельный уровень. Визуализация выполнена с помощью программного обеспечения muxViz.

Кроме того, что часто бывает полезно при анализе социальных сетей, веса ссылок могут принимать положительные или отрицательные значения. Такие подписанные сети могут лучше отражать такие отношения, как дружба и вражда в социальных сетях. Альтернативно, знаки связей могут быть сами по себе изображены как размеры. например $G=(V,E,D)$ где $D=\{-1,0,1\}$ и $E=\{(u,v,d);u,v\in V,d\in D\}$ Этот подход имеет особую ценность при рассмотрении невзвешенных сетей.

Эту концепцию размерности можно расширить, если потребуется спецификация атрибутов в нескольких измерениях. В этом случае ссылки представляют собой n -кортежи. $e=(u,v,d_{1}\dots d_{n-2})$. Такая расширенная формулировка, в которой связи могут существовать в нескольких измерениях, встречается редко, но использовалась при изучении многомерных изменяющихся во времени сетей .

и глобальных тенденций Всемирного экономического форума Карта глобальных рисков , смоделированная как взаимозависимая сеть (также известная как сеть сетей).

Общая формулировка в терминах тензоров

В то время как одномерные сети имеют двумерные матрицы смежности размера $V\times V$, в многомерной сети с $D$ размеров, матрица смежности становится многослойным тензором смежности, четырехмерной матрицей размера $(V\times D)\times (V\times D)$. Используя индексную запись , матрицы смежности могут быть обозначены как $A_{j}^{i}$, для кодирования соединений между узлами $i$ и $j$, тогда как многослойные тензоры смежности обозначаются $M_{j\beta }^{i\alpha }$, для кодирования соединений между узлами $i$ в слое $\alpha$ и узел $j$ в слое $\beta$. Как и в одномерных матрицах, эта структура легко учитывает направленные ссылки, подписанные ссылки и веса.

В случае мультиплексных сетей , которые представляют собой особые типы многоуровневых сетей, узлы которых не могут быть связаны между собой с другими узлами на других уровнях, трехмерная матрица размера $(V\times V)\times D$ с записями $A_{ij}^{\alpha }$ достаточно, чтобы представить структуру системы путем кодирования связей между узлами $i$ и $j$ в слое $\alpha$.

Мультиплексная социальная сеть по мотивам саги «Звездные войны». Каждый слой обозначает отдельный эпизод, и два узла связаны друг с другом, если соответствующие персонажи действовали вместе в одной или нескольких сценах. Визуализация выполнена с помощью программного обеспечения muxViz.

Многомерные определения, специфичные для сети

Многослойные соседи

В многомерной сети соседи некоторого узла $v$ все узлы подключены к $v$ по измерениям.

Длина многоуровневого пути

Путь между двумя узлами в многомерной сети можно представить вектором r $=(r_{1},\dots r_{|D|})$ в котором $i$-я запись в r — это количество ссылок, пройденных в $i$е измерение $G$. Как и в случае степени перекрытия, сумму этих элементов можно рассматривать как грубую меру длины пути между двумя узлами.

Сеть слоев

Существование нескольких слоев (или измерений) позволяет ввести новую концепцию сети слоев . свойственны многоуровневым сетям. Фактически, уровни могут быть связаны между собой таким образом, что их структуру можно будет описать сетью, как показано на рисунке.

Сеть слоев в многослойных системах

Сеть слоев обычно взвешивается (и может быть направлена), хотя, как правило, веса зависят от интересующего приложения. Простой подход состоит в том, чтобы для каждой пары слоев суммировать все веса в соединениях между их узлами, чтобы получить веса ребер, которые можно закодировать в матрицу. $q_{\alpha \beta }$. Тензор смежности ранга 2, представляющий основную сеть слоев в пространстве. $\mathbb {R} ^{L\times L}$ дается

$\Psi _{\delta }^{\gamma }=\sum \limits _{\alpha ,\beta =1}^{L}q_{\alpha \beta }E_{\delta }^{\gamma }(\alpha \beta )$

где $E_{\delta }^{\gamma }(\alpha \beta )$ — каноническая матрица, все компоненты которой равны нулю, за исключением записи, соответствующей строке $\alpha$ и столбец $\beta$, что равно единице. Используя тензорную запись, можно получить (взвешенную) сеть слоев из многослойного тензора смежности как $\Psi _{\delta }^{\gamma }=M_{j\delta }^{i\gamma }U_{i}^{j}$.

Меры центральности

Степень

В несвязанной многомерной сети, где межуровневые связи отсутствуют, степень узла представляется вектором длины $|D|:\mathbf {k} =(k_{i}^{1},\dots k_{i}^{|D|})$. Здесь $|D|$ это альтернативный способ обозначения количества слоев $L$ в многоуровневых сетях. Однако для некоторых вычислений может оказаться более полезным просто просуммировать количество связей, соседних с узлом, по всем измерениям. Это степень перекрытия : $\sum _{\alpha =1}^{|D|}k_{i}^{\alpha }$. Как и в одномерных сетях, аналогичным образом можно провести различие между входящими и исходящими ссылками.Если межуровневые связи присутствуют, приведенное выше определение необходимо адаптировать для их учета, а степень многоуровневости определяется выражением

$k^{i}=M_{j\beta }^{i\alpha }U_{\alpha }^{\beta }u^{j}=\sum _{\alpha ,\beta =1}^{L}\sum _{j=1}^{N}M_{j\beta }^{i\alpha }$

где тензоры $U_{\alpha }^{\beta }$ и $u^{j}$ иметь все компоненты равными 1. Неоднородность количества соединений узла на разных уровнях может быть учтена через коэффициент участия.

Универсальность как многоуровневая центральность

При распространении на взаимосвязанные многоуровневые сети, то есть на те системы, в которых узлы соединены между уровнями, концепция центральности лучше понимается с точки зрения универсальности. Узлы, которые не являются центральными на каждом уровне, в определенных сценариях могут быть наиболее важными для многоуровневых систем. Например, это тот случай, когда два уровня кодируют разные сети, имеющие только один общий узел: весьма вероятно, что такой узел будет иметь самый высокий показатель центральности, поскольку он отвечает за поток информации между уровнями.

Универсальность собственного вектора

Что касается одномерных сетей, универсальность собственных векторов можно определить как решение проблемы собственных значений, заданной формулой $M_{j\beta }^{i\alpha }\Theta _{i\alpha }=\lambda _{1}\Theta _{j\beta }$, где соглашение Эйнштейна о суммировании для простоты используется . Здесь, $\Theta _{j\beta }=\lambda _{1}^{-1}M_{j\beta }^{i\alpha }\Theta _{i\alpha }$ дает многослойное обобщение централизации собственных векторов Боначича на узел на слой. Общая универсальность собственных векторов просто получается путем суммирования оценок по слоям как $\theta _{i}=\Theta _{i\alpha }u^{\alpha }$.

Кац универсальность

Что касается его одномерного аналога , универсальность Каца получается как решение $\Phi _{j\beta }=[(\delta -aM)^{-1}]_{j\beta }^{i\alpha }U_{i\alpha }$ тензорного уравнения $\Phi _{j\beta }=aM_{j\beta }^{i\alpha }\Phi _{i\alpha }+bu_{j\beta }$, где $\delta _{j\beta }^{i\alpha }=\delta _{j}^{i}\delta _{\beta }^{\alpha }$, $a$ константа меньше наибольшего собственного значения и $b$ — еще одна константа, обычно равная 1. Общая универсальность Каца просто получается путем суммирования оценок по слоям как $\phi _{i}=\Phi _{i\alpha }u^{\alpha }$.

ХИТ-универсальность

Для одномерных сетей алгоритм HITS был первоначально представлен Джоном Кляйнбергом для оценки веб-страниц. Основное предположение алгоритма заключается в том, что соответствующие страницы, называемые авторитетными источниками информации, указываются специальными веб-страницами, называемыми концентраторами. Этот механизм можно математически описать двумя связанными уравнениями, которые сводятся к двум задачам на собственные значения. Когда сеть ненаправленная, центральность авторитета и концентратора эквивалентна центральности собственного вектора.Эти свойства сохраняются за счет естественного распространения уравнений, предложенных Клейнбергом, на случай взаимосвязанных многослойных сетей, определяемых формулой $(MM^{t})_{j\beta }^{i\alpha }\Gamma _{i\alpha }=\lambda _{1}\Gamma _{j\beta }$ и $(M^{t}M)_{j\beta }^{i\alpha }\Upsilon _{i\alpha }=\lambda _{1}\Upsilon _{j\beta }$, где $t$ указывает оператор транспонирования, $\Gamma _{i\alpha }$ и $\Upsilon _{i\alpha }$ обозначают центральность центра и центра власти соответственно. Сжимая центральный и авторитетный тензоры, можно получить общую универсальность как $\gamma _{i}=\Gamma _{i\alpha }u^{\alpha }$ и $\upsilon _{i}=\Upsilon _{i\alpha }u^{\alpha }$, соответственно.

Универсальность PageRank

PageRank , первоначально введенный для ранжирования веб-страниц, также можно рассматривать как меру центральности для взаимосвязанных многоуровневых сетей.

Стоит отметить, что PageRank можно рассматривать как стационарное решение специального марковского процесса на вершине сети. Случайные блуждающие люди исследуют сеть в соответствии со специальной матрицей переходов , а их динамика определяется главным уравнением случайного блуждания . Легко показать, что решение этого уравнения эквивалентно старшему собственному вектору матрицы перехода.

Случайные блуждания были определены также в случае взаимосвязанных многоуровневых сетей. и мультиграфы с раскрашенными краями (также известные как мультиплексные сети). Для взаимосвязанных многоуровневых сетей тензор перехода, управляющий динамикой случайных блуждающих внутри слоев и между слоями, определяется выражением $R_{j\beta }^{i\alpha }=rT_{j\beta }^{i\alpha }+{\frac {(1-r)}{NL}}u_{j\beta }^{i\alpha },$, где $r$ — константа, обычно равная 0,85, $N$ количество узлов и $L$ количество слоев или измерений. Здесь, $R_{j\beta }^{i\alpha }$ можно назвать тензором Google и $u_{j\beta }^{i\alpha }$ – тензор четвертого ранга, все компоненты которого равны 1.

Как и его одномерный аналог, универсальность PageRank состоит из двух факторов: один кодирует классическое случайное блуждание со скоростью $r$ и одна кодирующая телепортация между узлами и слоями со скоростью $1-r$.

Если мы укажем через $\Omega _{i\alpha }$ собственный тензор Google $R_{j\beta }^{i\alpha }$, обозначающий установившуюся вероятность найти ходока в узле $i$ и слой $\alpha$многослойный PageRank получается путем суммирования по слоям собственного сенсора: $\omega _{i}=\Omega _{i\alpha }u^{\alpha }$

Коэффициенты триадного замыкания и кластеризации

Дополнительная информация: Триадное замыкание.

Как и во многих других сетевых статистиках, значение коэффициента кластеризации становится неоднозначным в многомерных сетях из-за того, что тройки могут замыкаться в других измерениях, чем они возникли. Было предпринято несколько попыток определить коэффициенты локальной кластеризации, но эти попытки подчеркнули тот факт, что концепция должна быть фундаментально иной в более высоких измерениях: некоторые группы основывали свою работу на нестандартных определениях, в то время как другие экспериментировали с различными определениями случайных блужданий и трехциклов в многомерных сетях.

Открытие сообщества

Хотя межпространственные структуры изучались ранее, им не удается обнаружить более тонкие ассоциации, обнаруженные в некоторых сетях. Несколько иной подход к определению «сообщества» в случае многомерных сетей позволяет надежно идентифицировать сообщества без требования, чтобы узлы находились в прямом контакте друг с другом. Например, два человека, которые никогда не общаются напрямую, но при этом просматривают множество одних и тех же веб-сайтов, могут стать подходящими кандидатами для такого алгоритма.

Максимизация модульности

Обобщение известного метода максимизации модульности для открытия сообществ было первоначально предложено Мухой и др. Этот метод мультиразрешения предполагает трехмерное тензорное представление сетевой связности внутри слоев, как для мультиграфов с раскрашенными краями, и трехмерное тензорное представление сетевой связности между уровнями. Это зависит от параметра разрешения $\gamma$ и вес $\omega$ межслойных связей. В более компактной записи, использующей тензорную запись, модульность можно записать как $Q\propto S_{i\alpha }^{a}B_{j\beta }^{i\alpha }S_{a}^{j\beta }$, где $B_{j\beta }^{i\alpha }=M_{j\beta }^{i\alpha }-P_{j\beta }^{i\alpha }$, $M_{j\beta }^{i\alpha }$ – многослойный тензор смежности, $P_{j\beta }^{i\alpha }$ — тензор, кодирующий нулевую модель и значение компонентов $S_{a}^{i\alpha }$ определяется как 1, когда узел $i$ в слое $\alpha$ принадлежит к определенному сообществу, помеченному индексом $a$и 0, если это не так.

Тензорное разложение

Неотрицательная матричная факторизация была предложена для извлечения структуры активности сообщества временных сетей. Многослойная сеть представлена ​​трехмерным тензором $T_{ij}^{\tau }$, как мультиграф с раскрашенными краями, где порядок слоев кодирует стрелу времени. Таким образом, тензорная факторизация с помощью разложения Краскала применяется к $T_{ij}^{\tau }$ чтобы назначить каждый узел сообществу во времени.

Статистический вывод

методы, основанные на статистическом выводе, обобщающие существующие подходы, Предложены введенные для одномерных сетей. Стохастическая блочная модель является наиболее используемой генеративной моделью, соответствующим образом обобщенной на случай многоуровневых сетей.

Что касается одномерных сетей, принципиальные методы, такие как минимальная длина описания, могут использоваться для выбора модели в методах обнаружения сообществ, основанных на информационном потоке.

Структурная сводимость

Учитывая более высокую сложность многослойных сетей по сравнению с одномерными сетями, активное поле исследований посвящено упрощению структуры таких систем путем использования некоторого вида снижения размерности.

Популярный метод основан на вычислении квантовой дивергенции Дженсена-Шеннона между всеми парами слоев, которая затем используется из-за ее метрических свойств для построения матрицы расстояний и иерархической кластеризации слоев. Слои последовательно агрегируются согласно полученному иерархическому дереву и процедура агрегирования прекращается, когда целевая функция , основанная на энтропии сети , получает глобальный максимум. Этот жадный подход необходим, поскольку основная проблема потребует проверки всех возможных групп слоев любого размера, что потребует огромного количества возможных комбинаций (которое определяется числом Белла и масштабируется суперэкспоненциально с количеством единиц). Тем не менее, для многослойных систем с небольшим количеством слоев показано, что метод работает оптимально в большинстве случаев.

Другие дескрипторы многоуровневой сети

Степенные корреляции

Вопрос о степени корреляции в одномерных сетях довольно прост: имеют ли сети одинаковой степени тенденцию соединяться друг с другом? В многомерных сетях смысл этого вопроса становится менее ясным. Когда мы говорим о степени узла, мы имеем в виду его степень в одном измерении или свернутом во всем? Когда мы пытаемся проверить связность между узлами, сравниваем ли мы одни и те же узлы в разных измерениях, или разные узлы внутри измерений, или их комбинацию? Каковы последствия изменений каждой из этих статистических данных для других свойств сети? В одном исследовании было обнаружено, что ассортативность снижает надежность дуплексной сети.

Доминирование пути

Учитывая два многомерных пути, r и s , мы говорим, что r доминирует над s тогда и только тогда, когда: $\forall d\in \langle 1,|D|\rangle ,r_{l}\leq s_{l}$ и $\exists i$ такой, что $r_{l}<s_{l}$.

Открытие кратчайшего пути

Среди другой сетевой статистики многие меры центральности основаны на способности оценивать кратчайшие пути от узла к узлу. Распространение этого анализа на многомерную сеть требует включения дополнительных связей между узлами в используемые в настоящее время алгоритмы (например, алгоритм Дейкстры ). Текущие подходы включают свертывание многоканальных соединений между узлами на этапе предварительной обработки перед выполнением вариантов поиска в ширину сети.

Многомерное расстояние

Один из способов оценить расстояние между двумя узлами в многомерной сети — сравнить все многомерные пути между ними и выбрать подмножество, которое мы определяем как кратчайшее через доминирование пути: пусть $MP(u,v)$ быть множеством всех путей между $u$ и $v$. Тогда расстояние между $u$ и $v$ это набор путей $P\subseteq MP$ такой, что $\forall p\in P,\nexists p'\in MP$ такой, что $p'$ доминирует $p$. Поэтому длина элементов в наборе кратчайших путей между двумя узлами определяется как многомерное расстояние .

Релевантность измерения

В многомерной сети $G=(V,E,D)$, актуальность данного измерения (или набора измерений) $D'$ для одного узла можно оценить по соотношению: ${\frac {{\text{Neighbors}}(v,D')}{{\text{Neighbors}}(v,D)}}$.

Размерная связь

В многомерной сети, в которой разные измерения связей имеют разные реальные значения, представляет интерес статистика, характеризующая распределение ссылок по различным классам. Таким образом, полезно рассмотреть две метрики, которые оценивают это: связность измерений и связность измерений с эксклюзивным краем. Первый представляет собой просто отношение общего количества ссылок в данном измерении к общему количеству ссылок в каждом измерении: ${\frac {|\{(u,v,d)\in E|u,v\in V\}|}{|E|}}$. Последний оценивает для данного измерения количество пар узлов, соединенных только ссылкой в ​​этом измерении: ${\frac {|\{(u,v,d)\in E|u,v\in V\wedge \forall j\in D,j\neq d:(u,v,j)\notin E\}|}{|\{(u,v,d)\in E|u,v\in V\}|}}$.

Обнаружение всплесков

Бурность — хорошо известное явление во многих реальных сетях, например, в электронной почте или других сетях человеческого общения. Дополнительные аспекты общения обеспечивают более точное представление реальности и могут подчеркнуть эти закономерности или приуменьшить их. Поэтому крайне важно, чтобы наши методы обнаружения неравномерного поведения сетей учитывали многомерные сети.

Диффузионные процессы в многослойных сетях

Иллюстрация случайного блуждания по вершине специальной многоуровневой системы, то есть мультиплексной сети.

Процессы диффузии широко используются в физике для изучения физических систем, а также в других дисциплинах, таких как социальные науки, нейробиология, городской и международный транспорт или финансы. В последнее время простые и более сложные диффузионные процессы были обобщены на многослойные сети. Одним из результатов, общим для многих исследований, является то, что диффузия в мультиплексных сетях, особом типе многоуровневой системы, демонстрирует два режима: 1) вес межуровневых связей, соединяющих слои друг с другом, недостаточно высок, и мультиплексная система ведет себя как две (или более) несвязанные сети; 2) вес межуровневых связей настолько велик, что уровни связаны друг с другом, вызывая неожиданные физические явления. Было показано, что между этими двумя режимами происходит резкий переход.

Фактически, все сетевые дескрипторы, зависящие от некоторого диффузионного процесса, от мер центральности до обнаружения сообществ, подвержены влиянию связи слоев. Например, в случае обнаружения сообществ низкая связанность (когда информация от каждого слоя в отдельности более релевантна, чем общая структура) благоприятствует кластерам внутри слоев, тогда как высокая связанность (когда информация со всех слоев одновременно более релевантна, чем информация каждого слоя в отдельности). ) предпочитает межуровневые кластеры.

Случайные прогулки

Что касается одномерных сетей, то на вершине многослойных систем можно определить случайные блуждания. Однако, учитывая лежащую в основе многослойную структуру, случайные блуждающие лица не ограничены в перемещении от одного узла к другому в пределах одного и того же слоя ( прыжок ), но им также разрешено перемещаться между слоями ( переключение ).

Случайные блуждания можно использовать для исследования многоуровневой системы с конечной целью раскрыть ее мезомасштабную организацию , то есть разделить ее на сообщества . и недавно использовались для лучшего понимания навигационных возможностей многоуровневых сетей и их устойчивости к случайным сбоям. а также для эффективного изучения топологий этого типа.

В случае взаимосвязанных многоуровневых систем вероятность перехода из узла $i$ в слое $\alpha$ узел $j$ в слое $\beta$ может быть закодирован в тензор перехода ранга 4 $T_{j\beta }^{i\alpha }$ а блуждание в дискретном времени можно описать основным уравнением

$p_{j\beta }(t+1)=\sum _{\alpha =1}^{L}\sum _{i=1}^{N}T_{j\beta }^{i\alpha }p_{i\alpha }(t)=\sum _{\alpha =1}^{L}\sum _{i=1}^{N}(T^{t})_{j\beta }^{i\alpha }p_{i\alpha }(0)$

где $p_{i\alpha }(t)$ указывает на вероятность найти ходока в узле $i$ в слое $\alpha$ во время $t$.

Существует множество различных типов блужданий, которые можно закодировать в тензор перехода. $T_{j\beta }^{i\alpha }$, в зависимости от того, как ходокам разрешено прыгать и переключаться. Например, ходок может либо прыгнуть, либо переключиться за один временной шаг, не делая различия между меж- и внутриуровневыми связями ( классическое случайное блуждание ), или он может выбрать либо остаться на текущем слое и перепрыгнуть, либо переключить слой и затем перейдите к другому узлу за тот же временной шаг ( физическое случайное блуждание ). Более сложные правила, соответствующие конкретным задачам, которые необходимо решить, можно найти в литературе. В некоторых случаях стационарное решение основного уравнения можно найти аналитически.

Классическая диффузия

Проблема классической диффузии в сложных сетях состоит в том, чтобы понять, как величина будет течь через систему и сколько времени потребуется, чтобы достичь стационарного состояния. Классическая диффузия в мультиплексных сетях недавно была изучена путем введения понятия матрицы супрасмежности . позже признанное особым уплощением многослойного тензора смежности. В тензорных обозначениях уравнение диффузии на вершине общей многослойной системы можно кратко записать как

${\frac {dX_{j\beta }(t)}{dt}}=-L_{j\beta }^{i\alpha }X_{i\alpha }(t)$

где $X_{i\alpha }(t)$ это количество диффундирующего количества за раз $t$ в узле $i$ в слое $\alpha$. Тензор ранга 4, управляющий уравнением, представляет собой тензор Лапласа, обобщающий комбинаторную матрицу Лапласа одномерных сетей. Стоит отметить, что в нетензорной записи уравнение принимает более сложный вид.

Многие свойства этого процесса диффузии полностью понятны с точки зрения второго наименьшего собственного значения тензора Лапласа. Интересно, что диффузия в мультиплексной системе может быть быстрее, чем диффузия в каждом слое отдельно или при их агрегации, при условии соблюдения определенных спектральных свойств.

Информация и распространение эпидемий

Смотрите также: эпидемиология

В последнее время вопрос о том, как информация (или болезни) распространяются через многоуровневую систему, стал предметом интенсивных исследований.

Программное обеспечение для анализа многоуровневых сетей

Было представлено несколько программ, предназначенных для анализа и визуализации многоуровневых сетей. Некоторые популярные решения включают multinet (C++/Python/R), MuxViz (R), Pymnet (Python).