Сеть зависимостей

Подход сети зависимостей обеспечивает анализ активности и топологии направленных сетей на системном уровне . Этот подход извлекает причинно-следственные топологические отношения между узлами сети (при анализе сетевой структуры) и обеспечивает важный шаг к выводу о причинно-следственных связях активности между узлами сети (при анализе сетевой активности). Эта методология изначально была внедрена для изучения финансовых данных. оно было расширено и применено к другим системам, таким как иммунная система , и семантические сети .

В случае сетевой активности анализ основан на частичных корреляциях . Проще говоря, частичная (или остаточная) корреляция — это мера влияния (или вклада) данного узла, скажем, j , на корреляции между другой парой узлов, скажем, i и k . Используя эту концепцию, зависимость одного узла от другого рассчитывается для всей сети. В результате получается направленная взвешенная матрица смежности полностью связной сети. После построения матрицы смежности для построения сети можно использовать различные алгоритмы, такие как пороговая сеть, минимальное связующее дерево (MST) , планарный граф с максимальной фильтрацией (PMFG) и другие.

Сеть зависимостей финансовых данных по 300 акциям S&P500, торговавшимся в период 2001–2003 гг. Акции сгруппированы по секторам экономики, а стрелка указывает направление влияния. Центром сети, наиболее влиятельным сектором, является финансовый сектор. Воспроизведение из Кенетта и др., PLoS ONE 5(12), e15032 (2010).

Важность

Сеть зависимостей, основанная на частичной корреляции, представляет собой класс корреляционной сети, способной раскрывать скрытые связи между ее узлами.

Эта оригинальная методология была впервые представлена ​​в конце 2010 года и опубликована в PLoS ONE . Авторы количественно обнаружили скрытую информацию о базовой структуре фондового рынка США , информацию, которая не присутствовала в стандартных корреляционных сетях. Одним из основных результатов данной работы является то, что за исследуемый период времени (2001–2003 гг.) в структуре сети доминировали компании финансового сектора , которые являются узлами сети зависимости. Таким образом, они впервые смогли количественно показать отношения зависимости между различными секторами экономики . После этой работы методология сети зависимостей была применена к изучению иммунной системы . и семантические сети .

Сеть зависимостей активности специфических антител, измеренная для группы матерей. На панели (а) представлена ​​сеть зависимостей, а на панели (б) — стандартная корреляционная сеть. Репродукция из Мади и др., Chaos 21, 016109 (2011)

Пример сети зависимостей ассоциаций, построенной на основе полной семантической сети. Воспроизведение из Кенетта и др., PLoS ONE 6(8): e23912 (2011).

Обзор

Если быть более конкретным, частичная корреляция пары (i, k) с заданным j представляет собой корреляцию между ними после надлежащего вычитания корреляций между i и j и между k и j . Определенная таким образом, разница между корреляциями и частными корреляциями обеспечивает меру влияния узла j на корреляцию . Следовательно, мы определяем влияние узла j на узел i или зависимость узла i от узла j − D ( i , j ), как сумму влияния узла j на корреляции узла i со всеми другими узлами. .

В случае топологии сети анализ основан на влиянии удаления узла на кратчайшие пути между узлами сети. Более конкретно, мы определяем влияние узла j на каждую пару узлов (i,k) как величину, обратную топологическому расстоянию между этими узлами при наличии j минус обратное расстояние между ними при отсутствии узла j . Затем мы определяем влияние узла j на узел i или зависимость узла i от узла j − D ( i , j ), как сумму влияния узла j на расстояния между узлом i со всеми другими узлами k. .

Сети зависимости деятельности

Корреляции между узлами

Корреляции между узлами можно рассчитать по формуле Пирсона :

$C_{i,j}={\frac {\left\langle (X_{i}(n)-\mu _{i})(X_{j}(n)-\mu _{j})\right\rangle }{\sigma _{i}\sigma _{j}}}$

Где $X_{i}(n)$ и $X_{j}(n)$ — активность узлов i и j субъекта n, μ означает среднее значение, а сигма — стандартное отклонение профилей динамики узлов i и j . Обратите внимание, что корреляции между узлами (или, для простоты, корреляции узлов) для всех пар узлов определяют симметричную корреляционную матрицу, чья $(i,j)$ элемент — это корреляция между узлами i и j .

Частичные корреляции

Затем мы используем полученные корреляции узлов для вычисления частичных корреляций. Частный коэффициент корреляции первого порядка — это статистическая мера, показывающая, как третья переменная влияет на корреляцию между двумя другими переменными. Частичная корреляция между узлами i и k относительно третьего узла $j-PC(i,k\mid j)$ определяется как:

$PC(i,k\mid j)={\frac {C(i,k)-C(i,j)C(k,j)}{\sqrt {[1-C^{2}(i,j)][1-C^{2}(k,j)]}}}$

где $C(i,j),C(i,k)$ и $C(j,k)$ являются корреляциями узлов, определенными выше.

Корреляционное влияние и корреляционная зависимость

Относительный эффект корреляций $C(i,j)$ и $C(j,k)$ узла j в корреляции C ( i , k ) определяется следующим образом:

$d(i,k\mid j)\equiv C(i,k)-PC(i,k|j)$

Это позволяет избежать тривиального случая, когда узел j сильно влияет на корреляцию. $C(i,k)$ , главным образом потому, что $C(i,j),C(i,k)$ и $C(j,k)$ имеют небольшие значения. Заметим, что эту величину можно рассматривать либо как корреляционную зависимость C ( i , k ) от узла j (термин, используемый здесь), либо как корреляционное влияние узла j на корреляцию C ( i , k ).

Зависимости активности узла

Далее мы определяем общее влияние узла j на узел i или зависимость D ( i , j ) узла i от узла j следующим образом:

$D(i,j)={\frac {1}{N-1}}\sum _{k\neq j}^{N-1}d(i,k\mid j)$

Согласно определению, D ( i , j ) является мерой среднего влияния узла j на корреляции C(i,k) по всем узлам k, не равным j . Зависимости активности узла определяют матрицу зависимостей D , элементом которой ( i , j ) является зависимость узла i от узла j . Важно отметить, что хотя корреляционная матрица C является симметричной матрицей, матрица зависимостей D несимметрична – $D(i,j)\neq D(j,i)$ поскольку влияние узла j на узел i не равно влиянию узла i на узел j . По этой причине некоторые методы, используемые при анализе корреляционной матрицы (например, PCA), должны быть заменены или являются менее эффективными. Однако существуют и другие методы, подобные тем, которые используются здесь, которые могут правильно объяснить несимметричную природу матрицы зависимостей.

Сети зависимости структуры

Влияние пути и зависимость от расстояния: относительное влияние узла j на направленный путь. $DP(i\rightarrow k|j)$ кратчайший топологический путь, каждый сегмент которого соответствует расстоянию 1, между узлами i и k – задан :

$DP(i\rightarrow k\mid j)\equiv {\frac {1}{td(i\rightarrow k\mid j^{+})}}-{\frac {1}{td(i\rightarrow k\mid j^{-})}}$

где $td(i\rightarrow k|j^{+})$ и $td(i\rightarrow k\mid j^{-})$ — кратчайший направленный топологический путь от узла i к узлу k при наличии и отсутствии узла j соответственно.

Структурные зависимости узлов

Далее мы определяем общее влияние узла j на узел i или зависимость D ( i , j ) узла i от узла j следующим образом:

$D(i,j)={\frac {1}{N-1}}\sum _{k=1}^{N-1}DP(i\rightarrow k\mid j)$

Как определено, D ( i , j ) является мерой среднего влияния узла j на направленные пути от узла i ко всем остальным узлам k . Структурные зависимости узла определяют матрицу зависимостей D, элементом которой ( i , j ) является зависимость узла i от узла j или влияние узла j на узел i . Важно отметить, что матрица зависимостей D несимметрична – $D(i,j)\neq D(j,i)$ поскольку влияние узла j на узел i не равно влиянию узла i на узел j .

Визуализация сети зависимостей

Матрица зависимостей — это взвешенная матрица смежности, представляющая полностью подключенную сеть. Для фильтрации полностью подключенной сети для получения наиболее значимой информации можно применять различные алгоритмы, например, использование порогового подхода, или разные алгоритмы обрезки. Широко используемым методом построения информативного подграфа полной сети является минимальное остовное дерево (MST). Еще один информативный подграф, который сохраняет больше информации (по сравнению с MST), — это планарный граф с максимальной фильтрацией (PMFG). который здесь используется. Оба метода основаны на иерархической кластеризации , и результирующие подграфы включают все N узлов сети, ребра которых представляют наиболее релевантные корреляции ассоциаций. Подграф MST содержит $(N-1)$ребра без петель, а подграф PMFG содержит $3(N-2)$ края.

См. также

• Семантическая лексика
• Сеть зависимостей (графическая модель)