Мощность свертки

В математике мощность свертки — это n -кратная итерация свертки с самой собой. Таким образом, если $x$ — функция в евклидовом пространстве R ^д и $n$ — натуральное число , то мощность свертки определяется выражением

x^{*n}=\underbrace {x*x*x*\cdots *x*x} _{n},\quad x^{*0}=\delta _{0}

где ∗ обозначает операцию свертки функций на R ^д и δ0 _— дельта -распределение Дирака . Это определение имеет смысл, если x — интегрируемая функция (в L ¹), быстро убывающее распределение (в частности, распределение с компактным носителем) или является конечной борелевской мерой .

Если x — функция распределения случайной величины на действительной прямой, то n ^й степень свертки x дает функцию распределения суммы n независимых случайных величин с одинаковым распределением x . Центральная предельная теорема гласит, что если x находится в L ¹ и Л ² со средним нулем и дисперсией σ ², затем

P\left({\frac {x^{*n}}{\sigma {\sqrt {n}}}}<\beta \right)\to \Phi (\beta )\quad {\rm {{as}\ n\to \infty }}

где Φ — кумулятивное стандартное нормальное распределение на действительной линии. Эквивалентно, $x^{*n}/\sigma {\sqrt {n}}$ слабо стремится к стандартному нормальному распределению.

В некоторых случаях можно определить степени x ^{* т} для произвольного действительного t > 0. Если µ — вероятностная мера , то µ бесконечно делима существует при условии, что для каждого положительного целого числа n вероятностная мера µ _{1/ n} такая, что

\mu _{1/n}^{*n}=\mu .

То есть мера бесконечно делима, если можно определить все корни n- й степени. Не каждая вероятностная мера бесконечно делима, и характеристика бесконечно делимых мер имеет центральное значение в абстрактной теории случайных процессов . Интуитивно понятно, что мера должна быть бесконечно делимой при условии, что она имеет четко определенный «логарифм свертки». Естественными кандидатами на меры, имеющие такой логарифм, являются меры (обобщенного) пуассоновского типа, заданные в виде

\pi _{\alpha ,\mu }=e^{-\alpha }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{n!}}\mu ^{*n}.

Фактически, теорема Леви-Хинчина утверждает, что необходимым и достаточным условием того, чтобы мера была бесконечно делимой, является то, что она должна лежать в замыкании относительно нечеткой топологии класса пуассоновских мер ( Stroock 1993 , §3.2). ).

Многие применения силы свертки основаны на возможности определить аналог аналитических функций как формальный степенной ряд с заменой степеней на степень свертки. Таким образом, если $\textstyle {F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ является аналитической функцией, то хотелось бы иметь возможность определить

F^{*}(x)=a_{0}\delta _{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{*n}.

Если x ∈ L ¹( Р ^д) или, в более общем смысле, является конечной борелевской мерой на R ^д, то последний ряд сходится абсолютно по норме при условии, что норма x меньше радиуса сходимости исходного ряда, определяющего F ( z ). В частности, такие меры позволяют определить сверточную экспоненту

\exp ^{*}(x)=\delta _{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{*n}}{n!}}.

Обычно невозможно распространить это определение на произвольные распределения, хотя класс распределений, на которых этот ряд все еще сходится в соответствующем слабом смысле, определен Беном Хрудой, Эль Уэдом и Уэрдианом (2002) .

Свойства [ править ]

Если x сам по себе достаточно дифференцируем, то из свойств свертки имеем

{\mathcal {D}}{\big \{}x^{*n}{\big \}}=({\mathcal {D}}x)*x^{*(n-1)}=x*{\mathcal {D}}{\big \{}x^{*(n-1)}{\big \}}

где ${\mathcal {D}}$ обозначает оператор производной . В частности, это справедливо, если x является распределением с компактным носителем или лежит в пространстве Соболева W ^1,1 чтобы гарантировать, что производная достаточно регулярна, чтобы свертка была четко определена.

Приложения [ править ]

В случайном графе конфигурации распределение связных компонентов по размерам может быть выражено через степень свертки распределения избыточной степени ( Кривень (2017) ):

w(n)={\begin{cases}{\frac {\mu _{1}}{n-1}}u_{1}^{*n}(n-2),&n>1,\\u(0)&n=1.\end{cases}}

Здесь, $w(n)$ - распределение размеров связанных компонентов, $u_{1}(k)={\frac {k+1}{\mu _{1}}}u(k+1),$ - распределение избыточных степеней, а $u(k)$ обозначает распределение степеней .

Поскольку алгебры свертки являются частными случаями алгебр Хопфа , степень свертки является частным случаем (обычной) степени в алгебре Хопфа. В приложениях к квантовой теории поля экспонента свертки, логарифм свертки и другие аналитические функции, основанные на свертке, строятся как формальные степенные ряды по элементам алгебры ( Броудер, Фрабетти и Патрас, 2008 ). Если, кроме того, алгебра является банаховой алгеброй , то сходимость ряда можно определить, как указано выше. В формальной обстановке знакомые личности, такие как

x=\log ^{*}(\exp ^{*}x)=\exp ^{*}(\log ^{*}x)

продолжайте держать. Более того, в силу постоянства функциональных отношений они сохраняются на уровне функций при условии, что все выражения корректно определены в открытом множестве сходящимися рядами.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Шварц, Лоран (1951), Теория распределений, Том II , Герман, Париж .
Хорват, Джон (1966), Топологические векторные пространства и распределения , Издательство Addison-Wesley Publishing Company: Ридинг, Массачусетс, США .
Бен Хруда, Мохамед; Эль Уэд, Мохамед; Уэрдиан, Хабиб (2002), «Исчисление сверток и приложения к стохастическим дифференциальным уравнениям», Soochow Journal of Mathematics , 28 (4): 375–388, ISSN 0250-3255 , MR 1953702 .
Броудер, Кристиан; Фрабетти, Алессандра; Патры, Фредерик (2008). «Разложение на одночастичные неприводимые функции Грина в физике многих тел». arXiv : 0803.3747 [ cond-mat.str-el ]. .
Феллер, Уильям (1971), Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том. II. , Второе издание, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , MR 0270403 .
Струк, Дэниел В. (1993), Теория вероятностей, аналитический взгляд , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43123-1 , МР 1267569 .
Кривень И. (2017), «Общее выражение для распределения компонентов по размерам в сетях бесконечной конфигурации», Physical Review E , 95 (5): 052303, arXiv : 1703.05413 , Bibcode : 2017PhRvE..95e2303K , doi : 10.1103/physreve.95.052303 , PMID 28618550 , S2CID 8421307 .