Масштабирование Видома

Масштабирование Видома (по Бенджамину Видому ) — это гипотеза статистической механики относительно свободной энергии вблизи магнитной системы ее критической точки , которая приводит к тому, что критические показатели степени перестают быть независимыми, и их можно параметризовать с помощью двух значений. Гипотезу можно рассматривать как естественное следствие процедуры перенормировки блочного спина, когда размер блока выбирается равным размеру корреляционной длины.

Масштабирование Widom является примером универсальности .

Определения

Критические показатели $\alpha ,\alpha ',\beta ,\gamma ,\gamma '$ и $\delta$ определяются через поведение параметров порядка и функций отклика вблизи критической точки следующим образом

$M(t,0)\simeq (-t)^{\beta }$, для $t\uparrow 0$

$M(0,H)\simeq |H|^{1/\delta }\mathrm {sign} (H)$, для $H\rightarrow 0$

$\chi _{T}(t,0)\simeq {\begin{cases}(t)^{-\gamma },&{\textrm {for}}\ t\downarrow 0\\(-t)^{-\gamma '},&{\textrm {for}}\ t\uparrow 0\end{cases}}$

$c_{H}(t,0)\simeq {\begin{cases}(t)^{-\alpha }&{\textrm {for}}\ t\downarrow 0\\(-t)^{-\alpha '}&{\textrm {for}}\ t\uparrow 0\end{cases}}$

где

$t\equiv {\frac {T-T_{c}}{T_{c}}}$ измеряет температуру относительно критической точки.

Вблизи критической точки масштабное соотношение Видома гласит:

$H(t)\simeq M|M|^{\delta -1}f(t/|M|^{1/\beta })$.

где $f$ имеет расширение

$f(t/|M|^{1/\beta })\approx 1+{\rm {const}}\times (t/|M|^{1/\beta })^{\omega }+\dots$,

с $\omega$будучи показателем Вегнера, определяющим подход к масштабированию .

Вывод

Гипотеза масштабирования состоит в том, что вблизи критической точки свободная энергия $f(t,H)$, в $d$ размеров, можно записать как сумму медленно меняющейся регулярной части $f_{r}$ и единственная часть $f_{s}$, причем сингулярная часть является масштабирующей функцией, т. е. однородной функцией , так что

$f_{s}(\lambda ^{p}t,\lambda ^{q}H)=\lambda ^{d}f_{s}(t,H)\,$

Тогда взятие частной производной по H и форме M(t,H) дает

$\lambda ^{q}M(\lambda ^{p}t,\lambda ^{q}H)=\lambda ^{d}M(t,H)\,$

Параметр $H=0$ и $\lambda =(-t)^{-1/p}$ в предыдущем уравнении дает

$M(t,0)=(-t)^{\frac {d-q}{p}}M(-1,0),$ для $t\uparrow 0$

Сравнивая это с определением $\beta$ приносит свою ценность,

$\beta ={\frac {d-q}{p}}\equiv {\frac {\nu }{2}}(d-2+\eta ).$

Аналогично, положив $t=0$ и $\lambda =H^{-1/q}$ в соотношение масштабирования для M дает

$\delta ={\frac {q}{d-q}}\equiv {\frac {d+2-\eta }{d-2+\eta }}.$

Следовательно

${\frac {q}{p}}={\frac {\nu }{2}}(d+2-\eta ),~{\frac {1}{p}}=\nu .$

Применяя выражение для изотермической восприимчивости $\chi _{T}$ в терминах M к масштабному соотношению дает

$\lambda ^{2q}\chi _{T}(\lambda ^{p}t,\lambda ^{q}H)=\lambda ^{d}\chi _{T}(t,H)\,$

Установка H=0 и $\lambda =(t)^{-1/p}$ для $t\downarrow 0$ (соответственно $\lambda =(-t)^{-1/p}$ для $t\uparrow 0$) дает

$\gamma =\gamma '={\frac {2q-d}{p}}\,$

Аналогично для выражения для теплоемкости $c_{H}$ в терминах M к масштабному соотношению дает

$\lambda ^{2p}c_{H}(\lambda ^{p}t,\lambda ^{q}H)=\lambda ^{d}c_{H}(t,H)\,$

Приняв H=0 и $\lambda =(t)^{-1/p}$ для $t\downarrow 0$ (или $\lambda =(-t)^{-1/p}$ для $t\uparrow 0)$ урожайность

$\alpha =\alpha '=2-{\frac {d}{p}}=2-\nu d$

В результате масштабирования Видома не все критические показатели степени независимы, но их можно параметризовать двумя числами. $p,q\in \mathbb {R}$ с отношениями, выраженными как

$\alpha =\alpha '=2-\nu d,$

$\gamma =\gamma '=\beta (\delta -1)=\nu (2-\eta ).$

Соотношения хорошо подтверждены экспериментально для магнитных систем и жидкостей.

Ссылки

• HE Stanley, Введение в фазовые переходы и критические явления
• Х. Кляйнерт и В. Шульте-Фролинде, Критические свойства φ ⁴ -Теории , World Scientific (Сингапур, 2001 г.) ; Мягкая обложка ISBN   981-02-4658-7 (также доступен в Интернете )