Критическое поведение поверхности перколяции

Критическое поведение поверхности перколяции касается влияния поверхностей на критическое поведение перколяции.

Фон

Перколяция — это исследование связности в случайных системах, таких как электропроводность в случайных системах проводник/изолятор, поток жидкости в пористых средах, гелеобразование в полимерных системах и т. д. На критической части связности или пористости может иметь место связность на большие расстояния, что приводит к потоку на большие расстояния. Точка, в которой имеет место эта связность, называется порогом перколяции , и был проделан значительный объем работы по поиску этих критических значений для систем различной геометрии и математического поведения наблюдаемых вблизи этой точки. Это приводит к изучению критического поведения и критических показателей перколяции . Эти показатели позволяют описать поведение при приближении к порогу.

Поведение перколяционной сети вблизи поверхности будет отличаться от поведения основной части системы, называемой «объемом». Например, точно на пороге перколяции перколяционная сеть в системе представляет собой фрактал с большими пустотами и разветвленной структурой. Поверхность прерывает эту структуру, поэтому вероятность контакта просачивающегося кластера с поверхностью снижается. В качестве примера рассмотрим решетчатую систему перколяции связей (перколяции по связям или краям решетки). Если решетка имеет кубическую природу и $p$ — вероятность того, что связь занята (проводящая), то порог перколяции, как известно, равен $p_{c}=0.311608...$. На поверхности решетка становится простой квадратной решеткой, где порог связи $p_{c}$ это просто 1/2. Следовательно, когда основная часть системы находится на пороге, поверхность находится намного ниже ее порога, и единственный способ иметь дальние связи вдоль поверхности — это иметь путь, идущий от поверхности к объему, проводимость через фрактальная сеть перколяции, а затем снова путь обратно на поверхность. Это происходит с другим критическим поведением, как в объеме, и отличается от критического поведения двумерной поверхности на ее пороге.

В наиболее распространенной модели критического поведения поверхности при перколяции все связи определяются с одинаковой вероятностью. $p$, а поведение изучается в объеме $p_{c}$, в данном случае со значением 0,311608. В другой модели поведения поверхности поверхностные связи заняты с другой вероятностью. $p_{s}$, в то время как объем сохраняется при нормальном объемном значении. Когда $p^{(s)}$ увеличивается до более высокого значения, достигается новая «особая» критическая точка $p_{c}^{(s)}$, который имеет другой набор критических показателей.

Поверхностные фазовые переходы

В зависимости от значений вероятности объемного заполнения могут происходить различные поверхностные фазовые переходы. $p$ и вероятность занятия поверхности $p_{s}$. BP и SP означают «объемное просачивание» и «поверхностное просачивание» соответственно.

При перколяции мы можем выбрать занятие участков или связей на поверхности с разной вероятностью. $p_{s}$ к объемной вероятности $p$. Тогда в зависимости от значений вероятности объемного заполнения могут происходить различные поверхностные фазовые переходы. $p$ и вероятность занятия поверхности $p_{s}$. Простейшим случаем является обычный переход, который происходит, когда $p$ находится при критической вероятности объемного фазового перехода. Здесь как объем, так и поверхность начинают просачиваться независимо от значения $p_{s}$, поскольку обычно существует путь, соединяющий границы поверхности через просачивающуюся массу. Затем происходит поверхностный переход, при котором объемная вероятность находится ниже объемного порога, а поверхностная вероятность находится на пороге перколяции для перколяции в одном нижнем измерении (т.е. измерении поверхности). Здесь поверхность претерпевает перколяционный переход, в то время как объем остается разобщенным. Если мы войдем в эту область фазовой диаграммы, где поверхность упорядочена, а объем неупорядочен, а затем увеличим вероятность объема, мы в конечном итоге столкнемся с необычным переходом, когда объем претерпевает перколяционный переход, а поверхность уже просачивается. Наконец, существует специальный фазовый переход, который представляет собой изолированную точку, где встречаются фазовые границы обыкновенного, специального и необыкновенного переходов.

В общем, различные поверхностные переходы будут относиться к разным классам универсальности поверхности с разными критическими показателями. Учитывая показатель, скажем $\gamma$, мы обозначаем соответствующий показатель степени при обычном, поверхностном, необыкновенном и специальном переходах как $\gamma ^{(o)}$, $\gamma ^{(s)}$, $\gamma ^{(e)}$, и $\gamma ^{(sp)}$ соответственно.

пороги поверхностной перколяции

Решетка	С	Порог проникновения сайта	Порог перколяции облигаций
универсальный треугольный	3

Критические показатели поверхности

Вероятность того, что участки поверхности соединены с бесконечным (перколяционным) кластером для бесконечной системы и $p>p_{c}$, определяется

$P(p)\sim (p_{c}-p)^{\beta _{s}}$

с $\beta _{s}>\beta$ где $\beta$ — объемный показатель параметра порядка.

Как функция времени $t$ в эпидемическом процессе (или химической дистанции) мы имеем при $p=p_{c}$

$P(t,p_{c})\sim t^{\delta _{s}}$

с $\delta _{s}=\beta _{s}/\nu _{t}$, где $\nu _{t}$ - объемный динамический показатель.

$\nu _{\parallel }$

$\nu _{\perp }$

Экспонента	2д	3d	4д	5д	6д
$\alpha$
$\beta _{s}/\nu$		0.970(6), 0.98(2)
$\nu$

Масштабирование отношений

Критические показатели выражают следующие масштабные соотношения:

$2X_{h1}=d-2+\eta _{\parallel }$ (Дэн и Блёте)

$\gamma _{1,1}=\nu (1-\eta _{\parallel })$

$\gamma _{1,1}=2\gamma _{1}-\gamma -\nu$

См. также

• перколяция
• Теория перколяции
• Критические показатели перколяции