Направленная перколяция

В статистической физике направленная перколяция ( DP ) относится к классу моделей, которые имитируют фильтрацию жидкостей через пористые материалы в заданном направлении из-за эффекта гравитации . Варьируя микроскопическую связность пор, эти модели демонстрируют фазовый переход из макроскопически проницаемого (перколяционного) состояния в непроницаемое (неперколяционное). Направленная перколяция также используется как простая модель распространения эпидемии с переходом от выживания к исчезновению болезни в зависимости от уровня заражения.

В более общем смысле термин «направленная перколяция» обозначает класс универсальности непрерывных фазовых переходов, которые характеризуются одним и тем же типом коллективного поведения в больших масштабах. Направленная перколяция, вероятно, является простейшим классом универсальности выходов из теплового равновесия .

Решетчатые модели

Реализация проницаемых (сплошная линия) или закрытых связей (нет линии) на наклонной квадратной решетке. Кластер сайтов, соединенных направленным путем (по стрелкам) с источником (точка в кружке), обозначен красным.

Одной из простейших реализаций ДП является перколяция, направленная по связи . Эта модель представляет собой направленный вариант обычной (изотропной) перколяции и может быть представлена ​​следующим образом. На рисунке изображена наклонная квадратная решетка со связями, соединяющими соседние узлы. Облигации проницаемы (открыты) с вероятностью $p\,$ и непроницаемым (закрытым) в противном случае. Участки и связи можно интерпретировать как дыры и хаотически расположенные каналы пористой среды.

Разница между обычной и направленной перколяцией показана справа. При изотропной перколяции распределяющий агент (например, вода), введенный в определенный участок, просачивается вдоль открытых связей, образуя кластер влажных участков. Напротив, при направленной перколяции распределяющий агент может проходить открытые связи только в предпочтительном направлении в пространстве, как указано стрелкой. Образовавшийся красный кластер направлен в пространство.

Как динамический процесс

Интерпретируя предпочтительное направление как временную степень свободы, направленную перколяцию можно рассматривать как стохастический процесс , развивающийся во времени. В минимальной двухпараметрической модели который включает связь и DP сайта как особые случаи, одномерная цепочка сайтов развивается в дискретном времени $t$, который можно рассматривать как второе измерение, и все сайты обновляются параллельно. Активация определенного сайта (так называемого начального начального числа) во времени $t=0$ результирующий кластер можно построить построчно. Соответствующее количество активных сайтов $N(t)$ меняется с течением времени.

Универсальное поведение масштабирования

ДП Класс универсальности характеризуется определенным набором критических показателей . Эти показатели зависят от пространственной размерности $d\,$. Выше так называемого верхнего критического размера $d\geq d_{c}=4\,$ они задаются значениями среднего поля, в то время как в $d<4\,$ Размеры их были оценены численно. Текущие оценки сведены в следующую таблицу:

Критические показатели направленной перколяции в $d$ размеры (сентябрь 2006 г.)

показатель степени	$d=1\,$	$d=2\,$	$d=3\,$	$d\geq 4\,$
$\beta \,$	$0.276486\pm 0.000008$	$0.583\pm 0.003$	$0.813\pm 0.009$	$1\,$
$\nu _{\perp }$	$1.096854\pm 0.000004$	$0.733\pm 0.008$	$0.584\pm 0.005$	$1/2\,$
$\nu _{||}\,$	$1.733847\pm 0.000006$	$1.295\pm 0.006$	$1.11\pm 0.01$	$1\,$

Другие примеры

В двух измерениях просачивание воды через тонкую ткань (например, туалетную бумагу ) имеет ту же математическую основу, что и поток электричества через двумерные случайные сети резисторов . В химии хроматографию можно понять с помощью аналогичных моделей.

Распространение разрыва или разрыва в листе бумаги, в листе металла или даже образование трещины в керамике имеет большое математическое сходство с потоком электричества через случайную сеть электрических предохранителей . Выше определенной критической точки электрический поток вызовет срабатывание предохранителя, что может привести к каскаду отказов, напоминающему распространение трещины или разрыва. Исследование перколяции помогает определить, как поток электричества будет перераспределяться в сети предохранителей, моделируя, таким образом, какие предохранители, скорее всего, сработают следующими, как быстро они сработают и в каком направлении может искривиться трещина.

Примеры можно найти не только в физических явлениях, но и в биологии, нейробиологии, экологии (например, эволюция ) и экономике (например, распространение инноваций ).

Перколяцию можно рассматривать как раздел изучения динамических систем или статистической механики . В частности, сети перколяции демонстрируют изменение фазы около критического порога .

Экспериментальные реализации

Несмотря на огромный успех в теоретических и численных исследованиях ДП, получение убедительных экспериментальных доказательств оказалось сложной задачей. В 1999 году эксперимент с струящимся песком по наклонной плоскости был признан физической реализацией ДП. В 2007 году критическое поведение ДП было наконец обнаружено в электрогидродинамической конвекции жидкого кристалла, где был измерен полный набор статических и динамических критических показателей и универсальных масштабирующих функций ДП при переходе к пространственно-временной перемежаемости между двумя турбулентными состояниями.

См. также

• Порог перколяции
• Модель Зиффа – Гулари – Баршада
• Критические показатели перколяции

Источники

Литература

• Хинрихсен, Хэй (2000). «Неравновесные критические явления и фазовые переходы в поглощающие состояния». Достижения физики . 49 (7): 815–958. arXiv : cond-mat/0001070 . Бибкод : 2000AdPhy..49..815H . дои : 10.1080/00018730050198152 . ISSN   0001-8732 . S2CID   119106856 .
• Одор, Геза (17 августа 2004 г.). «Классы универсальности в неравновесных решетчатых системах». Обзоры современной физики . 76 (3): 663–724. arXiv : cond-mat/0205644 . Бибкод : 2004РвМП...76..663О . дои : 10.1103/revmodphys.76.663 . ISSN   0034-6861 . S2CID   96472311 .
• Любек, Свен (30 декабря 2004 г.). «Универсальное масштабирование неравновесных фазовых переходов». Международный журнал современной физики Б. 18 (31н32). World Scientific Pub Co Pte Lt: 3977–4118. arXiv : cond-mat/0501259 . Бибкод : 2004IJMPB..18.3977L . дои : 10.1142/s0217979204027748 . ISSN   0217-9792 . S2CID   119346276 .
• Л. Кане: «Процесс реакции-диффузии: подход с использованием непертурбативной ренормгруппы», Диссертация. Онлайн диссертация
• Мухаммад Сахими. Приложения теории перколяции. Тейлор и Фрэнсис, 1994. ISBN   0-7484-0075-3 (ткань), ISBN   0-7484-0076-1 (бумага)
• Джеффри Гриммет. Перколяция (2-е изд.). Спрингер Верлаг, 1999.
• Такеучи, Казумаса А.; Курода, Масафуми; Шатэ, Хьюг; Сано, Масаки (5 декабря 2007 г.). «Направленная перколяционная критичность в турбулентных жидких кристаллах». Письма о физических отзывах . 99 (23). Американское физическое общество (APS): 234503. arXiv : 0706.4151 . Бибкод : 2007PhRvL..99w4503T . дои : 10.1103/physrevlett.99.234503 . ISSN   0031-9007 . ПМИД   18233372 . S2CID   6723341 .