Воздушный процесс

Процессы Эйри — семейство стационарных случайных процессов , которые появляются как предельные процессы в теории моделей случайного роста и теории случайных матриц . Предполагается, что они являются универсальными пределами , описывающими длительные крупномасштабные пространственные флуктуации моделей в (1 + 1)-мерном классе универсальности КПЗ (уравнение Кардара – Паризи – Чжана) для многих начальных условий (см. также фиксированную точку КПЗ ). .

Оригинальный процесс Эйри ₂ был представлен в 2002 году математиками Михаэлем Прехофером и Гербертом Споном . Они доказали, что функция высоты модели из (1+1)-мерного класса универсальности КПЗ - капли PNG - сходится при подходящем масштабировании и начальных условиях к процессу Эйри ₂ и что это стационарный процесс с почти наверняка непрерывной выборкой. пути.

Процесс Эйри назван в честь функции Эйри . Процесс можно определить через его конечномерное распределение с определителем Фредгольма и так называемым расширенным ядром Эйри . что одноточечное предельное распределение процесса Эйри ₂ — это распределение Трейси-Уидома GUE Оказывается , .

Существует несколько процессов Эйри. Процесс Airy ₁ был представлен Томохиро Сасомото. а одноточечное предельное распределение Эйри ₁ представляет собой скалярное произведение распределения Трейси-Уидома GOE. Эйри _{Другой процесс Эйри — это процесс статистики} .

Эйри ₂ процедуры

Позволять $t_{1}<t_{2}<\dots <t_{n}$ быть внутри $\mathbb {R}$.

Эйри ​ ₂ Процесс $A_{2}(t)$ имеет следующее конечномерное распределение

$P(A_{2}(t_{1})<\xi _{1},\dots ,A_{2}(t_{n})<\xi _{n})=\det(1-f^{1/2}K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }f^{1/2})_{L^{2}(\{t_{1},\dots ,t_{n}\}\times \mathbb {R} )}$

где

$f(t_{j},\xi ):=1_{\{(\xi _{j},\infty )\}}(\xi )$

и $K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }(t_{i},x;t_{j},y)$ это расширенное ядро ​​Эйри

$K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }(t_{i},x;t_{j},y):={\begin{cases}{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-z(t_{i}-t_{j})}\operatorname {Ai} (x+z)\operatorname {Ai} (y+z)\mathrm {d} z}&{\text{if }}\;t_{i}\geq t_{j},\\{\displaystyle -\int _{-\infty }^{0}e^{-z(t_{i}-t_{j})}\operatorname {Ai} (x+z)\operatorname {Ai} (y+z)\mathrm {d} z}&{\text{if }}\;t_{i}<t_{j}.\end{cases}}$

Пояснения

• Если $t_{i}=t_{j}$ расширенное ядро ​​Эйри сводится к ядру Эйри и, следовательно,

$P(A_{2}(t)\leq \xi )=F_{2}(\xi ),$

где $F_{2}(\xi )$ — это распределение Трейси-Уидома GUE.

• $f^{1/2}K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }f^{1/2}$ является оператором класса трассировки на $L^{2}(\{t_{1},\dots ,t_{n}\}\times \mathbb {R} )$ со счетной мерой на $\{t_{1},\dots ,t_{n}\}$ и мера Лебега на $\mathbb {R}$, ядро $f^{1/2}K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }(t_{i},x;t_{j},y)f^{1/2}$.

Литература

• Прахофер, Михаэль; Спон, Герберт (2002). «Масштабная инвариантность капли PNG и процесса Эйри». Журнал статистической физики . 108 . Спрингер. arXiv : математика/0105240 .
• Йоханссон, Курт (2003). «Дискретный полиядерный рост и детерминантные процессы». Коммун. Математика. Физ . 242 . Спрингер: 290. arXiv : math/0206208 . дои : 10.1007/s00220-003-0945-y .
• Трейси, Крейг; Видом, Гарольд (2003). «Система дифференциальных уравнений для процесса Эйри». Электрон. Коммун. Вероятно . 8 : 93–98. arXiv : математика/0302033 . дои : 10.1214/ECP.v8-1074 .