Фиксированная точка КПЗ

В теории вероятностей представляет неподвижная точка КПЗ собой марковское поле и считается универсальным пределом широкого спектра стохастических моделей, образующих класс универсальности нелинейного стохастического уравнения в частных производных, называемого уравнением КПЦ . Несмотря на то, что класс универсальности уже был введен в 1986 году вместе с самим уравнением КПЗ, фиксированная точка КПЗ не была конкретно указана до 2021 года, когда математики Константин Матецкий , Джереми Квастель и Дэниел Ременик дали явное описание вероятностей перехода в терминах определителей Фредгольма .

Введение

Все модели класса KPZ объединяет то, что они имеют функцию изменяющейся высоты или некоторую аналоговую функцию, которую можно рассматривать как функцию, моделирующую рост модели со временем. Само уравнение КПЗ также является членом этого класса и канонической моделью моделирования случайного роста границ раздела. Сильная гипотеза универсальности КПЗ предполагает, что все модели в классе универсальности КПЗ сходятся при определенном масштабировании функции высоты к неподвижной точке КПЗ и зависят только от начального условия.

Матецкий-Квастель-Ременик построил неподвижную точку КПЗ для $(1+1)$-мерный класс универсальности КПЗ (т.е. одно пространственное и одно временное измерение) на польском пространстве полунепрерывных сверху функций (UC) с топологией локальной UC-сходимости. Они сделали это, изучая конкретную модель класса универсальности КПЗ TASEP («Полностью асимметричный простой процесс исключения») с общими начальными условиями и случайным блужданием связанной с ней функции высоты. Они добились этого, переписав биортогональную функцию корреляционного ядра, которая появляется в формуле определителя Фредгольма для многоточечного распределения частиц в камере Вейля . Затем они показали сходимость к фиксированной точке.

Фиксированная точка КПЗ

Позволять $h(t,{\vec {x}})$ обозначают функцию высоты некоторой вероятностной модели с $(t,{\vec {x}})\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{d}$ обозначающий пространство-время. Пока речь идет только о $d=1$, также отмеченный как $(1+1)$, был глубоко изучен, поэтому фиксируем это измерение до конца статьи. В классе универсальности КПЗ существуют две точки равновесия или неподвижные точки: тривиальная неподвижная точка Эдвардса-Уилкинсона (EW) и нетривиальная неподвижная точка КПЗ . Уравнение КПЗ связывает их вместе.

Фиксированная точка КПЗ скорее определяется как функция высоты. ${\mathfrak {h}}(t,{\vec {x}})$ а не как конкретная модель с функцией высоты.

Фиксированная точка КПЗ

Неподвижная точка КПЗ $({\mathfrak {h}}(t,x))_{t\geq 0,x\in \mathbb {R} }$ является марковским процессом, таким, что n-точечное распределение для $x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}\in \mathbb {R}$ и $t>0$ может быть представлено как

$\mathbb {P} _{{\mathfrak {h}}(0,\cdot )}({\mathfrak {h}}(t,x_{1})\leq a_{1},{\mathfrak {h}}(t,x_{2})\leq a_{2},\dots ,{\mathfrak {h}}(t,x_{n})\leq a_{n})=\det(I-K)_{L^{2}(\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}\times \mathbb {R} )}$

где $a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R}$ и $K$ — это оператор ядерного класса, называемый расширенным оператором броуновского рассеяния , а нижний индекс означает, что процесс в ${\mathfrak {h}}(0,\cdot )$ начинается.

Гипотезы универсальности КПЗ

Гипотеза КПЗ предполагает, что функция высоты $h(t,{\vec {x}})$ всех моделей в КПЗ универсальность на время $t$ колеблются вокруг среднего значения порядка $t^{1/3}$ а пространственная корреляция флуктуации имеет порядок $t^{2/3}$. Это мотивирует так называемый масштаб 1:2:3 , который является характерным масштабом для фиксированной точки КПЗ. Фиксированная точка EW также имеет масштаб 1:2:4 . Фиксированные точки инвариантны относительно соответствующего масштабирования.

масштабирование 1:2:3

1 :2:3 предназначен для Масштаб функции высоты $\varepsilon >0$

$\varepsilon ^{1/2}h(\varepsilon ^{-3/2}t,\varepsilon ^{-1}x)-C_{\varepsilon }t,$

где 1:3 и 2:3 означают пропорции показателей и $C_{\varepsilon }$ это просто константа.

Сильная гипотеза

Сильная гипотеза гласит, что все модели в классе универсальности КПЗ сходятся при 1:2:3, масштабировании функции высоты если их начальные условия также сходятся, т.е.

$\lim \limits _{\varepsilon \to 0}\varepsilon ^{1/2}(h(c_{1}\varepsilon ^{-3/2}t,c_{2}\varepsilon ^{-1}x)-c_{3}\varepsilon ^{-3/2}t)\;{\stackrel {(d)}{=}}\;{\mathfrak {h}}(t,x)$

с начальным состоянием

${\mathfrak {h}}(0,x):=\lim \limits _{\varepsilon \to 0}\varepsilon ^{1/2}h(0,c_{2}\varepsilon ^{-1}x),$

где $c_{1},c_{2},c_{3}$ являются константами в зависимости от модели.

Слабая гипотеза

Если мы удалим член роста из уравнения КПЗ, мы получим

$\partial _{t}h(t,x)=\nu \partial _{x}^{2}h+\sigma \xi ,$

который сходится в масштабе 1:2:4

$\lim \limits _{\varepsilon \to 0}\varepsilon ^{1/2}(h(c_{1}\varepsilon ^{-2}t,c_{2}\varepsilon ^{-1}x)-c_{3}\varepsilon ^{-3/2}t)\;{\stackrel {(d)}{=}}\;{\mathfrak {h}}(t,x)$

к фиксированной точке РЭБ. Слабая гипотеза теперь гласит, что уравнение КПЗ является единственной гетероклинической орбитой между неподвижной точкой КПЗ и EW.

Воздушный процесс

Основная статья: Процесс Эйри

Если зафиксировать измерение времени и посмотреть на предел

$\lim \limits _{t\to \infty }t^{-1/3}(h(c_{1}t,c_{2}t^{2/3}x)-c_{3}t){\stackrel {(d)}{=}}\;{\mathcal {A}}(x),$

тогда получается процесс Эйри $({\mathcal {A}}(x))_{x\in \mathbb {R} }$ что также имеет место в теории случайных матриц .