Фитильный продукт

В теории вероятностей произведение Вика представляет собой особый способ определения скорректированного произведения набора случайных величин . В продукте низшего порядка корректировка соответствует вычитанию среднего значения, чтобы получить результат, среднее значение которого равно нулю. Для продуктов более высокого порядка корректировка включает вычитание продуктов более низкого порядка (обычных) случайных величин симметричным образом, снова оставляя результат, среднее значение которого равно нулю. Произведение Вика представляет собой полиномиальную функцию случайных величин, их ожидаемых значений и ожидаемых значений их произведений.

Определение произведения Вика немедленно приводит к виковской степени одной случайной величины, что позволяет определить аналоги других функций случайных величин на основе замены обычных степеней в разложении в степенной ряд степенями Вика. Степени Вика часто встречающихся случайных величин можно выразить через специальные функции, такие как полиномы Бернулли или полиномы Эрмита .

Продукт Вика назван в честь физика Джан-Карло Вика , ср. Теорема Вика .

Определение

Предположим, что , _X1 ..., Xk _с — случайные величины конечными моментами . Фитильный продукт

$\langle X_{1},\dots ,X_{k}\rangle \,$

это своего рода продукт , определенный рекурсивно следующим образом:

$\langle \rangle =1\,$

(т.е. пустой продукт — продукт вообще без случайных величин — равен 1). При k ≥ 1 налагаем требование

${\partial \langle X_{1},\dots ,X_{k}\rangle \over \partial X_{i}}=\langle X_{1},\dots ,X_{i-1},{\widehat {X}}_{i},X_{i+1},\dots ,X_{k}\rangle ,$

где ${\widehat {X}}_{i}$ означает, что X _i отсутствует вместе с ограничением, что среднее значение равно нулю,

$\operatorname {E} \langle X_{1},\dots ,X_{k}\rangle =0.\,$

Эквивалентно, произведение Вика можно определить, написав моном $X_{1}\dots X_{k}$ как «полином Вика»:

$X_{1}\dots X_{k}=\sum _{S\subseteq \left\{1,\dots ,k\right\}}\operatorname {E} \left(\textstyle \prod _{i\notin S}X_{i}\right)\cdot \langle X_{i}:i\in S\rangle \,$,

где $\langle X_{i}:i\in S\rangle$ обозначает произведение Вика $\langle X_{i_{1}},\dots ,X_{i_{m}}\rangle$ если $S=\left\{i_{1},\dots ,i_{m}\right\}$. Легко видеть, что это удовлетворяет индуктивному определению.

Примеры

Отсюда следует, что

$\langle X\rangle =X-\operatorname {E} X,\,$

$\langle X,Y\rangle =XY-\operatorname {E} Y\cdot X-\operatorname {E} X\cdot Y+2(\operatorname {E} X)(\operatorname {E} Y)-\operatorname {E} (XY),\,$

${\begin{aligned}\langle X,Y,Z\rangle =&XYZ\\&-\operatorname {E} Y\cdot XZ\\&-\operatorname {E} Z\cdot XY\\&-\operatorname {E} X\cdot YZ\\&+2(\operatorname {E} Y)(\operatorname {E} Z)\cdot X\\&+2(\operatorname {E} X)(\operatorname {E} Z)\cdot Y\\&+2(\operatorname {E} X)(\operatorname {E} Y)\cdot Z\\&-\operatorname {E} (XZ)\cdot Y\\&-\operatorname {E} (XY)\cdot Z\\&-\operatorname {E} (YZ)\cdot X\\&-\operatorname {E} (XYZ)\\&+2\operatorname {E} (XY)\operatorname {E} Z+2\operatorname {E} (XZ)\operatorname {E} Y+2\operatorname {E} (YZ)\operatorname {E} X\\&-6(\operatorname {E} X)(\operatorname {E} Y)(\operatorname {E} Z).\end{aligned}}$

Еще одно соглашение об обозначениях

В общепринятых среди физиков обозначениях произведение Вика часто обозначают так:

$:X_{1},\dots ,X_{k}:\,$

и обозначение в угловых скобках

$\langle X\rangle \,$

используется для обозначения ожидаемого значения величины X. случайной

Фитиль силы

степень n- я Вика случайной величины X является произведением Вика

$X'^{n}=\langle X,\dots ,X\rangle \,$

с n факторами.

Последовательность полиномов P _n таких, что

$P_{n}(X)=\langle X,\dots ,X\rangle =X'^{n}\,$

образуют последовательность Апелля , т. е. удовлетворяют тождеству

$P_{n}'(x)=nP_{n-1}(x),\,$

для n = 0, 1, 2, ... и P ₀ ( x ) — ненулевая константа.

Например, можно показать, что если X на равномерно распределено интервале [0, 1], то

$X'^{n}=B_{n}(X)\,$

где B _n — n -й степени полином Бернулли . Аналогично, если X с нормально распределяется дисперсией 1, то

$X'^{n}=H_{n}(X)\,$

где H _n — n - й полином Эрмита .

Биномиальная теорема

$(aX+bY)^{'n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{i}b^{n-i}X^{'i}Y^{'{n-i}}$

Экспонента Вика

$\langle \operatorname {exp} (aX)\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {a^{i}}{i!}}X^{'i}$

Ссылки

• Продукт Вика Математическая энциклопедия Springer
• Флорин Аврам и Мурад Такку , (1987) «Нецентральные предельные теоремы и полиномы Аппеля», Анналы вероятностей , том 15, номер 2, страницы 767–775, 1987.
• Хида Т. и Икеда Н. (1967) «Анализ гильбертова пространства с воспроизводящим ядром, возникающим из множественного интеграла Винера». Учеб. Пятый симпозиум Беркли. Математика. Статист. и вероятность (Беркли, Калифорния, 1965/66). Том. II: Вклад в теорию вероятностей, часть 1 , стр. 117–143 Univ. Калифорния Пресс
• Вик, Г.К. (1950) «Оценка матрицы столкновений». Физический Rev. 80 (2), 268–272.