Сферические мультипольные моменты

В физике сферические мультипольные моменты — это коэффициенты разложения потенциала в ряд , который меняется обратно пропорционально расстоянию $R$ до источника, т. е . как ⁠ ${\tfrac {1}{R}}.$ ⁠ Примерами таких потенциалов являются электрический потенциал , магнитный потенциал и гравитационный потенциал .

Для ясности мы проиллюстрируем разложение для точечного заряда , а затем обобщим его на случай произвольной плотности заряда. $\rho (\mathbf {r} ').$ В этой статье штрихованные координаты, такие как $\mathbf {r} '$ относятся к положению заряда(ов), тогда как координаты без штриха, такие как $\mathbf {r}$ относятся к точке, в которой наблюдается потенциал. Мы также повсюду используем сферические координаты , например вектор $\mathbf {r} '$ имеет координаты $(r',\theta ',\phi ')$ где $r'$ это радиус, $\theta '$ это совместность и $\phi '$ - азимутальный угол.

Сферические мультипольные моменты точечного заряда

Электрический потенциал, обусловленный точечным зарядом, расположенным $\mathbf {r'}$ дается $\Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {1}{R}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r^{\prime 2}-2r'r\cos \gamma }}}.$ где $R\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|$ – расстояние между положением заряда и точкой наблюдения, $\gamma$ угол между векторами $\mathbf {r}$ и $\mathbf {r'}$ . Если радиус $r$ точки наблюдения больше радиуса $r'$ заряда, мы можем вынести 1/ r и разложить квадратный корень по степеням $(r'/r)<1$ с использованием полиномов Лежандра $\Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {r'}{r}}\right)^{\ell }P_{\ell }(\cos \gamma )$ Это в точности аналогично аксиальному мультипольному расширению .

Мы можем выразить $\cos \gamma$ по координатам точки наблюдения и положения заряда с использованием сферического закона косинусов (рис. 2) $\cos \gamma =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\phi -\phi ')$

Подставив это уравнение на $\cos \gamma$ на полиномы Лежандра и факторизация координат со штрихом и без штриха дает важную формулу, известную как теорема сложения сферических гармоник. $P_{\ell }(\cos \gamma )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')$ где $Y_{\ell m}$ функции являются сферическими гармониками . Подстановка этой формулы в потенциальную доходность $\Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {r'}{r}}\right)^{\ell }\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')$

который можно записать как $\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {Q_{\ell m}}{r^{\ell +1}}}\right){\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )$ где определены мультипольные моменты $Q_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ q\left(r'\right)^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ').$

Как и в случае с осевыми мультипольными моментами , мы можем также рассмотреть случай, когда радиус $r$ точки наблюдения меньше радиуса $r'$ заряда. В этом случае мы можем написать $\Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon r'}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {r}{r'}}\right)^{\ell }\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')$ который можно записать как $\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }I_{\ell m}r^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )$ где внутренние сферические мультипольные моменты определяются как комплексно-сопряженные нерегулярные твердые гармоники $I_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {q}{\left(r'\right)^{\ell +1}}}{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')$

Оба случая можно объединить в одно выражение, если $r_{<}$ и $r_{>}$ определяются как меньший и больший из двух радиусов соответственно. $r$ и $r'$ ; тогда потенциал точечного заряда принимает форму, которую иногда называют расширением Лапласа $\Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r_{<}^{\ell }}{r_{>}^{\ell +1}}}\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')$

Внешние сферические мультипольные моменты

Эти формулы несложно обобщить, заменив точечный заряд $q$ с бесконечно малым элементом заряда $\rho (\mathbf {r} ')d\mathbf {r} '$ и интегрируя. Функциональная форма расширения та же. Во внешнем случае, когда $r>r'$ , результат: $\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {Q_{\ell m}}{r^{\ell +1}}}\right){\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )\,,$ где общие мультипольные моменты определены $Q_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} '\rho (\mathbf {r} ')\left(r'\right)^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ').$

Примечание

Потенциал Φ( r ) действителен, так что комплексно-сопряженное разложение одинаково справедливо. Взятие комплексно-сопряженного числа приводит к определению мультипольного момента, который пропорционален Y _ℓm , а не своему комплексно-сопряженному элементу. Это общепринятое соглашение, Молекулярные мультиполи подробнее см. .

Внутренние сферические мультипольные моменты

Аналогично, внутреннее разложение мультиполя имеет ту же функциональную форму. Во внутреннем случае, где $r'>r$ , результат: $\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }I_{\ell m}r^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi ),$ с внутренними мультипольными моментами, определяемыми как $I_{\ell m}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} '{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{\left(r'\right)^{\ell +1}}}{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ').$

Энергии взаимодействия сферических мультиполей

Можно вывести простую формулу для энергии взаимодействия двух непересекающихся, но концентрических распределений зарядов. Пусть первое распределение заряда $\rho _{1}(\mathbf {r} ')$ быть сосредоточено в начале координат и полностью лежать внутри второго распределения заряда $\rho _{2}(\mathbf {r} ')$ . Энергия взаимодействия между любыми двумя распределениями статического заряда определяется выражением $U\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} \rho _{2}(\mathbf {r} )\Phi _{1}(\mathbf {r} ).$

Потенциал $\Phi _{1}(\mathbf {r} )$ первого (центрального) распределения заряда можно разложить по внешним мультиполям $\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }Q_{1\ell m}\left({\frac {1}{r^{\ell +1}}}\right){\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )$ где $Q_{1\ell m}$ представляет собой $\ell m$ внешний мультипольный момент первого распределения заряда. Подстановка этого разложения дает формулу $U={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }Q_{1\ell m}\int d\mathbf {r} \ \rho _{2}(\mathbf {r} )\left({\frac {1}{r^{\ell +1}}}\right){\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )$

Поскольку интеграл равен комплексно-сопряженному внутреннему мультипольному моменту $I_{2\ell m}$ второго (периферийного) распределения заряда формула энергии сводится к простому виду $U={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }Q_{1\ell m}I_{2\ell m}^{*}$

Например, эту формулу можно использовать для определения энергий электростатического взаимодействия атомного ядра с окружающими его электронными орбиталями. И наоборот, зная энергии взаимодействия и внутренние мультипольные моменты электронных орбиталей, можно найти внешние мультипольные моменты (и, следовательно, форму) атомного ядра.

Особый случай осевой симметрии

Разложение сферического мультиполя принимает простую форму, если распределение заряда аксиально-симметрично (т. е. не зависит от азимутального угла $\phi '$ ). Осуществив $\phi '$ интеграции, которые определяют $Q_{\ell m}$ и $I_{\ell m}$ , можно показать, что все мультипольные моменты равны нулю, за исключением случаев, когда $m=0$ . Используя математическое тождество $P_{\ell }(\cos \theta )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell 0}(\theta ,\phi )$ внешнее мультипольное разложение становится $\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {Q_{\ell }}{r^{\ell +1}}}\right)P_{\ell }(\cos \theta )$ где определены аксиально-симметричные мультипольные моменты $Q_{\ell }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} '\rho (\mathbf {r} ')\left(r'\right)^{\ell }P_{\ell }(\cos \theta ')$ В том пределе, в котором заряд ограничивается $z$ -ось, мы восстанавливаем внешние осевые мультипольные моменты .

Аналогичным образом внутреннее мультипольное разложение становится $\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{\ell =0}^{\infty }I_{\ell }r^{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )$ где определены осесимметричные внутренние мультипольные моменты $I_{\ell }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int d\mathbf {r} '{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{\left(r'\right)^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \theta ')$ В том пределе, в котором заряд ограничивается $z$ -ось, мы восстанавливаем внутренние осевые мультипольные моменты .

См. также