Осевые мультипольные моменты

Осевые мультипольные моменты представляют собой разложение в ряд электрического потенциала распределения заряда, локализованного вблизи начала координат , вдоль одной декартовой оси , обозначенной здесь как ось z . Однако аксиальное мультипольное разложение можно также применить к любому потенциалу или полю, которое меняется обратно пропорционально расстоянию до источника, т. е. как ${\frac {1}{R}}$. Для ясности мы сначала проиллюстрируем разложение для одного точечного заряда, а затем обобщим его на случай произвольной плотности заряда. $\lambda (z)$ локализовано по оси z .

Рисунок 1: Точечный заряд по оси z; Определения осевого мультипольного расширения

Осевые мультипольные моменты точечного заряда

Электрический потенциал точечного заряда q, расположенного на оси z в точке $z=a$ (рис. 1) равен $$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {1}{R}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {1}{\sqrt {r^{2}+a^{2}-2ar\cos \theta }}}.$$

Если радиус r точки наблюдения больше a , мы можем исключить ${\textstyle {\frac {1}{r}}}$ и разложим квадратный корень по степеням $(a/r)<1$ с использованием полиномов Лежандра $$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta )\equiv {\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{k=0}^{\infty }M_{k}\left({\frac {1}{r^{k+1}}}\right)P_{k}(\cos \theta )$$где осевые мультипольные моменты $M_{k}\equiv qa^{k}$ содержать все, что характерно для данного распределения заряда; остальные части электрического потенциала координат точки наблюдения Р. зависят только от Особые случаи включают осевой монопольный момент. $M_{0}=q$, аксиальный дипольный момент $M_{1}=qa$ и осевой квадрупольный момент $M_{2}\equiv qa^{2}$. Это иллюстрирует общую теорему о том, что наименьший ненулевой мультипольный момент не зависит от начала системы координат , а более высокие мультипольные моменты - нет (в общем).

, если радиус r меньше И наоборот a , мы можем исключить ${\frac {1}{a}}$ и расширить полномочия $(r/a)<1$, снова используя полиномы Лежандра $$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon a}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {r}{a}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta )\equiv {\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{k=0}^{\infty }I_{k}r^{k}P_{k}(\cos \theta )$$где внутренние осевые мультипольные моменты ${\textstyle I_{k}\equiv {\frac {q}{a^{k+1}}}}$ содержать все, что характерно для данного распределения заряда; координат точки наблюдения P. остальные части зависят только от

Общие осевые мультипольные моменты

Чтобы получить общие осевые мультипольные моменты, мы заменяем точечный заряд из предыдущего раздела бесконечно малым элементом заряда. $\lambda (\zeta )\ d\zeta$, где $\lambda (\zeta )$ представляет плотность заряда в положении $z=\zeta$ по оси z . Если радиус r точки наблюдения P больше наибольшего $\left|\zeta \right|$ для чего $\lambda (\zeta )$ является значимым (обозначается $\zeta _{\text{max}}$), электрический потенциал можно записать $$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{k=0}^{\infty }M_{k}\left({\frac {1}{r^{k+1}}}\right)P_{k}(\cos \theta )$$где осевые мультипольные моменты $M_{k}$ определены $$M_{k}\equiv \int d\zeta \ \lambda (\zeta )\zeta ^{k}$$

Особые случаи включают осевой монопольный момент (= общий заряд ). $$M_{0}\equiv \int d\zeta \ \lambda (\zeta ),$$осевой дипольный момент ${\textstyle M_{1}\equiv \int d\zeta \ \lambda (\zeta )\ \zeta }$, а осевой квадрупольный момент ${\textstyle M_{2}\equiv \int d\zeta \ \lambda (\zeta )\ \zeta ^{2}}$. Каждый последующий член разложения изменяется обратно пропорционально с большей степенью $r$, например, потенциал монополя изменяется как ${\textstyle {\frac {1}{r}}}$, дипольный потенциал изменяется как ${\textstyle {\frac {1}{r^{2}}}}$, квадрупольный потенциал изменяется как ${\textstyle {\frac {1}{r^{3}}}}$и т. д. Таким образом, на больших расстояниях ( ${\textstyle {\frac {\zeta _{\text{max}}}{r}}\ll 1}$), потенциал хорошо аппроксимируется главным ненулевым мультипольным членом.

Наименьший ненулевой осевой мультипольный момент инвариантен при сдвиге b в начале координат , но более высокие моменты обычно зависят от выбора начала координат. Сдвинутые мультипольные моменты $M'_{k}$ было бы $$M_{k}^{\prime }\equiv \int d\zeta \ \lambda (\zeta )\ \left(\zeta +b\right)^{k}$$

Разлагая полином под интегралом $$\left(\zeta +b\right)^{l}=\zeta ^{l}+lb\zeta ^{l-1}+\dots +l\zeta b^{l-1}+b^{l}$$приводит к уравнению $$M_{k}^{\prime }=M_{k}+lbM_{k-1}+\dots +lb^{l-1}M_{1}+b^{l}M_{0}$$Если нижние моменты $M_{k-1},M_{k-2},\ldots ,M_{1},M_{0}$ равны нулю, то $M_{k}^{\prime }=M_{k}$. То же уравнение показывает, что мультипольные моменты, превышающие первый ненулевой момент, действительно зависят от выбора начала координат (в общем).

Внутренние осевые мультипольные моменты

И наоборот, если радиус r меньше наименьшего $\left|\zeta \right|$ для чего $\lambda (\zeta )$ является значимым (обозначается $\zeta _{\text{min}}$), электрический потенциал можно записать $$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{k=0}^{\infty }I_{k}r^{k}P_{k}(\cos \theta )$$где внутренние осевые мультипольные моменты $I_{k}$ определены $$I_{k}\equiv \int d\zeta \ {\frac {\lambda (\zeta )}{\zeta ^{k+1}}}$$

Особые случаи включают внутренний осевой монопольный момент ( $\neq$ общая стоимость) $$M_{0}\equiv \int d\zeta \ {\frac {\lambda (\zeta )}{\zeta }},$$внутренний осевой дипольный момент ${\textstyle M_{1}\equiv \int d\zeta \ {\frac {\lambda (\zeta )}{\zeta ^{2}}}}$и т. д. Каждый последующий член разложения изменяется в большей степени $r$, например, потенциал внутреннего монополя изменяется как $r$, дипольный потенциал изменяется как $r^{2}$и т. д. На коротких дистанциях ( ${\textstyle {\frac {r}{\zeta _{\text{min}}}}\ll 1}$), потенциал хорошо аппроксимируется главным ненулевым членом внутреннего мультиполя.

См. также

• Потенциальная теория
• Многополюсное расширение
• Сферические мультипольные моменты
• Цилиндрические мультипольные моменты
• Сплошные гармоники
• Расширение Лапласа