Цилиндрические мультипольные моменты

Цилиндрические мультипольные моменты — это коэффициенты разложения потенциала в ряд , который изменяется логарифмически с расстоянием до источника, т. е. как $\ln \ R$ . Такие потенциалы возникают в электрическом потенциале длинных линейных зарядов и в аналогичных источниках магнитного потенциала и гравитационного потенциала .

Для ясности мы проиллюстрируем разложение для одного линейного заряда, а затем обобщим его на произвольное распределение линейных зарядов. В этой статье заштрихованные координаты, такие как как $(\rho ^{\prime },\theta ^{\prime })$ относятся к положению линейного заряда(ов), тогда как координаты без штриха, такие как $(\rho ,\theta )$ относятся к точке, в которой наблюдается потенциал. Мы везде используем цилиндрические координаты , например, произвольный вектор $\mathbf {r}$ имеет координаты $(\rho ,\theta ,z)$ где $\rho$ это радиус от $z$ ось, $\theta$ - азимутальный угол и $z$ — нормальная декартова координата . По предположению, линейные заряды имеют бесконечную длину и ориентированы по направлению $z$ ось.

Цилиндрические мультипольные моменты линейного заряда

Рисунок 1: Определения цилиндрических мультиполей; глядя вниз $z'$ ось

Электрический потенциал линейного заряда $\lambda$ расположен по адресу $(\rho ',\theta ')$ дается $\Phi (\rho ,\theta )={\frac {-\lambda }{2\pi \epsilon }}\ln R={\frac {-\lambda }{4\pi \epsilon }}\ln \left|\rho ^{2}+\left(\rho '\right)^{2}-2\rho \rho '\cos(\theta -\theta ')\right|$ где $R$ – кратчайшее расстояние между линейным зарядом и точкой наблюдения.

По симметрии электрический потенциал бесконечного линейного заряда не имеет $z$ -зависимость. Плата за линию $\lambda$ - это плата за единицу длины в $z$ -направление и имеет единицы измерения (заряд/длина). Если радиус $\rho$ точки наблюдения больше радиуса $\rho '$ от стоимости линии мы можем вычесть $\rho ^{2}$ $\Phi (\rho ,\theta )={\frac {-\lambda }{4\pi \epsilon }}\left\{2\ln \rho +\ln \left(1-{\frac {\rho ^{\prime }}{\rho }}e^{i\left(\theta -\theta ^{\prime }\right)}\right)\left(1-{\frac {\rho ^{\prime }}{\rho }}e^{-i\left(\theta -\theta ^{\prime }\right)}\right)\right\}$ и разложим логарифмы по степеням $(\rho '/\rho )<1$ $\Phi (\rho ,\theta )={\frac {-\lambda }{2\pi \epsilon }}\left\{\ln \rho -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left({\frac {\rho '}{\rho }}\right)^{k}\left[\cos k\theta \cos k\theta '+\sin k\theta \sin k\theta '\right]\right\}$ который можно записать как $\Phi (\rho ,\theta )={\frac {-Q}{2\pi \epsilon }}\ln \rho +{\frac {1}{2\pi \epsilon }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {C_{k}\cos k\theta +S_{k}\sin k\theta }{\rho ^{k}}}$ где мультипольные моменты определяются как ${\begin{aligned}Q&=\lambda ,\\C_{k}&={\frac {\lambda }{k}}\left(\rho '\right)^{k}\cos k\theta ',\\S_{k}&={\frac {\lambda }{k}}\left(\rho '\right)^{k}\sin k\theta '.\end{aligned}}$

И наоборот, если радиус $\rho$ точки наблюдения меньше радиуса $\rho '$ от стоимости линии мы можем вычесть $\left(\rho '\right)^{2}$ и разложим логарифмы по степеням $(\rho /\rho ')<1$ $\Phi (\rho ,\theta )={\frac {-\lambda }{2\pi \epsilon }}\left\{\ln \rho '-\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}\right)\left({\frac {\rho }{\rho '}}\right)^{k}\left[\cos k\theta \cos k\theta '+\sin k\theta \sin k\theta '\right]\right\}$ который можно записать как $\Phi (\rho ,\theta )={\frac {-Q}{2\pi \epsilon }}\ln \rho '+{\frac {1}{2\pi \epsilon }}\sum _{k=1}^{\infty }\rho ^{k}\left[I_{k}\cos k\theta +J_{k}\sin k\theta \right]$ где внутренние мультипольные моменты определяются как ${\begin{aligned}Q&=\lambda ,\\I_{k}&={\frac {\lambda }{k}}{\frac {\cos k\theta '}{\left(\rho '\right)^{k}}},\\J_{k}&={\frac {\lambda }{k}}{\frac {\sin k\theta '}{\left(\rho '\right)^{k}}}.\end{aligned}}$

Общие цилиндрические мультипольные моменты

Обобщение на произвольное распределение линейных зарядов $\lambda (\rho ',\theta ')$ это просто. Функциональная форма та же. $\Phi (\mathbf {r} )={\frac {-Q}{2\pi \epsilon }}\ln \rho +{\frac {1}{2\pi \epsilon }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {C_{k}\cos k\theta +S_{k}\sin k\theta }{\rho ^{k}}}$ и моменты можно записать ${\begin{aligned}Q&=\int d\theta '\,d\rho '\,\rho '\lambda (\rho ',\theta ')\\C_{k}&={\frac {1}{k}}\int d\theta '\,d\rho '\left(\rho '\right)^{k+1}\lambda (\rho ',\theta ')\cos k\theta '\\S_{k}&={\frac {1}{k}}\int d\theta '\,d\rho '\left(\rho '\right)^{k+1}\lambda (\rho ',\theta ')\sin k\theta '\end{aligned}}$ Обратите внимание, что $\lambda (\rho ',\theta ')$ представляет собой линейную плату за единицу площади в $(\rho -\theta )$ самолет.

Внутренние цилиндрические мультипольные моменты

Аналогично, внутреннее цилиндрическое мультипольное разложение имеет функциональную форму $\Phi (\rho ,\theta )={\frac {-Q}{2\pi \epsilon }}\ln \rho '+{\frac {1}{2\pi \epsilon }}\sum _{k=1}^{\infty }\rho ^{k}\left[I_{k}\cos k\theta +J_{k}\sin k\theta \right]$ где моменты определены ${\begin{aligned}Q&=\int d\theta '\,d\rho '\,\rho '\lambda (\rho ',\theta ')\\I_{k}&={\frac {1}{k}}\int d\theta '\,d\rho '{\frac {\cos k\theta '}{\left(\rho '\right)^{k-1}}}\lambda (\rho ',\theta ')\\J_{k}&={\frac {1}{k}}\int d\theta '\,d\rho '{\frac {\sin k\theta '}{\left(\rho '\right)^{k-1}}}\lambda (\rho ',\theta ')\end{aligned}}$

Энергии взаимодействия цилиндрических мультиполей

Можно вывести простую формулу для энергии взаимодействия цилиндрических мультиполей (плотность заряда 1) со второй плотностью заряда. Позволять $f(\mathbf {r} ^{\prime })$ быть второй плотностью заряда и определить $\lambda (\rho ,\theta )$ как его интеграл по z $\lambda (\rho ,\theta )=\int dz\,f(\rho ,\theta ,z)$

Электростатическая энергия определяется как интеграл заряда, умноженный на потенциал цилиндрических мультиполей. $U=\int d\theta \,d\rho \,\rho \,\lambda (\rho ,\theta )\Phi (\rho ,\theta )$

Если цилиндрические мультиполи являются внешними , это уравнение принимает вид $U={\frac {-Q_{1}}{2\pi \epsilon }}\int d\rho \,\rho \,\lambda (\rho ,\theta )\ln \rho +{\frac {1}{2\pi \epsilon }}\sum _{k=1}^{\infty }\int d\theta \,d\rho \left[C_{1k}{\frac {\cos k\theta }{\rho ^{k-1}}}+S_{1k}{\frac {\sin k\theta }{\rho ^{k-1}}}\right]\lambda (\rho ,\theta )$ где $Q_{1}$ , $C_{1k}$ и $S_{1k}$ – цилиндрические мультипольные моменты распределения заряда 1. Эту энергетическую формулу можно свести к удивительно простому виду $U={\frac {-Q_{1}}{2\pi \epsilon }}\int d\rho \,\rho \,\lambda (\rho ,\theta )\ln \rho +{\frac {1}{2\pi \epsilon }}\sum _{k=1}^{\infty }k\left(C_{1k}I_{2k}+S_{1k}J_{2k}\right)$ где $I_{2k}$ и $J_{2k}$ – внутренние цилиндрические мультиполи второй плотности заряда.

Аналогичная формула справедлива, если плотность заряда 1 состоит из внутренних цилиндрических мультиполей $U={\frac {-Q_{1}\ln \rho '}{2\pi \epsilon }}\int d\rho \,\rho \,\lambda (\rho ,\theta )+{\frac {1}{2\pi \epsilon }}\sum _{k=1}^{\infty }k\left(C_{2k}I_{1k}+S_{2k}J_{1k}\right)$ где $I_{1k}$ и $J_{1k}$ — внутренние цилиндрические мультипольные моменты распределения заряда 1, а $C_{2k}$ и $S_{2k}$ – внешние цилиндрические мультиполи второй плотности заряда.

Например, эти формулы можно использовать для определения энергии взаимодействия небольшого белка в электростатическом поле двухцепочечной молекулы ДНК ; последний относительно прямой и имеет постоянную линейную плотность заряда благодаря фосфатным группам его основной цепи.

См. также