Дальность полета снаряда

Путь этого снаряда, выпущенного с высоты y _0, имеет дальность d.

В физике снаряд , запущенный с определенными начальными условиями, будет иметь дальность полета . Это может быть более предсказуемо, если предположить, что Земля плоская, с однородным гравитационным полем и без сопротивления воздуха . Горизонтальные дальности полета снаряда равны для двух дополнительных углов полета с одинаковой скоростью.

Следующее применимо к диапазонам, малым по сравнению с размером Земли. Для более дальних расстояний см. суборбитальный космический полет . Максимальное горизонтальное расстояние, пройденное снарядом , без учета сопротивления воздуха, можно рассчитать следующим образом:

$d={\frac {v\cos \theta }{g}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}\right)$

где

• d — общее горизонтальное расстояние, пройденное снарядом.
• v - скорость, с которой запускается снаряд.
• g — ускорение свободного падения , обычно принимаемое равным 9,81 м/с. ² (32 кадра в секунду ² ) у поверхности Земли
• θ - угол, под которым запускается снаряд.
• y ₀ — начальная высота снаряда

Если y ₀ принять равным нулю, что означает, что объект запускается по ровной поверхности, дальность полета снаряда упростится до:

$d={\frac {v^{2}\sin 2\theta }{g}}$

Идеальное движение снаряда

Идеальное движение снаряда предполагает отсутствие сопротивления воздуха и изменения ускорения свободного падения . Это предположение значительно упрощает математику и является точным приближением к реальному движению снаряда в тех случаях, когда пройденные расстояния невелики. Идеальное движение снаряда также является хорошим введением в тему, прежде чем добавлять сложности, связанные с сопротивлением воздуха.

Выводы

Угол запуска в 45 градусов максимально смещает снаряд по горизонтали.Это связано с природой прямоугольных треугольников. Кроме того, из уравнения для диапазона:

$d={\frac {v^{2}\sin 2\theta }{g}}$

Мы видим, что диапазон будет максимальным, когда значение $\sin 2\theta$ является самым высоким (т.е. когда оно равно 1).Четко, $2\theta$ должен быть 90 градусов. То есть, $\theta$ составляет 45 градусов.

Ровная земля

Дальность полета снаряда (в космосе ).

Сначала мы рассмотрим случай, когда ( y ₀ ) равно нулю. Горизонтальное положение снаряда

$x(t)=vt\cos \theta$

В вертикальном направлении

$y(t)=vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}$

Нас интересует время, когда снаряд вернется на ту же высоту, на которой находился. Пусть t _g — любой момент времени, когда высота снаряда равна его начальному значению.

$0=vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}$

По факторингу:

$t=0$

или

$t={\frac {2v\sin \theta }{g}}$

но t = T = время полета

$T={\frac {2v\sin \theta }{g}}$

Первое решение соответствует моменту первого запуска снаряда. Второе решение полезно для определения дальности полета снаряда. Подстановка этого значения для ( t ) в горизонтальное уравнение дает

$x={\frac {2v^{2}\cos \theta \,\sin \theta }{g}}$

Применение тригонометрического тождества

$\sin(x+y)=\sin x\,\cos y\ +\ \sin y\,\cos x$

Если x и y одинаковы,

$\sin 2\theta =2\sin \theta \,\cos \theta$

позволяет упростить решение

$d={\frac {v^{2}\sin 2\theta }{g}}$

Обратите внимание, что когда ( θ ) равно 45 °, решение принимает вид

$d_{\max }={\frac {v^{2}}{g}}$

Неровная земля

Теперь мы позволим ( y ₀ ) быть ненулевым. Наши уравнения движения теперь имеют вид

$x(t)=vt\cos \theta$

и

$y(t)=y_{0}+vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}$

Еще раз мы находим ( t ) в случае, когда положение ( y ) снаряда равно нулю (поскольку именно так мы определили нашу начальную высоту с самого начала)

$0=y_{0}+vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}$

Снова применив квадратичную формулу, мы находим два решения для времени. После нескольких шагов алгебраических манипуляций

$t={\frac {v\sin \theta }{g}}\pm {\frac {\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}{g}}$

Квадратный корень должен быть положительным числом, и поскольку скорость и синус угла запуска также можно считать положительными, решение с большим временем будет получено, когда используется положительный знак плюс или минус. Таким образом, решение

$t={\frac {v\sin \theta }{g}}+{\frac {\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}{g}}$

Решение для диапазона еще раз

$d={\frac {v\cos \theta }{g}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}\right)$

Для увеличения дальности действия на любой высоте

$\theta =\arccos {\sqrt {\frac {2gy_{0}+v^{2}}{2gy_{0}+2v^{2}}}}$

Проверка лимита как $y_{0}$ приближается к 0

$\lim _{y_{0}\to 0}\arccos {\sqrt {\frac {2gy_{0}+v^{2}}{2gy_{0}+2v^{2}}}}={\frac {\pi }{4}}$

Угол удара

Угол ψ, под которым приземляется снаряд, определяется выражением:

$\tan \psi ={\frac {-v_{y}(t_{d})}{v_{x}(t_{d})}}={\frac {\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}{v\cos \theta }}$

Для максимального диапазона это приводит к следующему уравнению:

$\tan ^{2}\psi ={\frac {2gy_{0}+v^{2}}{v^{2}}}=C+1$

Переписав исходное решение для θ, получим:

$\tan ^{2}\theta ={\frac {1-\cos ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {v^{2}}{2gy_{0}+v^{2}}}={\frac {1}{C+1}}$

Умножение на уравнение для (tan ψ)^2 дает:

$\tan ^{2}\psi \,\tan ^{2}\theta ={\frac {2gy_{0}+v^{2}}{v^{2}}}{\frac {v^{2}}{2gy_{0}+v^{2}}}=1$

Ввиду тригонометрического тождества

$\tan(\theta +\psi )={\frac {\tan \theta +\tan \psi }{1-\tan \theta \tan \psi }}$,

это означает, что θ + ψ должен составлять 90 градусов.

Фактическое движение снаряда

Помимо сопротивления воздуха , которое замедляет снаряд и уменьшает его дальность, при рассмотрении фактического движения снаряда необходимо учитывать множество других факторов.

Характеристики снаряда

Вообще говоря, снаряд большего объема сталкивается с большим сопротивлением воздуха , что снижает дальность полета снаряда. (И см . «Траектория снаряда ».) Сопротивление воздуха можно изменить в зависимости от формы снаряда: высокий и широкий, но короткий снаряд столкнется с большим сопротивлением воздуха, чем низкий и узкий, но длинный снаряд того же объема. Необходимо также учитывать поверхность снаряда: гладкий снаряд будет испытывать меньшее сопротивление воздуха, чем снаряд с шероховатой поверхностью, а неровности на поверхности снаряда могут изменить его траекторию, если они создают большее сопротивление с одной стороны снаряда, чем с другой. другой. Однако некоторые неровности, такие как ямочки на мяче для гольфа, могут на самом деле увеличить его дальность за счет уменьшения турбулентности, возникающей позади снаряда во время его движения. Масса также становится важной, поскольку более массивный снаряд будет иметь больше кинетической энергии и, следовательно, на него меньше будет влиять сопротивление воздуха. Распределение массы внутри снаряда также может иметь важное значение, поскольку снаряд с неравномерным весом может нежелательно вращаться, вызывая неравномерность его траектории из-за эффекта Магнуса .

Если снаряду придать вращение вдоль осей полета, неровности формы и распределения веса снаряда, как правило, нивелируются. См . нарезы для более подробного объяснения.

Стволы огнестрельного оружия

орудия характер ствола Для снарядов, запускаемых из огнестрельного оружия и артиллерии, важен также . Более длинные стволы позволяют пороха передать снаряду большую часть энергии , что обеспечивает большую дальность стрельбы. Нарезка , хотя и не может увеличить среднюю ( среднюю арифметическую ) дальность многих выстрелов из одного и того же ружья, но повысит точность и точность ружья.

Очень большие диапазоны

Некоторые пушки или гаубицы созданы с очень большой дальностью стрельбы.

Во время Первой мировой войны немцы создали исключительно большую пушку « Парижская пушка» , которая могла стрелять снарядом на расстояние более 80 миль (130 км). Северная Корея разработала орудие, известное на Западе как «Коксан» , с дальностью действия реактивных снарядов 60 км. (И см. Траектория снаряда .)

Такие пушки отличаются от ракет или баллистических ракет , которые имеют собственные ракетные двигатели, которые продолжают ускорять ракету в течение некоторого времени после запуска.

См. также

• Траектория
• Движение снаряда
• Скорость убегания