Нелинейная сигма-модель
В квантовой теории поля нелинейная модель σ- описывает скалярное поле Σ которое принимает значения в нелинейном многообразии, называемом целевым многообразием T. , Нелинейная σ -модель была введена Гелл-Манном и Леви (1960 , раздел 6), которые назвали ее в честь поля, соответствующего бесспиновому мезону, называемому σ в их модели. [1] Эта статья посвящена в первую очередь квантованию нелинейной сигма-модели; пожалуйста, обратитесь к базовой статье о сигма-модели для получения общих определений, классических (неквантовых) формулировок и результатов.
Описание
[ редактировать ]Целевое многообразие T снабжено римановой метрикой g . Σ — дифференцируемое отображение пространства Минковского M (или некоторого другого пространства) в T .
Лагранжева плотность в современной киральной форме [2] дается
где мы использовали метрическую сигнатуру + - - - , а частная производная ∂Σ задается сечением струйного расслоения , T × M а V - потенциал.
В координатных обозначениях с координатами Σ а , a = 1, ..., n, где n — размерность T ,
В более чем двух измерениях нелинейные σ- модели содержат размерную константу связи и, следовательно, не поддаются пертурбативной перенормировке.Тем не менее, они обнаруживают нетривиальную ультрафиолетовую неподвижную точку ренормгруппы как в решеточной формулировке [3] [4] и в двойном расширении, первоначально предложенном Кеннетом Г. Уилсоном . [5]
Видно , что в обоих подходах нетривиальная неподвижная точка ренормгруппы, найденная для O(n) -симметричной модели, просто описывает, в размерностях больше двух, критическую точку, отделяющую упорядоченную фазу от неупорядоченной. Кроме того, улучшенные предсказания решеточной или квантовой теории поля затем можно сравнить с лабораторными экспериментами по критическим явлениям , поскольку модель O (n) описывает физические ферромагнетики Гейзенберга и родственные системы. Таким образом, приведенные выше результаты указывают на неспособность наивной теории возмущений правильно описать физическое поведение O(n) -симметричной модели выше двух измерений и на необходимость более сложных непертурбативных методов, таких как решеточная формулировка.
Это означает, что они могут возникнуть только как эффективные теории поля . Новая физика необходима примерно на шкале расстояний, где двухточечная корреляционная функция имеет тот же порядок, что и кривизна целевого многообразия. Это называется УФ-завершением теории. Существует особый класс нелинейных σ-моделей с симметрии внутренней группой G *. Если G — группа Ли , а H — подгруппа Ли , то факторпространство G / H является многообразием (с учетом некоторых технических ограничений, например, что H является замкнутым подмножеством), а также является однородным пространством группы G или, другими словами, нелинейная G . реализация Во многих случаях G / H можно снабдить римановой метрикой , которая является G -инвариантной. всегда так, например, если G компактна Это . Нелинейная σ-модель с G/H в качестве целевого многообразия с G -инвариантной римановой метрикой и нулевым потенциалом называется фактор-пространством (или смежным пространством) нелинейной σ- модели.
При вычислении интегралов по путям меру необходимо «взвесить» квадратным корнем определителя g функциональную ,
Перенормировка
[ редактировать ]Эта модель оказалась актуальной в теории струн, где двумерное многообразие называется мировым листом . Оценка его обобщенной перенормируемости была дана Дэниелом Фриданом . [6] Он показал, что теория допускает уравнение ренормгруппы в главном порядке теории возмущений в виде
R ab — тензор Риччи целевого многообразия.
Это представляет собой поток Риччи , подчиняющийся уравнениям поля Эйнштейна для целевого многообразия как фиксированной точки. Существование такой фиксированной точки актуально, поскольку при этом порядке теории возмущений она гарантирует, что конформная инвариантность не теряется из-за квантовых поправок, так что квантовая теория поля этой модели является разумной (перенормируемой).
Дальнейшее добавление нелинейных взаимодействий, представляющих аромат-хиральные аномалии, приводит к модели Весса-Зумино-Виттена : [7] который дополняет геометрию потока, включая кручение , сохраняя перенормируемость и приводя к фиксированной инфракрасной точке также из-за телепараллельности («геометростазис»). [8]
O(3) нелинейная сигма-модель
[ редактировать ]Знаменитым примером, представляющим особый интерес из-за своих топологических свойств, является -модель O(3) нелинейная σ в измерениях 1 + 1 с лагранжевой плотностью
где n̂ =( n 1 , n 2 , n 3 ) с ограничением n̂ ⋅ n̂ =1 и µ =1,2.
Эта модель допускает топологические решения с конечным действием, поскольку в бесконечном пространстве-времени лагранжева плотность должна исчезать, что означает n̂ = константа на бесконечности. Следовательно, в классе решений конечного действия можно идентифицировать точки на бесконечности как одну точку, т. е. пространство-время можно отождествить со сферой Римана .
Поскольку n̂ -поле существует и на сфере, отображение S 2 → С 2 очевидно, решения которого классифицируются второй гомотопической группой 2-сферы: эти решения называются O (3) инстантонами .
Эту модель также можно рассматривать в измерениях 1+2, где топология теперь формируется только из пространственных срезов. Они моделируются как R^2 с точкой на бесконечности и, следовательно, имеют ту же топологию, что и инстантоны O(3) в измерениях 1+1. Их называют комочками сигма-модели.
См. также
[ редактировать ]- Модель Сигмы
- Хиральная модель
- Маленький Хиггс
- Скирмион — солитон в нелинейных сигма-моделях.
- Polyakov action
- Модель гепатита С
- Метрика Фубини – Исследования , метрика, часто используемая с нелинейными сигма-моделями.
- Риччи поток
- Масштабная инвариантность
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Гелл-Манн, М.; Леви, М. (1960), «Аксиальный векторный ток при бета-распаде», Il Nuovo Cimento , 16 (4), Итальянское физическое общество: 705–726, Бибкод : 1960NCim...16..705G , doi : 10.1007/ БФ02859738 , ISSN 1827-6121 , S2CID 122945049
- ^ Гюрси, Ф. (1960). «О симметриях сильных и слабых взаимодействий». Иль Нуово Чименто . 16 (2): 230–240. Бибкод : 1960NCim...16..230G . дои : 10.1007/BF02860276 . S2CID 122270607 .
- ^ Зинн-Джастин, Жан (2002). Квантовая теория поля и критические явления . Издательство Оксфордского университета.
- ^ Карди, Джон Л. (1997). Скейлинг и ренормгруппа в статистической физике . Издательство Кембриджского университета.
- ^ Брезин, Эдуард; Зинн-Джастин, Жан (1976). «Перенормировка нелинейной сигма-модели в измерениях 2 + эпсилон». Письма о физических отзывах . 36 (13): 691–693. Бибкод : 1976PhRvL..36..691B . doi : 10.1103/PhysRevLett.36.691 .
- ^ Фридан, Д. (1980). «Нелинейные модели в измерениях 2+ε» . Письма о физических отзывах . 45 (13): 1057–1060. Бибкод : 1980PhRvL..45.1057F . дои : 10.1103/PhysRevLett.45.1057 .
- ^ Виттен, Э. (1984). «Неабелева бозонизация в двух измерениях» . Связь в математической физике . 92 (4): 455–472. Бибкод : 1984CMaPh..92..455W . дои : 10.1007/BF01215276 . S2CID 122018499 .
- ^ Бротен, Э.; Куртрайт, ТЛ; Захос, СК (1985). «Кручение и геометростаз в нелинейных сигма-моделях». Ядерная физика Б . 260 (3–4): 630. Бибкод : 1985NuPhB.260..630B . дои : 10.1016/0550-3213(85)90053-7 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Кетов, Сергей (2009). «Нелинейная сигма-модель» . Схоларпедия . 4 (1): 8508. Бибкод : 2009SchpJ...4.8508K . doi : 10.4249/scholarpedia.8508 .
- Кулшрешта, У.; Кулшрешта, Д.С. (2002). «Гамильтониан передней формы, интеграл по траектории и BRST-формулировки нелинейной сигма-модели». Международный журнал теоретической физики . 41 (10): 1941–1956. дои : 10.1023/А:1021009008129 . S2CID 115710780 .
