Модель Весса – Зумино – Виттена

Не путать с моделью Весса – Зумино .

В теоретической физике и математике модель Весса-Зумино-Виттена ( WZW ) Юлиуса , также называемая моделью Весса-Зумино-Новикова-Виттена , представляет собой тип двумерной конформной теории поля, названной в честь Весса , Бруно Зумино , Сергея Новикова и Эдвард Виттен . Модель WZW связана с группой Ли (или супергруппой ), а ее алгеброй симметрии является аффинная алгебра Ли, построенная на основе соответствующей алгебры Ли (или супералгебры Ли ). В более широком смысле, название модели WZW иногда используется для любой конформной теории поля, алгебра симметрии которой является аффинной алгеброй Ли.

Действие

Определение

Для $\Sigma$ поверхность риманова , $G$ группа Ли и $k$ (вообще комплексное) число, определим $G$-Модель WZW включена $\Sigma$ на уровне $k$. Модель представляет собой нелинейную сигма-модель которой , действие является функционалом поля. $\gamma :\Sigma \to G$:

$S_{k}(\gamma )=-{\frac {k}{8\pi }}\int _{\Sigma }d^{2}x\,{\mathcal {K}}\left(\gamma ^{-1}\partial ^{\mu }\gamma ,\gamma ^{-1}\partial _{\mu }\gamma \right)+2\pi kS^{\mathrm {W} Z}(\gamma ).$

Здесь, $\Sigma$ оснащен плоской евклидовой метрикой , $\partial _{\mu }$ является частной производной и ${\mathcal {K}}$ является формой Киллинга на алгебре Ли $G$. Весса – Зумино равен Член действия

$S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=-{\frac {1}{48\pi ^{2}}}\int _{\mathbf {B} ^{3}}d^{3}y\,\epsilon ^{ijk}{\mathcal {K}}\left(\gamma ^{-1}\partial _{i}\gamma ,\left[\gamma ^{-1}\partial _{j}\gamma ,\gamma ^{-1}\partial _{k}\gamma \right]\right).$

Здесь $\epsilon ^{ijk}$ — полностью антисимметричный тензор , и $[.,.]$ это скобка Ли . Член Весса – Зумино представляет собой интеграл по трехмерному многообразию. $\mathbf {B} ^{3}$ чья граница $\partial \mathbf {B} ^{3}=\Sigma$.

Топологические свойства члена Весса – Зумино

Чтобы термин Весса–Зумино имел смысл, нам нужно поле $\gamma$ иметь расширение для $\mathbf {B} ^{3}$. Для этого требуется гомотопическая группа $\pi _{2}(G)$ быть тривиальной, что, в частности, имеет место для любой компактной группы Ли $G$.

Расширение данного $\gamma :\Sigma \to G$ к $\mathbf {B} ^{3}$ в целом не уникален. Чтобы модель WZW была четко определена, $e^{iS_{k}(\gamma )}$ не должно зависеть от выбора расширения. Член Весса–Зумино инвариантен при малых деформациях $\gamma$и зависит только от его гомотопического класса . Возможные гомотопические классы контролируются гомотопической группой $\pi _{3}(G)$.

Для любой компактной связной простой группы Ли $G$, у нас есть $\pi _{3}(G)=\mathbb {Z}$и различные расширения $\gamma$ привести к ценностям $S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )$ которые отличаются целыми числами. Следовательно, они приводят к одинаковому значению $e^{iS_{k}(\gamma )}$ при условии, что уровень соответствует

$k\in \mathbb {Z} .$

Целочисленные значения уровня также играют важную роль в теории представлений алгебры симметрии модели, которая является аффинной алгеброй Ли . Если уровень является положительным целым числом, аффинная алгебра Ли имеет унитарные представления со старшим весом , причем старшие веса являются доминирующим целым. Такие представления разлагаются на конечномерные подпредставления относительно подалгебр, натянутых на каждый простой корень , соответствующий отрицательный корень и их коммутатор, который является генератором Картана .

В случае некомпактной простой группы Ли $\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$,гомотопическая группа $\pi _{3}(\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} ))$ тривиально, и уровень не ограничен целым числом.

Геометрическая интерпретация термина Весса – Зумино

Если e _a — базисные векторы алгебры Ли , то ${\mathcal {K}}(e_{a},[e_{b},e_{c}])$ являются структурными константами алгебры Ли. Структурные константы полностью антисимметричны и, таким образом, определяют -форму на групповом многообразии G 3 . Таким образом, приведенная выше подынтегральная функция — это просто возврат гармонической 3-формы к шару. $\mathbf {B} ^{3}.$ Обозначая гармоническую 3-форму через c , а обратный образ через $\gamma ^{*},$ тогда у человека есть

$S^{\mathrm {W} Z}(\gamma )=\int _{\mathbf {B} ^{3}}\gamma ^{*}c.$

Эта форма ведет непосредственно к топологическому анализу термина WZ.

Геометрически этот термин описывает кручение соответствующего многообразия. Наличие этого кручения приводит к телепараллельности многообразия и, таким образом, к тривиализации тензора крученой кривизны ; и, следовательно, остановка перенормировочного потока, инфракрасной фиксированной точки ренормгруппы называемое , явление, геометростазом .

Алгебра симметрии

Обобщенная групповая симметрия

Модель Весса–Зумино–Виттена не только симметрична относительно глобальных преобразований с помощью группового элемента в $G$, но также имеет гораздо более богатую симметрию. Эту симметрию часто называют $G(z)\times G({\bar {z}})$ симметрия. А именно, для любого голоморфного $G$-значная функция $\Omega (z)$и любые другие (полностью независимые от $\Omega (z)$) антиголоморфный $G$-значная функция ${\bar {\Omega }}({\bar {z}})$, где мы определили $z=x+iy$ и ${\bar {z}}=x-iy$ в терминах евклидовых пространственных координат $x,y$, имеет место следующая симметрия:

$S_{k}(\gamma )=S_{k}(\Omega \gamma {\bar {\Omega }}^{-1})$

Один из способов доказать существование этой симметрии — многократное применение тождества Полякова–Вигмана относительно произведений $G$-значные поля:

$S_{k}(\alpha \beta ^{-1})=S_{k}(\alpha )+S_{k}(\beta ^{-1})+{\frac {k}{16\pi ^{2}}}\int d^{2}x{\textrm {Tr}}(\alpha ^{-1}\partial _{\bar {z}}\alpha \beta ^{-1}\partial _{z}\beta )$

Голоморфные и антиголоморфные токи $J(z)=-{\frac {1}{2}}k(\partial _{z}\gamma )\gamma ^{-1}$ и ${\bar {J}}({\bar {z}})=-{\frac {1}{2}}k\gamma ^{-1}\partial _{\bar {z}}\gamma$ — сохраняющиеся токи, связанные с этой симметрией. Сингулярное поведение продуктов этих токов с другими квантовыми полями определяет, как эти поля трансформируются при бесконечно малых воздействиях $G(z)\times G({\bar {z}})$ группа.

Аффинная алгебра Ли

Позволять $z$ быть локальной комплексной координатой на $\Sigma$, $\{t^{a}\}$ ортонормированный базис (относительно формы Киллинга ) алгебры Ли $G$, и $J^{a}(z)$ квантование поля ${\mathcal {K}}(t^{a},\partial _{z}gg^{-1})$. У нас есть следующее расширение операторского продукта :

$J^{a}(z)J^{b}(w)={\frac {k\delta ^{ab}}{(z-w)^{2}}}+{\frac {if_{c}^{ab}J^{c}(w)}{z-w}}+{\mathcal {O}}(1),$

где $f_{c}^{ab}$ коэффициенты такие, что $[t^{a},t^{b}]=f_{c}^{ab}t^{c}$. Эквивалентно, если $J^{a}(z)$ расширен в режимах

$J^{a}(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}^{a}z^{-n-1},$

то текущая алгебра, порожденная $\{J_{n}^{a}\}$ — аффинная алгебра Ли, ассоциированная с алгеброй Ли $G$, с уровнем, совпадающим с уровнем $k$ модели гепатита С. Если ${\mathfrak {g}}=\mathrm {Lie} (G)$, обозначение аффинной алгебры Ли: ${\hat {\mathfrak {g}}}_{k}$.Коммутационные соотношения аффинной алгебры Ли имеют вид

$[J_{n}^{a},J_{m}^{b}]=f_{c}^{ab}J_{m+n}^{c}+kn\delta ^{ab}\delta _{n+m,0}.$

Эта аффинная алгебра Ли представляет собой алгебру киральной симметрии, связанную с левыми токами. ${\mathcal {K}}(t^{a},\partial _{z}gg^{-1})$. Вторая копия той же аффинной алгебры Ли связана с правыми токами ${\mathcal {K}}(t^{a},g^{-1}\partial _{\bar {z}}g)$. Генераторы ${\bar {J}}^{a}(z)$ этой второй копии антиголоморфны. Алгебра полной симметрии модели WZW является продуктом двух копий аффинной алгебры Ли.

Строительство Сугавары

Конструкция Сугавары представляет собой вложение алгебры Вирасоро в универсальную обертывающую алгебру аффинной алгебры Ли. Существование вложения показывает, что модели WZW являются конформными теориями поля. Более того, это приводит к уравнениям Книжника–Замолодчикова для корреляционных функций.

Конструкция Сугавары наиболее лаконично записана на уровне токов: $J^{a}(z)$ для аффинной алгебры Ли и тензор энергии-импульса $T(z)$ для алгебры Вирасоро:

$T(z)={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\sum _{a}:J^{a}J^{a}:(z),$

где $:$ обозначает нормальный порядок, а $h^{\vee }$ – двойственное число Кокстера . Используя ОПЭ токов и версию теоремы Вика, можно сделать вывод, что ОПЭ токов $T(z)$ с самим собой определяется

$T(y)T(z)={\frac {\frac {c}{2}}{(y-z)^{4}}}+{\frac {2T(z)}{(y-z)^{2}}}+{\frac {\partial T(z)}{y-z}}+{\mathcal {O}}(1),$

что эквивалентно коммутационным соотношениям алгебры Вирасоро. Центральный заряд алгебры Вирасоро задается через уровень $k$ аффинной алгебры Ли

$c={\frac {k\mathrm {dim} ({\mathfrak {g}})}{k+h^{\vee }}}.$

На уровне генераторов аффинной алгебры Ли конструкция Сугавары имеет вид

$L_{n\neq 0}={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\sum _{a}\sum _{m\in \mathbb {Z} }J_{n-m}^{a}J_{m}^{a},$

$L_{0}={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\left(2\sum _{a}\sum _{m=1}^{\infty }J_{-m}^{a}J_{m}^{a}+J_{a}^{0}J_{a}^{0}\right).$

где генераторы $L_{n}$ алгебры Вирасоро являются модами тензора энергии-импульса, $T(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }L_{n}z^{-n-2}$.

Спектр

Модели WZW с компактными односвязными группами

Если группа Ли $G$ компактна и односвязна, то модель WZW рациональна и диагональна: рациональна, потому что спектр построен из (зависящего от уровня) конечного набора неприводимых представлений аффинной алгебры Ли, называемых интегрируемыми представлениями со старшим весом , и диагональная, потому что представление левой подвижной алгебры связано с тем же представлением правой подвижной алгебры.

Например, спектр $SU(2)$ Модель гепатита С на уровне $k\in \mathbb {N}$ является

${\mathcal {S}}_{k}=\bigoplus _{j=0,{\frac {1}{2}},1,\dots ,{\frac {k}{2}}}{\mathcal {R}}_{j}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{j}\ ,$

где ${\mathcal {R}}_{j}$ - аффинное представление спина с наибольшим весом $j$: представление, созданное состоянием $|v\rangle$ такой, что

$J_{n<0}^{a}|v\rangle =J_{0}^{-}|v\rangle =0\ ,$

где $J^{-}$ ток, соответствующий генератору $t^{-}$ алгебры Ли $SU(2)$.

Модели WZW с другими типами групп

Если группа $G$ компактна, но не односвязна, модель WZW рациональна, но не обязательно диагональна. Например, $SO(3)$ Модель WZW существует для четных целочисленных уровней. $k\in 2\mathbb {N}$, а его спектр представляет собой недиагональную комбинацию конечного числа интегрируемых представлений старшего веса.

Если группа $G$ некомпактна, модель WZW нерациональна. Более того, его спектр может включать представления не с наивысшим весом. Например, спектр $SL(2,\mathbb {R} )$ Модель WZW построена из представлений старшего веса, а также их образов при автоморфизмах спектрального потока аффинной алгебры Ли.

Если $G$ является супергруппой , спектр может включать представления, которые не факторизуются как тензорные произведения представлений лево- и праводвижущих алгебр симметрии. Это происходит, например, в случае $G=GL(1|1)$, а также в более сложных супергруппах, таких как $G=PSU(1,1|2)$. Нефакторизуемые представления ответственны за то, что соответствующие модели ВЦВ являются логарифмическими конформными теориями поля .

Другие теории, основанные на аффинных алгебрах Ли

Известные конформные теории поля, основанные на аффинных алгебрах Ли, не ограничиваются моделями WZW.Например, в случае аффинной алгебры Ли $SU(2)$ В модели WZW модульные инвариантные статистические суммы тора подчиняются классификации ADE, где $SU(2)$ Модель WZW предназначена только для серии A. Серия D соответствует $SO(3)$ Модель WZW, а серия E не соответствует ни одной модели WZW.

Другим примером является $H_{3}^{+}$ модель. Эта модель основана на той же алгебре симметрии, что и модель $SL(2,\mathbb {R} )$ Модель WZW, с которой она связана вращением Вика. Однако $H_{3}^{+}$ строго говоря, не является моделью WZW, поскольку $H_{3}^{+}=SL(2,\mathbb {C} )/SU(2)$ не группа, а смежный класс.

Поля и корреляционные функции

Поля

Учитывая простое представление $\rho$ алгебры Ли $G$, аффинное первичное поле $\Phi ^{\rho }(z)$ это поле, которое принимает значения в пространстве представления $\rho$, такой, что

$J^{a}(y)\Phi ^{\rho }(z)=-{\frac {\rho (t^{a})\Phi ^{\rho }(z)}{y-z}}+O(1)\ .$

Аффинное первичное поле также является первичным полем для алгебры Вирасоро, возникающей в результате конструкции Сугавары. Конформная размерность аффинного первичного поля выражается в терминах квадратичного уравнения Казимира $C_{2}(\rho )$ представительства $\rho$ (т.е. собственное значение квадратичного элемента Казимира $K_{ab}t^{a}t^{b}$ где $K_{ab}$ является обратной матрицей ${\mathcal {K}}(t^{a},t^{b})$ формы Убийства)

$\Delta _{\rho }={\frac {C_{2}(\rho )}{2(k+h^{\vee })}}\ .$

Например, в $SU(2)$ Модель WZW, конформная размерность первичного поля спина $j$ является

$\Delta _{j}={\frac {j(j+1)}{k+2}}\ .$

По соответствию поля состояния аффинные первичные поля соответствуют аффинным первичным состояниям , которые являются состояниями с высшим весом представлений с высшим весом аффинной алгебры Ли.

Корреляционные функции

Если группа $G$ компактен, спектр модели WZW состоит из представлений с наивысшим весом, и все корреляционные функции могут быть выведены из корреляционных функций аффинных первичных полей через тождества Уорда .

Если риманова поверхность $\Sigma$ – сфера Римана, корреляционные функции аффинных первичных полей подчиняются уравнениям Книжника–Замолодчикова . На римановых поверхностях высшего рода корреляционные функции подчиняются уравнениям Книжника–Замолодчикова–Бернара , в которые входят производные не только положения полей, но и модулей поверхности.

Манометрические модели WZW

Учитывая подгруппу Ли $H\subset G$, $G/H$ калиброванная модель WZW (или смежная модель ) — это нелинейная сигма-модель, целевым пространством которой является частное $G/H$ для сопутствующего действия $H$ на $G$. Эта калибровочная модель WZW представляет собой конформную теорию поля, алгебра симметрии которой является фактором двух аффинных алгебр Ли $G$ и $H$ Модели WZW, центральный заряд которых равен разности их центральных зарядов.

Приложения

Модель WZW, группа Ли которой является универсальным покрытием группы. $\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$ использовался Хуаном Малдасеной и Хироси Оогури для описания теории бозонных струн в трехмерном антиде Ситтеровском пространстве. $AdS_{3}$. Суперструны включены $AdS_{3}\times S^{3}$ описываются моделью WZW на супергруппе $PSU(1,1|2)$, или его деформацию, если включен флюс Рамона-Рамона.

Для описания предложены модели WZW и их деформации. переход плато в целочисленном квантовом эффекте Холла .

The $SL(2,\mathbb {R} )/U(1)$ калиброванная модель WZW имеет интерпретацию в теории струн как . двумерную евклидову черную дыру Виттена Эта же модель также описывает некоторые двумерные статистические системы на критическом уровне, такие как критическая антиферромагнитная модель Поттса .