Гипотеза Арнольда

Гипотеза Арнольда , названная в честь математика Владимира Арнольда , является математической гипотезой в области симплектической геометрии , раздела дифференциальной геометрии . ^[1]

Арнольда гипотеза Сильная

Позволять $(M,\omega )$ — замкнутое (компактное без края) симплектическое многообразие . Для любой гладкой функции $H:M\to {\mathbb {R} }$ , симплектическая форма $\omega$ индуцирует гамильтоново векторное поле $X_{H}$ на $M$ определяется формулой

$\omega (X_{H},\cdot )=dH.$

Функция $H$ называется функцией Гамильтона .

Предположим, что существует гладкое однопараметрическое семейство гамильтоновых функций $H_{t}\in C^{\infty }(M)$ , $t\in [0,1]$ . Это семейство индуцирует однопараметрическое семейство гамильтоновых векторных полей $X_{H_{t}}$ на $M$ . Семейство векторных полей интегрируется в однопараметрическое семейство диффеоморфизмов $\varphi _{t}:M\to M$ . Каждый человек $\varphi _{t}$ называется диффеоморфизмом гамильтоновым $M$ .

Сильная гипотеза Арнольда утверждает, что число неподвижных точек гамильтонова диффеоморфизма $M$ больше или равно числу критических точек гладкой функции на $M$ . ^[2]^[3]

Арнольда гипотеза Слабая

Позволять $(M,\omega )$ — замкнутое симплектическое многообразие. Гамильтонов диффеоморфизм $\varphi :M\to M$ называется невырожденным, если его график пересекает диагональ $M\times M$ поперечно. Для невырожденных гамильтоновых диффеоморфизмов один из вариантов гипотезы Арнольда гласит, что количество неподвижных точек по крайней мере равно минимальному числу критических точек функции Морса на $M$ , называемое Морса числом $M$ .

Ввиду неравенства Морса число Морса больше или равно сумме чисел Бетти по полю. ${\mathbb {F} }$ , а именно ${\textstyle \sum _{i=0}^{2n}\dim H_{i}(M;{\mathbb {F} })}$ . Слабая гипотеза Арнольда гласит, что

$\#\{{\text{fixed points of }}\varphi \}\geq \sum _{i=0}^{2n}\dim H_{i}(M;{\mathbb {F} })$

для $\varphi :M\to M$ невырожденный гамильтонов диффеоморфизм. ^[2]^[3]

Арнольда Гивенталя Гипотеза –

Гипотеза Арнольда-Гивенталя , названная в честь Владимира Арнольда и Александра Гивенталя , дает нижнюю оценку числа точек пересечения двух лагранжевых подмногообразий $L$ и $L'$ в терминах чисел Бетти $L$ , при условии $L'$ пересекает $L$ трансверсально и $L'$ является гамильтоновым, изотопным $L$ .

Позволять $(M,\omega )$ быть компактным $2n$ -мерное симплектическое многообразие, пусть $L\subset M$ — компактное лагранжево подмногообразие $M$ , и пусть $\tau :M\to M$ — антисимплектическая инволюция, т. е. диффеоморфизм $\tau :M\to M$ такой, что $\tau ^{*}\omega =-\omega$ и $\tau ^{2}={\text{id}}_{M}$ , набор неподвижных точек которого равен $L$ .

Позволять $H_{t}\in C^{\infty }(M)$ , $t\in [0,1]$ — гладкое семейство функций Гамильтона на $M$ . Это семейство порождает однопараметрическое семейство диффеоморфизмов $\varphi _{t}:M\to M$ протекая вдоль векторного поля Гамильтона, связанного с $H_{t}$ . Гипотеза Арнольда – Гивенталя утверждает, что если $\varphi _{1}(L)$ пересекается поперечно с $L$ , затем

$\#(\varphi _{1}(L)\cap L)\geq \sum _{i=0}^{n}\dim H_{i}(L;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ . ^[4]

Статус [ править ]

Гипотеза Арнольда – Гивенталя доказана для нескольких частных случаев.

Гивенталь доказал это $(M,L)=(\mathbb {CP} ^{n},\mathbb {RP} ^{n})$ . ^[5]
Йонг-Гын О доказал это для вещественных форм компактных эрмитовых пространств с подходящими предположениями об индексах Маслова . ^[6]
Лаццарини доказал это для отрицательно-монотонного случая при подходящих предположениях о минимальном числе Маслова.
Кенджи Фукая , Ён-Гын О, Хироши Ота и Каору Оно доказали это $(M,\omega )$ полуположительный. ^[7]
Урс Фрауэнфельдер доказал это в случае, когда $(M,\omega )$ представляет собой некоторую симплектическую редукцию с использованием калиброванной теории Флоера . ^[4]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

^ Ассель, Л.; Изыдорек, М.; Старостка, М. (2022). «Гипотеза Арнольда в $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}$ и индекс Конли». arXiv : 2202.00422 [ math.DS ].
^ Перейти обратно: ^а ^б Ризелл, Георгиос Димитроглу; Головко, Роман (05.01.2017). «Число гамильтоновых неподвижных точек на симплектически асферических многообразиях». arXiv : 1609.04776 [ math.SG ].
^ Перейти обратно: ^а ^б Арнольд, Владимир Иванович, изд. (2005). Проблемы Арнольда . Шпрингер Берлин , Гейдельберг. стр. 284–288. дои : 10.1007/b138219 . ISBN 978-3-540-20748-1 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ( Фрауэнфельдер 2004 )
^ ( Гивенталь 1989b )
^ ( О, 1995 )
^ ( Фукая и др. 2009 )

Библиография [ править ]

Фрауэнфельдер, Урс (2004), «Гипотеза Арнольда-Гивенталя и моментная гомология Флоера», International Mathematics Research Sciences , 2004 (42): 2179–2269, arXiv : math/0309373 , doi : 10.1155/S1073792804133941 , MR 20761 42 .
Фукая, Кенджи; О, Ён-Гын; Охта, Хироши; Оно, Каору (2009), Лагранжево пересечение Теория Флоера - аномалия и препятствие , International Press, ISBN 978-0-8218-5253-8
Гивенталь А. Б. (1989а), "Периодические отображения в симплектической топологии" , Функц. Анальный. И Приложен , 23 (4): 37–52
- Гивенталь, А. Б. (1989б), "Периодические отображения в симплектической топологии (перевод из Функц. Анал. Прилож. 23, № 4, 37-52 (1989))", Функциональный анализ и его приложения , 23 (4): 287– 300, doi : 10.1007/BF01078943 , S2CID 123546007 , Збл 0724.58031
О, Йонг-Гын (1992), «Когомологии Флоера и гипотеза Арнольда-Гивенталя о лагранжевых пересечениях» , Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 315 (3): 309–314, MR 1179726 .
О, Йонг-Гын (1995), «Когомологии Флоера лагранжевых пересечений и псевдоголоморфных дисков, III: гипотеза Арнольда-Гивенталя», The Floer Memorial Volume , стр. 555–573, doi : 10.1007/978-3-0348- 9217-9_23 , ISBN 978-3-0348-9948-2

[Asselle_Izydorek_Starostka_p.-1] Ассель, Л.; Изыдорек, М.; Старостка, М. (2022). «Гипотеза Арнольда в $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}$ и индекс Конли». arXiv : 2202.00422 [ math.DS ].

[:0-2] Перейти обратно: ^а ^б Ризелл, Георгиос Димитроглу; Головко, Роман (05.01.2017). «Число гамильтоновых неподвижных точек на симплектически асферических многообразиях». arXiv : 1609.04776 [ math.SG ].

[:1-3] Перейти обратно: ^а ^б Арнольд, Владимир Иванович, изд. (2005). Проблемы Арнольда . Шпрингер Берлин , Гейдельберг. стр. 284–288. дои : 10.1007/b138219 . ISBN 978-3-540-20748-1 .

[Frauenfelder-4] Перейти обратно: ^а ^б ( Фрауэнфельдер 2004 )

[5] ( Гивенталь 1989b )

[6] ( О, 1995 )

[7] ( Фукая и др. 2009 )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Арнольда гипотеза Сильная ​

Арнольда гипотеза Слабая ​