Спектральные инварианты

В симплектической геометрии спектральные инварианты — это инварианты, определенные для группы гамильтоновых диффеоморфизмов симплектического многообразия , замкнутого, связанного с теорией Флоера и геометрией Хофера.

Гипотеза Арнольда и гамильтоновы гомологии Флоера

Если ( M , ω ) — симплектическое многообразие, то гладкое векторное поле Y на M является гамильтоновым векторным полем, если стягивание ω ( Y , ·) является точной 1-формой (т. е. дифференциалом гамильтоновой функции H ) . Гамильтонов диффеоморфизм симплектического многообразия ( M , ω ) — это диффеоморфизм Φ многообразия M , который является интегралом гладкого пути гамильтоновых векторных полей Y _t . Владимир Арнольд предположил, что число неподвижных точек общего гамильтонова диффеоморфизма компактного симплектического многообразия ( M , ω ) должно быть ограничено снизу некоторой топологической константой M , что аналогично неравенству Морса. Эта так называемая гипотеза Арнольда послужила толчком к изобретению гамильтоновой гомологии Флоера Андреасом Флоером в 1980-х годах.

Определение Флоера приняло . точку зрения Виттена на теорию Морса Он рассмотрел пространства стягиваемых петель M и определил функционал действия A _H, ассоциированный с семейством гамильтоновых функций, так что неподвижные точки гамильтонова диффеоморфизма соответствуют критическим точкам функционала действия. Построив цепной комплекс, аналогичный комплексу Морса–Смейла–Виттена в теории Морса, Флоеру удалось определить группу гомологий, которая, как он также показал, изоморфна обычным группам гомологий многообразия M .

Изоморфизм между группой гомологий Флоера HF( M ) и обычными группами гомологий H ( M ) каноничен. Следовательно, для любого «хорошего» гамильтонова пути H _t класс гомологий α пути M может быть представлен циклом в цепном комплексе Флоера, формально линейной комбинацией

$\alpha _{H}=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots$

где ai _— коэффициенты некоторого кольца, а xi _— неподвижные точки соответствующего гамильтонова диффеоморфизма. Формально спектральные инварианты могут быть определены значением min-max

$c_{H}(\alpha )=\min \max\{A_{H}(x_{i})\ :\ a_{i}\neq 0\}.$

Здесь максимум берется по всем значениям функционала действия A _H на неподвижных точках, входящих в линейную комбинацию α _H , а минимум берется по всем циклам Флоера, представляющим класс α.