Котангенс расслоение

В математике , особенно в дифференциальной геометрии , кокасательное расслоение — гладкого многообразия это векторное расслоение всех кокасательных пространств в каждой точке многообразия. Его можно также описать как расслоение, двойственное к касательному расслоению . Это можно обобщить на категории с большей структурой, чем гладкие многообразия, такие как комплексные многообразия или (в форме кокасательного пучка) алгебраические многообразия или схемы . В гладком случае любая риманова метрика или симплектическая форма дают изоморфизм между кокасательным и касательным расслоениями, но они, вообще говоря, не изоморфны в других категориях.

Формальное определение через диагональный морфизм

Существует несколько эквивалентных способов определения коткасательного расслоения. Один из способов — через диагональное отображение ∆ и ростки .

Пусть M — гладкое многообразие и M × M — декартово произведение M само на себя. Диагональное отображение Δ переводит точку p из M в точку ( p , p из M × M. ) Образ Δ называется диагональю. Позволять ${\mathcal {I}}$ — пучок ростков гладких , функций на M × M обращающихся в нуль на диагонали. Тогда факторпучок ${\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}$ состоит из классов эквивалентности функций, которые обращаются в нуль на диагонали по модулю членов более высокого порядка. Котангенсный пучок определяется как возврат этого пучка к M :

\Gamma T^{*}M=\Delta ^{*}\left({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\right).

По теореме Тейлора это локально свободный пучок модулей относительно пучка ростков гладких функций M. из Таким образом, он определяет векторное расслоение на M : кокасательное расслоение .

Гладкие сечения кокасательного расслоения называются (дифференциальными) одноформами .

Свойства контравариантности

Гладкий морфизм $\phi \colon M\to N$ многообразий, индуцирует обратный пучок $\phi ^{*}T^{*}N$ на М. Существует индуцированное отображение векторных расслоений $\phi ^{*}(T^{*}N)\to T^{*}M$ .

Примеры

Касательное расслоение векторного пространства $\mathbb {R} ^{n}$ является $T\,\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$ , а коткасательное расслоение $T^{*}\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times (\mathbb {R} ^{n})^{*}$ , где $(\mathbb {R} ^{n})^{*}$ обозначает двойственное пространство ковекторов, линейных функций $v^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ .

Учитывая гладкое многообразие $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ встроенный в гиперповерхность, представленную исчезающим локусом функции $f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),$ с условием, что $\nabla f\neq 0,$ касательное расслоение

TM=\{(x,v)\in T\,\mathbb {R} ^{n}\ :\ f(x)=0,\ \,df_{x}(v)=0\},

где $df_{x}\in T_{x}^{*}M$ это производная по направлению $df_{x}(v)=\nabla \!f(x)\cdot v$ . По определению коткасательное расслоение в этом случае есть

T^{*}M={\bigl \{}(x,v^{*})\in T^{*}\mathbb {R} ^{n}\ :\ f(x)=0,\ v^{*}\in T_{x}^{*}M{\bigr \}},

где $T_{x}^{*}M=\{v\in T_{x}\mathbb {R} ^{n}\ :\ df_{x}(v)=0\}^{*}.$ Поскольку каждый ковектор $v^{*}\in T_{x}^{*}M$ соответствует уникальному вектору $v\in T_{x}M$ для чего $v^{*}(u)=v\cdot u,$ для произвольного $u\in T_{x}M,$

T^{*}M={\bigl \{}(x,v^{*})\in T^{*}\mathbb {R} ^{n}\ :\ f(x)=0,\ v\in T_{x}\mathbb {R} ^{n},\ df_{x}(v)=0{\bigr \}}.

Котангенс-расслоение как фазовое пространство

Поскольку кокасательное расслоение X = T * M является векторным расслоением , его можно рассматривать как самостоятельное многообразие. Поскольку в каждой точке касательные направления M могут быть спарены с их двойственными ковекторами в слое, X обладает канонической одной формой θ, называемой тавтологической одной формой , обсуждаемой ниже. Внешняя производная θ представляет собой симплектическую 2-форму невырожденную форму объёма можно построить , из которой для X . Например, в результате X всегда является ориентируемым многообразием (касательное расслоение TX является ориентируемым векторным расслоением). специальный набор координат На кокасательном расслоении можно определить ; они называются каноническими координатами . Поскольку кокасательные расслоения можно рассматривать как симплектические многообразия , любую действительную функцию на кокасательном расслоении можно интерпретировать как гамильтониан ; таким образом, кокасательное расслоение можно понимать как фазовое пространство , в котором гамильтонова механика действует .

Тавтологическая одноформа

Кокасательное расслоение несет каноническую одну форму θ, также известную как симплектический потенциал , форма Пуанкаре 1- или форма Лиувилля 1- . Это означает, что если мы рассматриваем T * M как самостоятельное многообразие, то существует каноническое сечение векторного расслоения T *( T * M ) над T * M .

Этот раздел можно построить несколькими способами. Самый элементарный метод использует локальные координаты. Предположим, что х ^я являются локальными координатами на базовом многообразии M . В терминах этих базовых координат существуют координаты слоя p _i одноформа в конкретной точке T * M имеет вид pi _: dx ^я ( подразумевается соглашение Эйнштейна о суммировании ). Таким образом, само многообразие T * M несет локальные координаты ( x ^я, pi ₎ , где x — координаты на основании, а p — координаты в волокне. Каноническая форма задается в этих координатах выражением

\theta _{(x,p)}=\sum _{{\mathfrak {i}}=1}^{n}p_{i}\,dx^{i}.

По сути, значение канонической одной формы в каждой фиксированной точке T*M задается как обратный ход . В частности, предположим, что π : T*M → M — проекция расслоения. Взять точку в Tx _x * M — это то же самое, что выбрать точку x в M и одноформу ω в , а тавтологическая одноформа θ присваивает точке ( x , ω) значение

\theta _{(x,\omega )}=\pi ^{*}\omega .

То есть для вектора v в касательном расслоении кокасательного расслоения применение тавтологической формы θ к v в точке ( x , ω) вычисляется путем проецирования v в касательное расслоение в точке x с использованием d π : T ( T * M ) → TM и применения ω к этой проекции. Заметим, что тавтологическая одноформа не является возвратом одноформы на базе M .

Симплектическая форма

кокасательном расслоении имеется каноническая симплектическая 2-форма На как внешняя производная тавтологической одноформы , симплектического потенциала . Доказать, что эта форма действительно является симплектической, можно, заметив, что симплектическая форма является локальным свойством: поскольку кокасательное расслоение локально тривиально, это определение нужно проверить только на $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$ . Но там определена одна форма — это сумма $y_{i}\,dx_{i}$ , а дифференциал представляет собой каноническую симплектическую форму, сумму $dy_{i}\land dx_{i}$ .

Фазовое пространство

Если многообразие $M$ представляет собой множество возможных положений в динамической системе , то котангенс расслоение $\!\,T^{*}\!M$ можно рассматривать как набор возможных положений и импульсов . Например, так можно описать фазовое пространство маятника. Состояние маятника определяется его положением (углом) и его импульсом (или, что то же самое, его скоростью, поскольку его масса постоянна). Все пространство состояний выглядит как цилиндр, который является коткасательным расслоением окружности. Приведенная выше симплектическая конструкция вместе с соответствующей энергетической функцией дает полное определение физики системы. См. гамильтонову механику и статью о геодезическом потоке для получения явной конструкции гамильтоновых уравнений движения.

См. также

Преобразование Лежандра

Ссылки

Авраам, Ральф ; Марсден, Джеррольд Э. (1978). Основы механики . Лондон: Бенджамин-Каммингс. ISBN 0-8053-0102-Х .
Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-63654-4 .
Певица Стефани Франк (2001). Симметрия в механике: мягкое современное введение . Бостон: Биркхойзер.