Симметрия в механике

«Симметрия в механике: нежное современное введение» — учебник для студентов по математике и математической физике , в центре которого лежит использование симплектической геометрии для решения задачи Кеплера . Он был написан Стефани Сингер и опубликован издательством Birkhäuser в 2001 году.

Темы

в Задача Кеплера классической механике представляет собой частный случай задачи двух тел , в которой две точечные массы взаимодействуют по закону всемирного тяготения Ньютона (или по любой центральной силе, подчиняющейся закону обратных квадратов ). Книга начинается и заканчивается этой проблемой, впервые в специальной манере, которая представляет проблему с использованием системы двенадцати переменных для положений и векторов импульса двух тел, использует законы сохранения физики для создания системы дифференциальные уравнения, которым подчиняются эти переменные, и решает эти уравнения. Во второй раз он описывает положения и переменные двух тел как одну точку в 12-мерном фазовом пространстве , описывает поведение тел как гамильтонову систему и использует симплектические редукции для сжатия фазового пространства до двух измерений. вывести законы движения планет Кеплера . прежде чем решить эту задачу, необходимо более прямым и принципиальным образом ^[1]

Средняя часть книги описывает механизм симплектической геометрии, необходимый для завершения этого тура. Темы, охватываемые в этой части, включают многообразия , векторные поля и дифференциальные формы , прямое и обратное движение , симплектические многообразия , гамильтоновы энергетические функции , представление конечных и бесконечно малых физических симметрий с использованием групп Ли и алгебр Ли , а также использование отображения моментов для связи симметрий. к сохраняющимся количествам . ^[1]^[2]^[3] В этих темах центральное место также занимают конкретные примеры. ^[4]

Аудитория и прием

Книга написана как учебник для студентов-математиков и физиков, содержит множество упражнений и предполагает, что студенты уже знакомы с многомерным исчислением и линейной алгеброй . ^[1] значительно более низкий уровень справочного материала, чем в других книгах по симплектической геометрии в механике. ^[5] Он не является исчерпывающим в своем освещении симплектической геометрии и механики, но может быть использован в качестве вспомогательного материала в классе, который охватывает материал из других источников. ^[6] Абрахама и Марсдена такие как «Основы механики» Арнольда или «Математические методы классической механики» . Альтернативно, он сам по себе может обеспечить более доступный первый курс по этому материалу, прежде чем более подробно представить его в другом курсе. ^[1]^[2]^[4]

Рецензент Уильям Сатцер пишет, что в этой книге «прилагаются серьезные усилия для решения реальных студентов и их потенциальных трудностей» и удобно переключается между математическим и физическим взглядом на проблему. ^[1] Точно так же рецензент Дж. Р. Дорфман пишет, что это «устраняет некоторые языковые барьеры, разделяющие мир математики и физики». ^[3] а рецензент Иржи Ванжура называет ее «замечательной» своей двойной способностью мотивировать математические методы для студентов-физиков и обеспечивать приложения по физике для студентов-математиков, добавляя, что «книга прекрасно написана и очень хорошо служит своей цели». ^[7] Рецензент Ивайло Младенов с одобрением отмечает внимание, уделяемое в книге изложению в первую очередь примерами, и, несмотря на указание на незначительную неточность относительно национальности Софуса Ли , рекомендует ее как студентам, так и аспирантам. ^[6] Рецензент Ричард Монтгомори пишет, что книга «отлично уводит читателя от проблемы Кеплера к взгляду на растущую область симплектической геометрии». ^[5]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Сатцер, Уильям Дж. (декабрь 2005 г.), «Обзор симметрии в механике » , MAA Reviews , Математическая ассоциация Америки
^ Jump up to: ^а ^б Ямиолковский, А.; Мругала, Р. (февраль 2002 г.), «Обзор симметрии в механике », Reports on Mathematical Physics , 49 (1): 123–124, Бибкод : 2002RpMP...49..123J , doi : 10.1016/s0034-4877( 02)80009-х
^ Jump up to: ^а ^б Дорфман, младший (январь 2002 г.), «Обзор симметрии в механике », Physics Today , 55 (1): 57–57, doi : 10.1063/1.1457270
^ Jump up to: ^а ^б Эбботт, Стив (ноябрь 2001 г.), «Обзор симметрии в механике », The Mathematical Gazette , 85 (504): 571, doi : 10.2307/3621823 , JSTOR 3621823
^ Jump up to: ^а ^б Монтгомери, Ричард (апрель 2003 г.), «Обзор симметрии в механике » (PDF) , American Mathematical Monthly , 110 (4): 348–353, doi : 10.2307/3647898 , JSTOR 3647898
^ Jump up to: ^а ^б Младенов, Ивайло, «Обзор симметрии в механике », zbMATH , Zbl 0970.70003 ; см. также отзыв Младенова в MR 1816059
^ Ванжура, Иржи (2003), «Обзор симметрии в механике » , Mathematica Bohemica , 128 (1): 112

[satzer-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Сатцер, Уильям Дж. (декабрь 2005 г.), «Обзор симметрии в механике » , MAA Reviews , Математическая ассоциация Америки

[jm-2] Jump up to: ^а ^б Ямиолковский, А.; Мругала, Р. (февраль 2002 г.), «Обзор симметрии в механике », Reports on Mathematical Physics , 49 (1): 123–124, Бибкод : 2002RpMP...49..123J , doi : 10.1016/s0034-4877( 02)80009-х

[dorfman-3] Jump up to: ^а ^б Дорфман, младший (январь 2002 г.), «Обзор симметрии в механике », Physics Today , 55 (1): 57–57, doi : 10.1063/1.1457270

[abbott-4] Jump up to: ^а ^б Эбботт, Стив (ноябрь 2001 г.), «Обзор симметрии в механике », The Mathematical Gazette , 85 (504): 571, doi : 10.2307/3621823 , JSTOR 3621823

[monty-5] Jump up to: ^а ^б Монтгомери, Ричард (апрель 2003 г.), «Обзор симметрии в механике » (PDF) , American Mathematical Monthly , 110 (4): 348–353, doi : 10.2307/3647898 , JSTOR 3647898

[mlad-6] Jump up to: ^а ^б Младенов, Ивайло, «Обзор симметрии в механике », zbMATH , Zbl 0970.70003 ; см. также отзыв Младенова в MR 1816059

[vanzura-7] Ванжура, Иржи (2003), «Обзор симметрии в механике » , Mathematica Bohemica , 128 (1): 112

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]