Неравенство Борелла – ТИС

В математике и теории вероятностей неравенство Борелла –ТИС — результат, ограничивающий вероятность отклонения равномерной нормы центрированного гауссовского случайного процесса выше его ожидаемого значения . Результат назван в честь Кристера Борелла и его независимых первооткрывателей Бориса Цирельсона , Ильдара Ибрагимова и Владимира Судакова . Неравенство было описано как «самый важный инструмент в изучении гауссовских процессов». ^{[ 1 ]}

Заявление

Позволять $T$ — топологическое пространство , и пусть $\{f_{t}\}_{t\in T}$ быть центрированным (т.е. средним нулем) гауссовским процессом на $T$ , с

\|f\|_{T}:=\sup _{t\in T}|f_{t}|

\sigma _{T}^{2}:=\sup _{t\in T}\operatorname {E} |f_{t}|^{2}.

Затем ^{[ 1 ]} $\operatorname {E} (\|f\|_{T})$ и $\sigma _{T}$ оба конечны, и для каждого $u>0$ ,

\operatorname {P} {\big (}\|f\|_{T}>\operatorname {E} (\|f\|_{T})+u{\big )}\leq \exp \left({\frac {-u^{2}}{2\sigma _{T}^{2}}}\right).

Еще одно связанное утверждение, также известное как неравенство Борелла-ТИС. ^{[ 1 ]} заключается в том, что при тех же условиях, что и выше,

\operatorname {P} {\big (}\sup _{t\in T}f_{t}>\operatorname {E} (\sup _{t\in T}f_{t})+u{\big )}\leq \exp {\bigg (}{\frac {-u^{2}}{2\sigma _{T}^{2}}}{\bigg )}

,

и так по симметрии

\operatorname {P} {\big (}|\sup _{t\in T}f_{t}-\operatorname {E} (\sup _{t\in T}f_{t})|>u{\big )}\leq 2\exp {\bigg (}{\frac {-u^{2}}{2\sigma _{T}^{2}}}{\bigg )}

.

^ Jump up to: ^а ^б ^с «Гауссовы неравенства». Случайные поля и геометрия . Монографии Спрингера по математике. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. 2007. стр. 49–64. дои : 10.1007/978-0-387-48116-6_2 . ISBN 978-0-387-48116-6 .