Средняя ширина

В геометрии средняя ширина является мерой «размера» тела; см . в теореме Хадвигера дополнительную информацию о доступных мерах тел . В $n$ размеры, надо учитывать $(n-1)$ -мерные гиперплоскости, перпендикулярные заданному направлению ${\hat {n}}$ в $S^{n-1}$ , где $S^{n}$ – это n-сфера (поверхность $(n+1)$ -мерная сфера).«Ширина» тела в данном направлении ${\hat {n}}$ - это расстояние между ближайшей парой таких плоскостей, такое, что тело полностью находится между двумя гиперплоскостями (плоскости пересекаются только с границей тела). Средняя ширина — это среднее значение этой «ширины» по всем ${\hat {n}}$ в $S^{n-1}$ .

Более формально, определите компактное тело B как эквивалентное множеству точек внутри него плюс точки на границе (здесь точки обозначают элементы тела B). $\mathbb {R} ^{n}$ ). Опорная функция тела B определяется как

h_{B}(n)=\max\{\langle n,x\rangle |x\in B\}

где $n$ это направление и $\langle ,\rangle$ обозначает обычный скалярный продукт на $\mathbb {R} ^{n}$ . Тогда средняя ширина

b(B)={\frac {1}{S_{n-1}}}\int _{S^{n-1}}h_{B}({\hat {n}})+h_{B}(-{\hat {n}}),

где $S_{n-1}$ это $(n-1)$ -мерный объем $S^{n-1}$ .Обратите внимание, что среднюю ширину можно определить для любого тела (то есть компактного), но наиболееполезно для выпуклых тел (то есть тел, соответствующее множество которых является выпуклым множеством ).

Средние ширины выпуклых тел малых размеров

Одно измерение

Средняя ширина отрезка L — это длина (1-объем) L .

Два измерения

Средняя ширина w любой компактной формы в двух измерениях равна p /π, где — периметр выпуклой оболочки S. S p Итак, w — диаметр круга с тем же периметром, что и выпуклая оболочка.

Три измерения

Для выпуклых тел K в трех измерениях средняя ширина K связана со средним значением кривизны средней H по всей K. поверхности Фактически,

\int _{\delta K}{\frac {H}{2\pi }}dS=b(K)

где $\delta K$ является границей выпуклого тела $K$ и $dS$ поверхностный цельный элемент, $H$ - средняя кривизна в соответствующем положениина $\delta K$ . Аналогичные соотношения можно установить и между другими мерами и обобщения средней кривизны, также и для других измерений . ^[1]Поскольку интеграл по средней кривизне обычно гораздо проще вычислитьчем средняя ширина, это очень полезный результат.

См. также

Кривая постоянной ширины

Ссылки

^ Цзяцзу, Чжоу; Дешуо, Цзян (2008), «О средних кривизнах параллельного выпуклого тела», Acta Mathematica Scientia , 28 (3): 489–494, doi : 10.1016/S0252-9602(08)60050-8

Дальнейшее чтение

Средняя ширина обычно упоминается в любом хорошем справочнике по выпуклой геометрии, например, «Избранные темы выпуклой геометрии» Марии Мошиньской (Birkhäuser, Boston 2006). В этой ссылке также получено соотношение между средней шириной и средней кривизной.

Применение средней ширины как одной из мер теоремы Хадвигера. обсуждается Бэйфан Ченом в «Упрощенном элементарном доказательстве теоремы Хадвигера об объеме». Геом. Дедиката 105 (2004), 107–120.

[1] Цзяцзу, Чжоу; Дешуо, Цзян (2008), «О средних кривизнах параллельного выпуклого тела», Acta Mathematica Scientia , 28 (3): 489–494, doi : 10.1016/S0252-9602(08)60050-8

[1]