Смешанный объем

В математике , точнее, в выпуклой геометрии , смешанный объём — это способ связать неотрицательное число с набором выпуклых тел в $\mathbb {R} ^{n}$. Это число зависит от размеров и формы тел, а также их взаимной ориентации друг к другу.

Определение

Позволять $K_{1},K_{2},\dots ,K_{r}$ быть выпуклыми телами в $\mathbb {R} ^{n}$ и рассмотрим функцию

$f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\mathrm {Vol} _{n}(\lambda _{1}K_{1}+\cdots +\lambda _{r}K_{r}),\qquad \lambda _{i}\geq 0,$

где ${\text{Vol}}_{n}$ означает $n$-мерный объем, а его аргументом является сумма Минковского масштабированных выпуклых тел. $K_{i}$. Можно показать, что $f$ — однородный полином степени $n$, поэтому можно записать как

$f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}=1}^{r}V(K_{j_{1}},\ldots ,K_{j_{n}})\lambda _{j_{1}}\cdots \lambda _{j_{n}},$

где функции $V$ симметричны. Для конкретной индексной функции $j\in \{1,\ldots ,r\}^{n}$, коэффициент $V(K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}})$ называется смешанным объемом $K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}}$.

Характеристики

• Смешанный объем однозначно определяется следующими тремя свойствами:

1. $V(K,\dots ,K)={\text{Vol}}_{n}(K)$;
2. $V$ симметричен в своих аргументах;
3. $V$ является многолинейным: $V(\lambda K+\lambda 'K',K_{2},\dots ,K_{n})=\lambda V(K,K_{2},\dots ,K_{n})+\lambda 'V(K',K_{2},\dots ,K_{n})$ для $\lambda ,\lambda '\geq 0$.

• Смешанный объем неотрицательен и монотонно возрастает по каждой переменной: $V(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{n})\leq V(K_{1}',K_{2},\ldots ,K_{n})$ для $K_{1}\subseteq K_{1}'$.
• The Alexandrov–Fenchel inequality, discovered by Aleksandr Danilovich Aleksandrov and Werner Fenchel :

$V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})\geq {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3},\ldots ,K_{n})V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})}}.$

Многочисленные геометрические неравенства, такие как неравенство Брунна–Минковского для выпуклых тел и первое неравенство Минковского , являются частными случаями неравенства Александрова–Фенхеля.

Кермассинтегралы

Позволять $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ быть выпуклым телом и пусть $B=B_{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$ — евклидов шар единичного радиуса. Смешанный объем

$W_{j}(K)=V({\overset {n-j{\text{ times}}}{\overbrace {K,K,\ldots ,K} }},{\overset {j{\text{ times}}}{\overbrace {B,B,\ldots ,B} }})$

называется j -м кермассинтегралом ​ $K$.

Определение смешанного объема дает формулу Штейнера (названную в честь Якоба Штайнера ):

$\mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}.$

Внутренние тома

-й j ​ собственный объем $K$ представляет собой другую нормализацию квермасс-интеграла, определяемую формулой

$V_{j}(K)={\binom {n}{j}}{\frac {W_{n-j}(K)}{\kappa _{n-j}}},$ или другими словами $\mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}V_{j}(K)\,\mathrm {Vol} _{n-j}(tB_{n-j}).$

где $\kappa _{n-j}={\text{Vol}}_{n-j}(B_{n-j})$ это объем $(n-j)$-мерный единичный шар.

Теорема Хадвигера о характеризации

Основная статья: теорема Хадвигера

Теорема Хадвигера утверждает, что каждая оценка выпуклых тел в $\mathbb {R} ^{n}$ непрерывный и инвариантный относительно жестких движений $\mathbb {R} ^{n}$ представляет собой линейную комбинацию интегралов квермассы (или, что то же самое, собственных объемов).

Внешние ссылки

Бураго, Ю.Д. (2001) [1994], «Теория смешанного объема» , Энциклопедия математики , EMS Press