Первое неравенство Минковского для выпуклых тел.

В математике . Минковского для выпуклых тел является геометрическим результатом немецкого математика Германа Минковского первое неравенство Неравенство тесно связано с неравенством Брунна–Минковского и изопериметрическим неравенством .

Формулировка неравенства

Пусть K и L — два n - мерных выпуклых тела в n- мерном евклидовом пространстве R. ^н . Определим величину V ₁ ( K , L ) формулой

$nV_{1}(K,L)=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {V(K+\varepsilon L)-V(K)}{\varepsilon }},$

где V обозначает n -мерную меру Лебега , а + обозначает сумму Минковского . Затем

$V_{1}(K,L)\geq V(K)^{(n-1)/n}V(L)^{1/n},$

с равенством тогда и только тогда, когда , т.е. равны с K и L гомотетичны точностью до смещения и расширения .

Примечания

• V ₁ — это лишь один пример класса величин, известных как смешанные объемы .
• Если L — n - мерный единичный шар B , то n   V ₁ ( K , B ) — ( n — 1)-мерная поверхностная мера K , обозначаемая S ( K ).

Связь с другими неравенствами

Неравенство Брунна–Минковского.

Можно показать, что неравенство Брунна–Минковского для выпуклых тел в R ^н следует первое неравенство Минковского для выпуклых тел в R ^н и что равенство в неравенстве Брунна – Минковского влечет равенство в первом неравенстве Минковского.

Изопериметрическое неравенство

Взяв L = B , n -мерный единичный шар, в первом неравенстве Минковского для выпуклых тел, получаем изопериметрическое неравенство для выпуклых тел в R ^н : если K — выпуклое тело в R ^н , затем

$\left({\frac {V(K)}{V(B)}}\right)^{1/n}\leq \left({\frac {S(K)}{S(B)}}\right)^{1/(n-1)},$

с равенством тогда и только тогда, когда K — шар некоторого радиуса.

Ссылки

• Гарднер, Ричард Дж. (2002). «Неравенство Брунна – Минковского» . Бык. амер. Математика. Соц. (НС) . 39 (3): 355–405 (электронный). дои : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .