Локализация Бейлинсона – Бернштейна

В математике, особенно в теории представлений и алгебраической геометрии , теорема локализации Бейлинсона–Бернштейна связывает D-модули на многообразиях флагов G / B с представлениями алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$ присоединен к редуктивной G. группе Он был представлен Бейлинсоном и Бернштейном (1981) .

Расширения этой теоремы включают случай частичных многообразий флагов G / P , где P — параболическая подгруппа в Holland & Polo (1996) , и теорему, связывающую D -модули на аффинном грассманиане с представлениями алгебры Каца – Муди. ${\widehat {\mathfrak {g}}}$ во Френкеле и Гайцгори (2009) .

Заявление

Пусть G — редуктивная группа над комплексными числами, а B — борелевская подгруппа. Тогда имеет место эквивалентность категорий

${\mathcal {D}}{\text{-Mod}}(G/B)\ \simeq \ \left(U({\mathfrak {g}})/\ker \chi \right){\text{-Mod}}.$

Слева — категория D-модулей на G/B . Справа χ — гомоморфизм χ : Z(U(g)) → C из центра универсальной обертывающей алгебры,

$Z(U({\mathfrak {g}}))\ \simeq \ {\text{Sym}}({\mathfrak {t}})^{W,\rho },$

соответствующий весу -ρ ∈ t ^* минус половиной суммы по положительным корням g задается . Описанное выше действие W на t ^* = Spec Sym(t) сдвигается так, чтобы зафиксировать -ρ .

Витая версия

Существует эквивалентность категорий

${\mathcal {D}}_{\lambda }{\text{-Mod}}(G/B)\ \simeq \ \left(U({\mathfrak {g}})/\ker \chi _{\lambda }\right){\text{-Mod}}.$

для любого λ ∈ t ^* такой, что λ-ρ не сочетается ни с одним положительным корнем α, образуя неположительное целое число (это «регулярная доминанта»):

$(\lambda -\rho ,\alpha )\ \in \ \mathbf {C} -\mathbf {Z} _{\leq 0}.$

Здесь χ — центральный характер, соответствующий λ-ρ , а D _λ — пучок колец на G/B, образованный -продвижением D * _G/U вдоль T -расслоения G/U → G/B , a пучок колец, центром которого является постоянный пучок алгебр U(t) , и факторизуется по центральному характеру, определяемому λ (а не λ-ρ ).

Пример: СЛ ₂

Алгебра Ли векторных полей на проективной прямой P ¹ отождествляется с sl ₂ , и

$U({\mathfrak {sl}}_{2})/\Omega \ \simeq \ {\mathcal {D}}(\mathbf {P} ^{1})$

с помощью

$(e,h,f)\ \mapsto \ (\partial _{z},-2z\partial _{z},z^{2}\partial _{z})$

Можно проверить линейные комбинации трех векторных полей C ⊂ P ¹ являются единственными векторными полями, продолжающимися до ∞ ∈ P ¹ . Здесь,

$\Omega \ =\ ef+fe+{\frac {1}{2}}h^{2}$

отправляется в ноль.

Единственным конечномерным представлением sl2 _, на котором Ω действует нулем, является тривиальное представление k , которое отправляется в постоянный пучок, т.е. кольцо функций O ∈ D-Mod . Модуль Вермы веса 0 отправляется в D-модуль δ, поддерживаемый в 0 ∈ P ¹ .

Каждое конечномерное представление соответствует различному повороту.

Ссылки

• Бейлинсон, Александр; Бернштейн, Джозеф (1981), «Локализация g -модулей», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 292 (1): 15–18, MR   0610137
• Холланд, Мартин П.; Поло, Патрик (1996), « K -теория скрученных дифференциальных операторов на многообразиях флагов», Inventiones Mathematicae , 123 (2): 377–414, doi : 10.1007/s002220050033 , MR   1374207 , S2CID   189819773
• Френкель, Эдвард; Гайцгори, Деннис (2009), «Локализация ${\mathfrak {g}}$-модули на аффинном грассманиане", Ann. of Math. (2) , 170 (3): 1339–1381, arXiv : math/0512562 , doi : 10.4007/annals.2009.170.1339 , MR   2600875 , S2CID   17597920
• Хотта Р. и Танисаки Т., 2007. D-модули, извращенные пучки и теория представлений (том 236). Springer Science & Business Media.
• Бейлинсон А. и Бернштейн Дж., 1993. Доказательство гипотез Янцена. АДВСОВ, стр. 1–50.