Проблема тригонометрических моментов

В математике тригонометрическая последовательность проблема моментов формулируется следующим образом: дана конечная $\{c_{0},\dotsc ,c_{n}\}$, существует ли функция распределения $\mu$ на интервале $[0,2\pi ]$ такой, что:

$c_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-ik\theta }\,d\mu (\theta ).$

Другими словами, утвердительный ответ на задачи означает, что $\{c_{0},\dotsc ,c_{n}\}$ являются первыми n + 1 коэффициентами Фурье некоторой меры $\mu$ на $[0,2\pi ]$.

Характеристика

Тригонометрическая проблема моментов разрешима, т. е. $\{c_{k}\}_{k=0}^{n}$ является последовательностью коэффициентов Фурье тогда и только тогда, когда ( n + 1) × ( n + 1) эрмитова теплицева матрица

$T=\left({\begin{matrix}c_{0}&c_{1}&\cdots &c_{n}\\c_{-1}&c_{0}&\cdots &c_{n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{-n}&c_{-n+1}&\cdots &c_{0}\\\end{matrix}}\right)$ с $c_{-k}={\overline {c_{k}}}$ для $k\geq 1$,

является положительно полуопределенным .

Часть утверждений «только если» можно проверить прямым расчетом. Мы наметим аргумент в пользу обратного. Положительная полуопределенная матрица $T$ определяет полуторалинейное произведение на $\mathbb {C} ^{n+1}$, что приводит к гильбертову пространству

$({\mathcal {H}},\langle \;,\;\rangle )$

размерности не более n + 1 . Структура Теплица $T$ означает, что «усеченный» сдвиг — это частичная изометрия на ${\mathcal {H}}$. Точнее, пусть $\{e_{0},\dotsc ,e_{n}\}$ быть стандартной основой $\mathbb {C} ^{n+1}$. Позволять ${\mathcal {E}}$ и ${\mathcal {F}}$ — подпространства, порожденные классами эквивалентности $\{[e_{0}],\dotsc ,[e_{n-1}]\}$ соответственно $\{[e_{1}],\dotsc ,[e_{n}]\}$. Определение оператора

$V:{\mathcal {E}}\rightarrow {\mathcal {F}}$

к

$V[e_{k}]=[e_{k+1}]\quad {\mbox{for}}\quad k=0\ldots n-1.$

С

$\langle V[e_{j}],V[e_{k}]\rangle =\langle [e_{j+1}],[e_{k+1}]\rangle =T_{j+1,k+1}=T_{j,k}=\langle [e_{j}],[e_{k}]\rangle ,$

$V$ может быть расширено до частичной изометрии, действующей на все ${\mathcal {H}}$. Возьмите минимальное унитарное расширение $U$ из $V$, возможно, на большем пространстве (это всегда существует). Согласно спектральной теореме существует борелевская мера $m$ на единичном круге $\mathbb {T}$ такая, что для всех целых k

$\langle (U^{*})^{k}[e_{n+1}],[e_{n+1}]\rangle =\int _{\mathbb {T} }z^{k}dm.$

Для $k=0,\dotsc ,n$, левая часть

$\langle (U^{*})^{k}[e_{n+1}],[e_{n+1}]\rangle =\langle (V^{*})^{k}[e_{n+1}],[e_{n+1}]\rangle =\langle [e_{n+1-k}],[e_{n+1}]\rangle =T_{n+1,n+1-k}=c_{-k}={\overline {c_{k}}}.$

Так

$c_{k}=\int _{\mathbb {T} }z^{-k}dm=\int _{\mathbb {T} }{\bar {z}}^{k}dm$

что эквивалентно

$c_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-ik\theta }d\mu (\theta )$

для какой-то подходящей меры $\mu$.

Параметризация решений

Приведенное выше обсуждение показывает, что тригонометрическая проблема моментов имеет бесконечно много решений, если матрица Теплица $T$ является обратимым. В этом случае решения задачи находятся в биективном соответствии с минимальными унитарными расширениями частичной изометрии. $V$.

См. также

• Проблема момента
• Ортогональные многочлены на единичной окружности
• класс Шура
• Предельные теоремы о гвоздях

Ссылки

• Ахиезер, Наум И. (1965). Классическая проблема моментов и некоторые связанные с ней вопросы анализа . Нью-Йорк: Hafner Publishing Co. (перевод с русского Н. Кеммера)
• Ахиезер, Н.И.; Крейн, М.Г. (1962). Некоторые вопросы теории моментов . Переводы математических монографий. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-1552-6 .
• Джеронимус, Дж. (1946). «О тригонометрической проблеме моментов» . Анналы математики . 47 (4): 742–761. дои : 10.2307/1969232 . ISSN   0003-486X . JSTOR   1969232 .
• Шмюдген, Конрад (2017). Проблема момента . Тексты для аспирантов по математике. Том. 277. Чам: Международное издательство Springer. дои : 10.1007/978-3-319-64546-9 . ISBN  978-3-319-64545-2 . ISSN   0072-5285 .