Функция распределения (теория меры)

В математике, в частности в теории меры , существуют разные понятия функции распределения , и важно понимать контекст, в котором они используются (свойства функций или свойства меры).

Функции распределения (в смысле теории меры) являются обобщением функций распределения (в смысле теории вероятностей) .

Определения

Первое определение представленный здесь обычно используется в анализе ( гармонический анализ , анализ Фурье и теория интегрирования в целом) для анализа свойств функций.

Определение 1: Предположим $(X,{\mathcal {B}},\mu )$ — пространство с мерой , и пусть $f$ быть действительной измеримой функцией . Функция распределения, связанная с $f$ это функция $d_{f}:[0,\infty )\rightarrow \mathbb {R} \cup \{\infty \}$ данный $$d_{f}(s)=\mu {\Big (}\{x\in X:|f(x)|>s\}{\Big )}$$Удобно также определить $d_{f}(\infty )=0$.

Функция $d_{f}$ предоставляет информацию о размере измеримой функции $f$.

Следующие определения функции распределения являются прямым обобщением понятия функции распределения (в смысле теории вероятностей) .

Определение 2. Пусть $\mu$ — конечная мера в пространстве $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\mu )$ действительных чисел , оснащенных прибором Бореля $\sigma$-алгебра . Функция распределения, связанная с $\mu$ это функция $F_{\mu }\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ определяется $$F_{\mu }(t)=\mu {\big (}(-\infty ,t]{\big )}$$

Хорошо известен результат теории меры что если $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — неубывающая непрерывная справа функция, то функция $\mu$ определенный на наборе конечных интервалов вида $(a,b]$ к $$\mu {\big (}(a,b]{\big )}=F(b)-F(a)$$однозначно продолжается до меры $\mu _{F}$ на $\sigma$-алгебра ${\mathcal {M}}$ включая наборы Бореля. Более того, если две такие функции $F$ и $G$ индуцировать ту же самую меру, т.е. $\mu _{F}=\mu _{G}$, затем $F-G$ является постоянным. И наоборот, если $\mu$ является мерой на борелевских подмножествах вещественной прямой, конечной на компактах, то функция $F_{\mu }:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ определяется $$F_{\mu }(t)={\begin{cases}\mu ((0,t])&{\text{if }}t\geq 0\\-\mu ((t,0])&{\text{if }}t<0\end{cases}}$$— неубывающая непрерывная справа функция с $F(0)=0$ такой, что $\mu _{F_{\mu }}=\mu$.

Эта конкретная функция распределения четко определена, является ли $\mu$ конечен или бесконечен; по этой причине, некоторые авторы также ссылаются на $F_{\mu }$ как функция распределения меры $\mu$. То есть:

Определение 3: Учитывая пространство меры $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\mu )$, если $\mu$ конечна на компактах, то неубывающая непрерывная справа функция $F_{\mu }$ с $F_{\mu }(0)=0$ такой, что $$\mu {\big (}(a,b])=F_{\mu }(b)-F_{\mu }(a)$$ называется канонической функцией распределения, связанной с $\mu$.

Пример

В качестве меры выберем меру Лебега $\lambda$. Тогда по определению $\lambda$$$\lambda ((0,t])=t-0=t{\text{ and }}-\lambda ((t,0])=-(0-t)=t$$Следовательно, функция распределения меры Лебега равна $$F_{\lambda }(t)=t$$для всех $t\in \mathbb {R}$.

Комментарии

• Функция распределения $d_{f}$ действительнозначной измеримой функции $f$ на пространстве меры $(X,{\mathcal {B}},\mu )$ является монотонной невозрастающей функцией и поддерживается на $[0,\mu (X)]$. Если $d_{f}(s_{0})<\infty$ для некоторых $s_{0}\geq 0$, затем $$\lim _{s\to \infty }d_{f}(s)=0.$$
• Когда основная мера $\mu$ на $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ конечна, функция распределения $F$ в определении 3 несколько отличается от стандартного определения функции распределения $F_{\mu }$ (в смысле теории вероятностей) , как указано в определении 2, в том смысле, что для первого $F(0)=0$ в то время как для последнего, $$\lim _{t\to -\infty }F_{\mu }(t)=0{\text{ and }}\lim _{t\to \infty }F_{\mu }(t)=\mu (\mathbb {R} ).$$
• Когда объектами интереса являются меры в $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, Определение 3 более полезно для бесконечных мер. Это так, потому что $\mu ((-\infty ,t])=\infty$ для всех $t\in \mathbb {R}$, что делает понятие из определения 2 бесполезным.