Компакт Банаха – Мазура

Не путать с игрой Банаха–Мазура или теоремой Банаха–Мазура .

В математическом исследовании функционального анализа расстояние Банаха – Мазура - это способ определить расстояние на множестве. $Q(n)$ из $n$-мерные нормированные пространства . При таком расстоянии набор изометрии классов $n$-мерное нормированное пространство становится компактным метрическим пространством , называемым компактом Банаха–Мазура .

Определения

Если $X$ и $Y$ — два конечномерных нормированных пространства одинаковой размерности, пусть $\operatorname {GL} (X,Y)$ обозначаем совокупность всех линейных изоморфизмов $T:X\to Y.$ Обозначим через $\|T\|$ операторная норма такого линейного отображения — максимальный коэффициент, на который оно «удлиняет» векторы. Расстояние Банаха – Мазура между $X$ и $Y$ определяется $$\delta (X,Y)=\log {\Bigl (}\inf \left\{\left\|T\right\|\left\|T^{-1}\right\|:T\in \operatorname {GL} (X,Y)\right\}{\Bigr )}.$$

У нас есть $\delta (X,Y)=0$ тогда и только тогда, когда пробелы $X$ и $Y$ изометрически изоморфны. Оснащенное метрикой δ пространство классов изометрии $n$-мерное нормированное пространство становится компактным метрическим пространством , называемым компактом Банаха–Мазура.

Многие авторы предпочитают работать с мультипликативным расстоянием Банаха–Мазура. $$d(X,Y):=\mathrm {e} ^{\delta (X,Y)}=\inf \left\{\left\|T\right\|\left\|T^{-1}\right\|:T\in \operatorname {GL} (X,Y)\right\},$$ для чего $d(X,Z)\leq d(X,Y)\,d(Y,Z)$ и $d(X,X)=1.$

Характеристики

Теорема Ф. Джона о максимальном эллипсоиде, содержащемся в выпуклом теле, дает оценку:

$d(X,\ell _{n}^{2})\leq {\sqrt {n}},\,$

где $\ell _{n}^{2}$ обозначает $\mathbb {R} ^{n}$ с евклидовой нормой (см. статью о $L^{p}$ пространства ).

Отсюда следует, что $d(X,Y)\leq n$ для всех $X,Y\in Q(n).$ Однако для классических пространств эта верхняя оценка диаметра $Q(n)$ далек от приближения. Например, расстояние между $\ell _{n}^{1}$ и $\ell _{n}^{\infty }$ (только) порядок $n^{1/2}$ (с точностью до мультипликативной константы, не зависящей от размерности $n$).

Крупным достижением в направлении оценки диаметра $Q(n)$ принадлежит Э. Глускину, который в 1981 г. доказал, что (мультипликативный) диаметр компакта Банаха–Мазура ограничен снизу величиной $c\,n,$ для какого-то универсального $c>0.$

Метод Глускина вводит класс случайных симметричных многогранников. $P(\omega )$ в $\mathbb {R} ^{n},$ и нормированные пространства $X(\omega )$ имея $P(\omega )$ как единичный шар (векторное пространство $\mathbb {R} ^{n}$ а норма - мера это $P(\omega )$). Доказательство состоит в том, чтобы показать, что требуемая оценка с большой вероятностью верна для двух независимых копий нормированного пространства. $X(\omega ).$

$Q(2)$ является абсолютным экстензором . С другой стороны, $Q(2)$не гомеоморфен гильбертову кубу .

См. также

• Компактное пространство - Тип математического пространства.
• Общая линейная группа - группа n × n . обратимых матриц размера

Ссылки

• Яннопулос, А.А. (2001) [1994], «Компактность Банаха – Мазура» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Глускин, Ефим Дмитриевич (1981). «Диаметр компакта Минковского примерно равен n ». Функционал. Анальный. Я приложен . 15 (1): 72–73. дои : 10.1007/BF01082381 . МР   0609798 . S2CID   123649549 .
• Томчак-Егерманн, Николь (1989). Расстояния Банаха-Мазура и конечномерные операторные идеалы . Монографии Питмана и обзоры по чистой и прикладной математике 38. Longman Scientific & Technical, Харлоу; опубликовано совместно с John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк, в США. стр. xii+395. ISBN  0-582-01374-7 . МР   0993774 .
• Компакт Банаха-Мазура
• Примечание о расстоянии Банаха-Мазура до куба.
• Компакт Банаха-Мазура — это компактификация Александрова гильбертова кубического многообразия.