LF-пространство

В математике , LF -пространство также обозначаемое ( LF )-пространством , представляет собой топологическое векторное пространство (TVS) X , которое является локально выпуклым индуктивным пределом счетной индуктивной системы. $(X_{n},i_{nm})$ Фреше пространств . ^[1] Это означает, что X — прямой предел прямой системы. $(X_{n},i_{nm})$ в категории локально выпуклых топологических векторных пространств и каждое $X_{n}$ является пространством Фреше. Название LF означает « предел пространств Фреше» .

Если каждая из карт связей $i_{nm}$ является вложением TVS, то LF -пространство называется строгим LF -пространством . Это означает, что топология подпространства, индуцированная на $X n$ посредством $X n +1,$ идентична исходной топологии на $X n$ . ^[1]^[2]Некоторые авторы (например, Шефер) определяют термин « LF -пространство» как «строгое LF -пространство», поэтому при чтении математической литературы рекомендуется всегда проверять, как LF определяется -пространство.

Определение

Топология индуктивного/конечного/прямого предела

Везде предполагается, что

${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}$ – либо категория топологических пространств , либо некоторая подкатегория категории топологических векторных пространств (ТВП);
- Если все объекты в категории имеют алгебраическую структуру, то все морфизмы считаются гомоморфизмами этой алгебраической структуры.
$I$ — непустое направленное множество ;
X _• = ( X _i ) _{i ∈ I} — семейство объектов в ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}$ где ( Xi _{пространство} , τXi _{) _;} — для каждого индекса i топологическое
- Чтобы избежать потенциальной путаницы, $τ X i$ следует не называть $«начальной топологией» X i$ , поскольку термин « исходная топология » уже имеет хорошо известное определение. Топология $τ X i$ называется исходной топологией на $X i$ или $X i$ заданной топологией .
$X$ — множество (и если объекты в ${\mathcal {C}}$ также имеют алгебраические структуры, то $автоматически предполагается, что X$ имеет любую необходимую алгебраическую структуру);
$f • знак равно (f i) i \in I$ представляет собой семейство карт, где для каждого индекса $i$ карта имеет прототип $f i : (X i, τ X i) \to X$ . Если все объекты в категории имеют алгебраическую структуру, то эти отображения также считаются гомоморфизмами этой алгебраической структуры.

Если он существует, то окончательная топология на $X$ в ${\mathcal {C}}$ , также называемая копределом или индуктивной топологией в ${\mathcal {C}}$ и обозначается $τ f •$ или $τ f$ , является тончайшей топологией на $X$ такой, что

$(X, τ f)$ — объект в ${\mathcal {C}}$ , и
для каждого индекса $i$ отображение $f i : (X i, τ X i) \to (X, τ f)$ является непрерывным морфизмом в ${\mathcal {C}}$ .

В категории топологических пространств конечная топология всегда существует, и, более того, подмножество $U \subseteq X$ открыто (соответственно замкнуто) в $(X, τf) тогда$ и только тогда, когда $f i - 1 (U)$ открыт (соответственно закрыт) в $(X i, τ X i)$ для каждого индекса $i$ .

Однако окончательная топология может не существовать в категории топологических пространств Хаусдорфа из-за требования, чтобы $(X, τ X f)$ принадлежали исходной категории (т.е. принадлежали категории топологических пространств Хаусдорфа). ^[3]

Прямые системы

Предположим, что $(I, \leq)$ — ориентированное множество и что для всех индексов $i \leq j$ существуют (непрерывные) морфизмы в ${\mathcal {C}}$

f я дж : X i \to X j

такой, что если $i = j,$ то $f i дж$ является тождественным отображением на $X i,$ и если $i \leq j \leq k,$ следующее условие совместимости то выполняется :

f я к = ж j к \circ ж я дж

,

где это означает, что композиция

X_{i}\xrightarrow {f_{i}^{j}} X_{j}\xrightarrow {f_{j}^{k}} X_{k}\;\;\;\;{\text{ is equal to }}\;\;\;\;X_{i}\xrightarrow {f_{i}^{k}} X_{k}.

Если вышеуказанные условия выполнены, то тройка, образованная совокупностями этих объектов, морфизмов и множества индексаций

\left(X_{\bullet },\left\{f_{i}^{j}\;:\;i,j\in I\;{\text{ and }}\;i\leq j\right\},I\right)

известна как прямая система в категории ${\mathcal {C}}$ который направляется или индексируется ) $I.$ ( Поскольку индексное множество $I$ является направленным , то прямая система называется направленной . ^[4] Карты $f я дж$ называются связующими , соединяющими или связующими картами системы.

Если набор индексации $I$ понятен, то $I$ часто опускается в приведенном выше кортеже (т. е. не записывается); то же самое верно и для карт связей, если они понятны. Следовательно, часто можно увидеть написанное « $X •$ является прямой системой», где « $X •$ » на самом деле представляет собой тройку с картами связей и набором индексов, которые либо определены где-то еще (например, канонические карты связей, такие как естественные включения), либо карты связей просто предполагается, что они существуют, но нет необходимости присваивать им символы (например, карты связей не нужны для формулировки теоремы).

Прямой предел прямой системы

О построении прямого предела общей индуктивной системы можно прочитать в статье: Прямой предел .

Прямые пределы инъективных систем

Если каждая из карт связей $f_{i}^{j}$ инъективна , то система называется инъективной . ^[4]

Предположения : В случае, когда прямая система инъективна, без ограничения общности часто предполагается, что для всех индексов

i \leq j

каждое

X i

является векторным подпространством

X j

(в частности,

X i

отождествляется с областью значений

f_{i}^{j}

) и что карта связей

f_{i}^{j}

— естественное включение

В дж я : Икс я \to Икс j

(т.е. определяется как $x \mapsto x$ ), так что топология подпространства на $X i,$ индуцированная $X j$ , слабее (т. е. грубее), чем исходная (т. е. заданная) топология на $X i$ .

В этом случае также возьмите

Икс знак равно \cup я \in я Икс я

.

Тогда предельные отображения являются естественными включениями

In i : X i \to X

. Топология прямого предела на

X

— это окончательная топология, индуцированная этими отображениями включения.

Если $X i$ имеют алгебраическую структуру, например, сложение, то для любых $x, y \in X$ мы выбираем любой индекс $i$ такой, что $x, y \in X i,$ а затем определяем их сумму, используя оператор сложения $Х я$ . То есть,

х + у := х + я у

,

где $+ i$ — оператор сложения $X i$ . индекса $i$ Эта сумма не зависит от выбранного .

В категории локально выпуклых топологических векторных пространств топологию прямого предела $X$ инъективно направленного индуктивного предела локально выпуклых пространств можно описать, указав, что абсолютно выпуклое подмножество $U$ в $X$ является окрестностью $0$ тогда и только тогда, когда $U \cap X i$ — абсолютно выпуклая окрестность точки $0$ в $X i$ для любого индекса $i$ . ^[4]

Прямые лимиты в Топе

Прямые пределы направленных прямых систем всегда существуют в категориях множеств, топологических пространств, групп и локально выпуклых ТВС. В категории топологических пространств, если каждое отображение связи $f i дж$ является/является инъективным (соответственно сюръективным , биективным , гомеоморфизмом , топологическим вложением , фактор-отображением ), то таковым является каждое $f i : X i \to X$ . ^[3]

Проблема с прямыми лимитами

Прямые пределы в категориях топологических пространств, топологических векторных пространств (TVS) и хаусдорфовых локально выпуклых TVS «плохо ведут себя». ^[4] Например, прямой предел последовательности (т. е. индексированной натуральными числами) локально выпуклых ядерных пространств Фреше может не быть хаусдорфовым (в этом случае прямой предел не существует в категории хаусдорфовых TVS). обычно изучаются только некоторые «хорошо себя ведущие» прямые системы По этой причине в функциональном анализе . К таким системам относятся LF -пространства. ^[4] Однако нехаусдорфовые локально выпуклые индуктивные пределы действительно встречаются в естественных вопросах анализа. ^[4]

Строгий индуктивный предел

Если каждая из карт связей $f_{i}^{j}$ является вложением ТВС в собственные векторные подпространства, и если система направляется $\mathbb {N}$ с его естественным упорядочением, то полученный предел называется строгим ( счетным ) прямым пределом . В такой ситуации мы можем предположить без ограничения общности, что каждое $X i$ является векторным подпространством $X i +1$ и что топология подпространства, индуцированная на $X i$ посредством $X i +1,$ идентична исходной топологии на $X i$ . ^[1]

В категории локально выпуклых топологических векторных пространств топологию строгого индуктивного предела пространств Фреше $X$ можно описать, указав, что абсолютно выпуклое подмножество $U$ является окрестностью $0$ тогда и только тогда, когда $U \cap X n$ является абсолютно выпуклой окрестностью. 0 $в$ каждого $X n$ для $n$ .

Характеристики

индуктивный предел в категории локально выпуклых ТВС семейства борнологических (соответственно бочковых , квазибочечных ) пространств. Тем же свойством обладает ^[5]

LF-пространства

Каждое LF-пространство является скудным подмножеством самого себя. ^[6]Строгий индуктивный предел последовательности полных локально выпуклых пространств (таких как пространства Фреше) обязательно полон. В частности, каждое LF-пространство полно. ^[7] Каждое LF -пространство является бочоночным и борнологическим , что вместе с полнотой подразумевает, что каждое LF-пространство является ультраборнологическим . LF-пространство, являющееся индуктивным пределом счетной последовательности сепарабельных пространств, является сепарабельным. ^[8] пространства Выделены НФ - и их сильные двойники — борнологические и бочоночные (результат Александра Гротендика ).

Если $X$ — строгий индуктивный предел возрастающей последовательности пространства Фреше $Xn,$ то подмножество $B$ пространства $X$ ограничено в $X$ тогда и только тогда, когда существует такое $n$ что $B$ является ограниченным подмножеством $Xn,$ . ^[7]

Линейное отображение LF-пространства в другое TVS непрерывно тогда и только тогда, когда оно секвенциально непрерывно . ^[9] Линейное отображение LF-пространства $X$ в пространство Фреше $Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда его график замкнут в $X \times Y$ . ^[10]Любой ограниченный линейный оператор из LF-пространства в другое TVS непрерывен. ^[11]

Если $X$ — LF-пространство, определенное последовательностью $\left(X_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ тогда сильное двойное пространство $X_{b}^{\prime }$ X $все$ является пространством Фреше тогда и только тогда, $X i$ нормируемы когда . ^[12] Таким образом, сильное двойственное пространство к LF-пространству является пространством Фреше тогда и только тогда, когда оно является LB-пространством .

Примеры

Пространство гладких компактных функций

Типичный пример LF -пространства: $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ , пространство всех бесконечно дифференцируемых функций на $\mathbb {R} ^{n}$ с компактной опорой. Структура LF -пространства получается путем рассмотрения последовательности компактов $K_{1}\subset K_{2}\subset \ldots \subset K_{i}\subset \ldots \subset \mathbb {R} ^{n}$ с $\bigcup _{i}K_{i}=\mathbb {R} ^{n}$ и для всех я, $K_{i}$ это часть интерьера $K_{i+1}$ . Такой последовательностью могли бы быть шары радиуса i с центром в начале координат. Пространство $C_{c}^{\infty }(K_{i})$ бесконечно дифференцируемых функций на $\mathbb {R} ^{n}$ с компактной поддержкой, содержащейся в $K_{i}$ имеет естественную структуру пространства Фреше и $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ наследует структуру LF -пространства, как описано выше. Топология LF -пространства не зависит от конкретной последовательности компактов. $K_{i}$ .

При такой LF -пространства структуре $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ известно как пространство основных функций, имеющих фундаментальное значение в теории распределений .

Прямой предел конечномерных пространств

что для каждого натурального числа $n$ n $\mathbb {R}$ и для $m < n$ рассмотрим X _m как векторное подпространство $X n$ посредством канонического вложения $X m \to X n,$ определенного как $x := (x 1, ..., x m) \mapsto (x 1, ..., х м, 0, ..., 0)$ . Обозначим полученное LF-пространство $X.$ через Поскольку любая TVS-топология на $X$ делает непрерывными включения X m _в X $,$ последнее пространство имеет максимум среди всех TVS-топологий на X. $\mathbb {R}$ -векторное пространство со счетной гамелевской размерностью . топология, связанная с семейством всех полунорм на $X.$ Это LC - Кроме того, топология индуктивного предела TVS $X$ совпадает с топологическим индуктивным пределом; т. е. прямой предел конечномерных пространств $X n$ в категории TOP и в категории TVS совпадают. Непрерывное двойственное пространство $X^{\prime }$ X $, то$ равен алгебраическому двойственному пространству X $.$ есть пространству всех последовательностей с действительными значениями $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ и слабая топология на $X^{\prime }$ эквивалентна сильной топологии на $X^{\prime }$ (т.е. $X_{\sigma }^{\prime }=X_{b}^{\prime }$ ). ^[13] По сути, это уникальная топология LC на $X^{\prime }$ топологическое дуальное пространство которого есть X.

См. также

Цитаты

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Шефер и Вольф 1999 , стр. 55–61.
^ Хельгасон, Сигурдур (2000). Группы и геометрический анализ: интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции (Печатается с корр. ред.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 398. ИСБН 0-8218-2673-5 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Дугунджи 1966 , стр. 420–435.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Бирстедт 1988 , стр. 41–56.
^ Гротендик 1973 , стр. 130–142.
^ Наричи и Бекенштейн 2011 , с. 435.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Шефер и Вольф 1999 , стр. 59–61.
^ Наричи и Бекенштейн 2011 , с. 436.
^ Трир 2006 , с. 141.
^ Трир 2006 , с. 173.
^ Трир 2006 , с. 142.
^ Трир 2006 , с. 201.
^ Шефер и Вольф 1999 , с. 201.

Библиография

Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том. 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8 . OCLC 297140003 .
Бирштедт, Клаус-Дитер (1988). «Введение в локально выпуклые индуктивные пределы» . Функциональный анализ и приложения . Сингапур-Нью-Джерси-Гонконг: Universitätsbibliothek: 35–133 . Проверено 20 сентября 2020 г.
Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4 . OCLC 17499190 .
Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7 . OCLC 395340485 .
Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6 . ОСЛК 30593138 .
Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7 . OCLC 886098 .
Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ряды Аддисона-Уэсли по математике. Том. 1. Ридинг, Массачусетс: Издательство Addison-Wesley. ISBN 978-0201029857 .
Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4 . ОСЛК 8210342 .
Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6 . OCLC 8588370 .
Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2 . МР 0248498 . OCLC 840293704 .
Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Основные принципы математических наук. Том 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9 . OCLC 180577972 .
Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7 . OCLC 589250 .
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4 . OCLC 175294365 .
Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4 . ОСЛК 24909067 .
Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
Вальдивия, Мануэль (1982). Нахбин, Леопольдо (ред.). Темы в локально выпуклых пространствах . Том. 67. Амстердам, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Elsevier Научный паб компании . ISBN 978-0-08-087178-3 . OCLC 316568534 .
Фойгт, Юрген (2020). Курс топологических векторных пространств . Компактные учебники по математике. Чам: Биркхойзер Базель . ISBN 978-3-030-32945-7 . OCLC 1145563701 .
Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4 . OCLC 849801114 .

[FOOTNOTESchaeferWolff199955–61-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Шефер и Вольф 1999 , стр. 55–61.

[2] Хельгасон, Сигурдур (2000). Группы и геометрический анализ: интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции (Печатается с корр. ред.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 398. ИСБН 0-8218-2673-5 .

[FOOTNOTEDugundji1966420–435-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Дугунджи 1966 , стр. 420–435.

[FOOTNOTEBierstedt198841–56-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Бирстедт 1988 , стр. 41–56.

[FOOTNOTEGrothendieck1973130–142-5] Гротендик 1973 , стр. 130–142.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011435-6] Наричи и Бекенштейн 2011 , с. 435.

[FOOTNOTESchaeferWolff199959–61-7] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Шефер и Вольф 1999 , стр. 59–61.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011436-8] Наричи и Бекенштейн 2011 , с. 436.

[FOOTNOTETrèves2006141-9] Трир 2006 , с. 141.

[FOOTNOTETrèves2006173-10] Трир 2006 , с. 173.

[FOOTNOTETrèves2006142-11] Трир 2006 , с. 142.

[FOOTNOTETrèves2006201-12] Трир 2006 , с. 201.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999201-13] Шефер и Вольф 1999 , с. 201.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

v т и Топологические векторные пространства (ТВП)
Basic concepts	Banach space Completeness Continuous linear operator Linear functional Fréchet space Linear map Locally convex space Metrizability Operator topologies Topological vector space Vector space
Main results	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Closed graph theorem F. Riesz's Hahn–Banach (hyperplane separation Vector-valued Hahn–Banach) Open mapping (Banach–Schauder) Bounded inverse Uniform boundedness (Banach–Steinhaus)
Maps	Bilinear operator form Linear map Almost open Bounded Continuous Closed Compact Densely defined Discontinuous Topological homomorphism Functional Linear Bilinear Sesquilinear Norm Seminorm Sublinear function Transpose
Types of sets	Absolutely convex/disk Absorbing/Radial Affine Balanced/Circled Banach disks Bounding points Bounded Complemented subspace Convex Convex cone (subset) Linear cone (subset) Extreme point Pre-compact/Totally bounded Prevalent/Shy Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric
Set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Convex hull Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Types of TVSs	Asplund B-complete/Ptak Banach (Countably) Barrelled BK-space (Ultra-) Bornological Brauner Complete Convenient (DF)-space Distinguished F-space FK-AK space FK-space Fréchet tame Fréchet Grothendieck Hilbert Infrabarreled Interpolation space K-space LB-space LF-space Locally convex space Mackey (Pseudo)Metrizable Montel Quasibarrelled Quasi-complete Quasinormed (Polynomially Semi-) Reflexive Riesz Schwartz Semi-complete Smith Stereotype (B Strictly Uniformly) convex (Quasi-) Ultrabarrelled Uniformly smooth Webbed With the approximation property
Category