Модуль и характеристика выпуклости

В математике модуль выпуклости и характеристика выпуклости являются мерами того, «насколько выпуклым » является единичный шар в банаховом пространстве . В некотором смысле модуль выпуклости имеет такое же отношение к ε - δ определению равномерной выпуклости , как модуль непрерывности к ε - δ определению непрерывности .

Определения

Модуль выпуклости банахова пространства ( X , ||⋅||) — это функция δ : [0, 2] → [0, 1], определяемая формулой

\delta (\varepsilon )=\inf \left\{1-\left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\,:\,x,y\in S,\|x-y\|\geq \varepsilon \right\},

где S обозначает единичную сферу ( X , || ||). В определении δ ( ε ) можно также взять нижнюю границу по всем векторам x , y в X таким, что ρ x ρ, ρ y ρ ≤ 1 и ρ x − y ρ ≥ ε . ^[1]

Характеристикой выпуклости пространства ( X , || ||) является число ε _0, определяемое формулой

\varepsilon _{0}=\sup\{\varepsilon \,:\,\delta (\varepsilon )=0\}.

Эти понятия неявно присутствуют в общем исследовании равномерной выпуклости Дж. А. Кларксона ( Кларксон (1936) ; это та же статья, содержащая формулировки неравенств Кларксона ). Термин «модуль выпуклости», по-видимому, принадлежит М.М. Дею. ^[2]

Характеристики

Модуль выпуклости δ ( ε ) является неубывающей функцией от ε , а частное δ ( ε )/ ε также не убывает на (0, 2] . ^[3] Модуль выпуклости сам по себе не обязательно должен быть выпуклой функцией от ε . ^[4] Однако модуль выпуклости эквивалентен выпуклой функции в следующем смысле: ^[5] существует выпуклая функция ( _δ1 ε ) такая, что

\delta (\varepsilon /2)\leq \delta _{1}(\varepsilon )\leq \delta (\varepsilon ),\quad \varepsilon \in [0,2].

Нормированное пространство ( X , ρ ⋅ ρ) тогда равномерно выпукло и только тогда, когда его характеристика выпуклости ε ₀ равна 0, т. е . тогда и только тогда, когда δ ( ε ) > 0 для любого ε > 0 .
Банахово пространство ( X , ρ ⋅ ρ) является строго выпуклым пространством (т. е. граница единичного шара B не содержит отрезков) тогда и только тогда, когда δ (2) = 1, т. е . если только противоположные точки (из формы x и y = − x ) единичной сферы могут иметь расстояние, равное 2.
Когда X равномерно выпукло, оно допускает эквивалентную норму со степенным модулем выпуклости. ^[6] А именно, существуют q ≥ 2 и константа c > 0 такие, что

\delta (\varepsilon )\geq c\,\varepsilon ^{q},\quad \varepsilon \in [0,2].

Модуль выпуклости L ^П пространства

Модуль выпуклости известен для L ^П пространства. ^[7] Если $1<p\leq 2$ , то он удовлетворяет следующему неявному уравнению:

\left(1-\delta _{p}(\varepsilon )+{\frac {\varepsilon }{2}}\right)^{p}+\left(1-\delta _{p}(\varepsilon )-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)^{p}=2.

Зная это $\delta _{p}(\varepsilon +)=0,$ можно предположить, что $\delta _{p}(\varepsilon )=a_{0}\varepsilon +a_{1}\varepsilon ^{2}+\cdots$ . Подставив это в приведенное выше и разложив левую часть в ряд Тейлора вокруг $\varepsilon =0$ , можно вычислить $a_{i}$ коэффициенты:

\delta _{p}(\varepsilon )={\frac {p-1}{8}}\varepsilon ^{2}+{\frac {1}{384}}(3-10p+9p^{2}-2p^{3})\varepsilon ^{4}+\cdots .

Для $2<p<\infty$ , имеет место явное выражение

\delta _{p}(\varepsilon )=1-\left(1-\left({\frac {\varepsilon }{2}}\right)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.

Поэтому, $\delta _{p}(\varepsilon )={\frac {1}{p2^{p}}}\varepsilon ^{p}+\cdots$ .

См. также

Равномерно гладкое пространство

Примечания

^ с. 60 в Линденштраусе и Цафрири (1979) .
^ Дэй, Махлон (1944), «Равномерная выпуклость в факторных и сопряженных пространствах», Annals of Mathematics , 2, 45 (2): 375–385, doi : 10.2307/1969275 , JSTOR 1969275
^ Лемма 1.e.8, с. 66 в Линденштраусе и Цафрири (1979) .
^ см. Примечания, с. 67 в Линденштраусе и Цафрири (1979) .
^ см. предложение 1.д.6, с. 65 и леммы 1.д.7, 1.д.8, с. 66 в Линденштраусе и Цафрири (1979) .
^ см. Пизье, Жиль (1975), «Мартингалы со значениями в равномерно выпуклых пространствах», Израильский математический журнал , 20 (3–4): 326–350, doi : 10.1007/BF02760337 , MR 0394135 , S2CID 120947324 .
^ Ханнер, Олоф (1955), "О равномерной выпуклости $L^{p}$ и $\ell ^{p}$ », Архив математики , 3 : 239–244, doi : 10.1007/BF02589410.

Ссылки

Бозами, Бернар (1985) [1982]. Введение в банаховые пространства и их геометрию (второе исправленное издание). Северная Голландия. ISBN 0-444-86416-4 . МР 0889253 .
Кларксон, Джеймс (1936), «Равномерно выпуклые пространства», Труды Американского математического общества , 40 (3), Американское математическое общество: 396–414, doi : 10.2307/1989630 , JSTOR 1989630
Фустер, Энрике Льоренс. Некоторые модули и константы, связанные с метрической теорией неподвижной точки. Справочник по метрической теории неподвижной точки , 133–175, Kluwer Acad. Изд., Дордрехт, 2001. МР. 1904276
Линденштраусс, Иорам и Беньямини, Йоав. Публикации коллоквиума по геометрическому нелинейному функциональному анализу , 48. Американское математическое общество.
Линденштраусс, Йорам ; Цафрири, Лиор (1979), Классические банаховы пространства. II Функциональные пространства , Результаты по математике и ее пограничным областям [Результаты по математике и смежным областям], вып. 97, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+243, ISBN. 3-540-08888-1 .
Виталий Дмитриевич Мильман . Геометрическая теория банаховых пространств II. Геометрия единичной сферы. Успехи Мат. Наук, вып. 26, нет. 6, 73–149, 1971; Русская математика. Обзоры , т. 26 6, 80–159.

[1] с. 60 в Линденштраусе и Цафрири (1979) .

[2] Дэй, Махлон (1944), «Равномерная выпуклость в факторных и сопряженных пространствах», Annals of Mathematics , 2, 45 (2): 375–385, doi : 10.2307/1969275 , JSTOR 1969275

[3] Лемма 1.e.8, с. 66 в Линденштраусе и Цафрири (1979) .

[4] см. Примечания, с. 67 в Линденштраусе и Цафрири (1979) .

[5] см. предложение 1.д.6, с. 65 и леммы 1.д.7, 1.д.8, с. 66 в Линденштраусе и Цафрири (1979) .

[6] см. Пизье, Жиль (1975), «Мартингалы со значениями в равномерно выпуклых пространствах», Израильский математический журнал , 20 (3–4): 326–350, doi : 10.1007/BF02760337 , MR 0394135 , S2CID 120947324 .

[7] Ханнер, Олоф (1955), "О равномерной выпуклости $L^{p}$ и $\ell ^{p}$ », Архив математики , 3 : 239–244, doi : 10.1007/BF02589410.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v т и банахового пространства Темы
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Banach–Mazur compactum Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics