Вторая фундаментальная форма

В дифференциальной геометрии вторая фундаментальная форма (или тензор формы ) — это квадратичная форма на касательной плоскости в гладкой поверхности трёхмерном евклидовом пространстве , обычно обозначаемая $\mathrm {I\!I}$ (читай «два»). Вместе с первой фундаментальной формой она служит для определения внешних инвариантов поверхности, ее главных кривизн . В более общем смысле такая квадратичная форма определяется для гладкого погруженного подмногообразия в римановом многообразии .

Поверхность в R ³

Определение второй фундаментальной формы

Мотивация

Вторая фундаментальная форма параметрической поверхности S в R ³ был введен и изучен Гауссом . Сначала предположим, что поверхность является графиком дважды непрерывно дифференцируемой функции z = f ( x , y ) и что плоскость z 0 касается = поверхности в начале координат. Тогда f и ее частные производные по x и y обращаются в нуль в точке (0,0). Следовательно, разложение Тейлора f в точке (0,0) начинается с квадратичных членов:

$z=L{\frac {x^{2}}{2}}+Mxy+N{\frac {y^{2}}{2}}+{\text{higher order terms}}\,,$

а вторая фундаментальная форма в начале координат ( x , y ) — это квадратичная форма

$L\,dx^{2}+2M\,dx\,dy+N\,dy^{2}\,.$

Для гладкой точки P на S можно выбрать систему координат так, чтобы плоскость z = 0 касалась S в точке P , и таким же образом определить вторую фундаментальную форму.

Классические обозначения

Вторая фундаментальная форма общей параметрической поверхности определяется следующим образом. Пусть r = r ( u , v ) — регулярная параметризация поверхности в R ³ , где r — гладкая вектор-функция двух переменных. принято обозначать r по u и v через ru _r и v _{Частные производные} . Регулярность параметризации означает, что и _ru r v _{линейно} независимы для любого ( u , v ) в области определения r и, следовательно, охватывают касательную плоскость к S в каждой точке. Эквивалентно, векторное произведение r _u × r _v представляет собой ненулевой вектор, нормальный к поверхности. Таким образом, параметризация определяет поле единичных нормальных векторов n :

$\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}\,.$

Вторая фундаментальная форма обычно записывается как

$\mathrm {I\!I} =L\,du^{2}+2M\,du\,dv+N\,dv^{2}\,,$

его матрица в базисе { r _u , r _v } касательной плоскости равна

${\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}\,.$

Коэффициенты L , M , N в данной точке параметрической uv- плоскости задаются проекциями вторых частных производных r в этой точке на нормальную линию к S и могут быть вычислены с помощью скалярного произведения как следует:

$L=\mathbf {r} _{uu}\cdot \mathbf {n} \,,\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot \mathbf {n} \,,\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot \mathbf {n} \,.$

Для знакового поля расстояний гессиана H коэффициенты второй фундаментальной формы можно вычислить следующим образом:

$L=-\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {H} \cdot \mathbf {r} _{u}\,,\quad M=-\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {H} \cdot \mathbf {r} _{v}\,,\quad N=-\mathbf {r} _{v}\cdot \mathbf {H} \cdot \mathbf {r} _{v}\,.$

Обозначения физика

Вторая фундаментальная форма общей параметрической поверхности S определяется следующим образом.

Пусть r = r ( u ¹ , в ² ) — регулярная параметризация поверхности в R ³ , где r — гладкая вектор-функция двух переменных. принято обозначать Частные производные r по u ^а р α _α , знак равно 1, 2 . Регулярность параметризации означает, что r ₁ и r ₂ линейно независимы для любого ( u ¹ , в ² ) в области r и, следовательно, охватывают касательную плоскость к S в каждой точке. Эквивалентно, векторное произведение r ₁ × r ₂ является ненулевым вектором, нормальным к поверхности. Таким образом, параметризация определяет поле единичных нормальных векторов n :

$\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}|}}\,.$

Вторая фундаментальная форма обычно записывается как

$\mathrm {I\!I} =b_{\alpha \beta }\,du^{\alpha }\,du^{\beta }\,.$

В приведенном выше уравнении используется соглашение Эйнштейна о суммировании .

Коэффициенты b _αβ в данной точке параметрического u ¹ в ² -плоскость задаются проекциями вторых частных производных r в этой точке на нормальную линию к S и могут быть вычислены через вектор нормали n следующим образом:

$b_{\alpha \beta }=r_{,\alpha \beta }^{\ \ \,\gamma }n_{\gamma }\,.$

Гиперповерхность в римановом многообразии

В евклидовом пространстве вторая фундаментальная форма задается формулой

$\mathrm {I\!I} (v,w)=-\langle d\nu (v),w\rangle \nu$

где $\nu$ — отображение Гаусса , а $d\nu$ дифференциал ​ ​ $\nu$ рассматривается как векторнозначная дифференциальная форма , а скобки обозначают метрический тензор евклидова пространства.

В более общем смысле, на римановом многообразии вторая фундаментальная форма является эквивалентным способом описания оператора формы (обозначаемого S ) гиперповерхности:

$\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=\langle S(v),w\rangle n=-\langle \nabla _{v}n,w\rangle n=\langle n,\nabla _{v}w\rangle n\,,$

где ∇ _v w обозначает ковариантную производную объемлющего многообразия, а n — поле нормальных векторов на гиперповерхности. (Если аффинная связность не имеет кручения , то вторая фундаментальная форма симметрична.)

Знак второй фундаментальной формы зависит от выбора направления n (которое называется коориентацией гиперповерхности - для поверхностей в евклидовом пространстве это эквивалентно задается выбором ориентации поверхности).

Обобщение на произвольную коразмерность

Вторая фундаментальная форма может быть обобщена на произвольную коразмерность . В этом случае это квадратичная форма в касательном пространстве со значениями в нормальном расслоении , и ее можно определить формулой

$\mathrm {I\!I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot }\,,$

где $(\nabla _{v}w)^{\bot }$ обозначает ортогональную проекцию ковариантной производной $\nabla _{v}w$ на обычный пакет.

В евклидовом пространстве тензор кривизны подмногообразия : можно описать следующей формулой

$\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .$

Это называется уравнением Гаусса , поскольку его можно рассматривать как обобщение теоремы Гаусса Egregium .

Для общих римановых многообразий необходимо добавить кривизну объемлющего пространства; если N — многообразие, вложенное в многообразие ( M , g ) , то тензор кривизны RN _N с риманово индуцированной метрикой может быть выражен с использованием второй фундаментальной формы и RM _{, тензора} кривизны M :

$\langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle \,.$

См. также

• Первая фундаментальная форма
• Гауссова кривизна
• Уравнения Гаусса – Кодацци
• Оператор формы
• Третья фундаментальная форма
• Тавтологическая одноформа

Ссылки

• Гуггенхаймер, Генрих (1977). «Глава 10. Поверхности». Дифференциальная геометрия . Дувр. ISBN  0-486-63433-7 .
• Кобаяши, Шошичи и Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии, Том. 2 (Новая ред.). Уайли-Интерсайенс. ISBN  0-471-15732-5 .
• Спивак, Михаил (1999). Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (Том 3) . Опубликуй или погибни. ISBN  0-914098-72-1 .

Внешние ссылки

• Стивен Верпоорт (2008) Геометрия второй фундаментальной формы: свойства кривизны и вариационные аспекты, Katholieke Universiteit Leuven .