Дополнение (теория групп)

В математике в области алгебры , известной как теория групп , дополнением подгруппы H , особенно в группе G является подгруппа K группы G такая, что

$G=HK=\{hk:h\in H,k\in K\}{\text{ and }}H\cap K=\{e\}.$

Эквивалентно, каждый элемент G имеет уникальное выражение в виде произведения hk где h ∈ H и k ∈ K. , Это отношение симметрично: если K является дополнением к , то H является дополнением к K. H Ни H, K не обязательно должны быть нормальной подгруппой G ни .

Свойства

• Дополнения не обязательно должны существовать, а если и существуют, то они не обязательно должны быть уникальными. То есть H может иметь два различных дополнения K ₁ и K ₂ в G .
• Если имеется несколько дополнений к нормальной подгруппе, то они обязательно изоморфны друг другу и факторгруппе .
• Если K является дополнением H в G, K образует как левую, так и правую трансверсаль H то . То есть элементы K образуют полный набор представителей как левого, так и правого классов H смежных .
• Теорема Шура –Цассенхауза гарантирует существование дополнений к нормальным холловским подгруппам конечных групп .

Связь с другими продуктами

Дополнения обобщают как прямое произведение (где подгруппы H и K нормальны в G ), так и полупрямое произведение (когда одна из подгрупп H или K нормальна в G ). Произведение, соответствующее общему дополнению, называется внутренним произведением Заппы – Сепа . Когда H и K нетривиальны , дополнительные подгруппы разбивают группу на более мелкие части.

Существование

Как упоминалось ранее, дополнения не обязательно должны существовать.

p - дополнение — это дополнение к силовской p -подгруппе . Теоремы Фробениуса и Томпсона описывают, когда группа имеет нормальное p -дополнение . Филип Холл охарактеризовал конечные разрешимые группы среди конечных групп как группы с p -дополнениями для каждого простого числа p ; эти p -дополнения используются для формирования так называемой силовской системы .

Дополнение Фробениуса — это особый тип дополнения в группе Фробениуса .

– Дополненная группа это группа, в которой каждая подгруппа имеет дополнение.

См. также

• Продукт подмножеств группы

Ссылки

• Дэвид С. Даммит и Ричард М. Фут (2003). Абстрактная алгебра . Уайли. ISBN  978-0-471-43334-7 .
• И. Мартин Айзекс (2008). Теория конечных групп . Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4344-4 .