Подгруппа зала

В математике , особенно в теории групп , холлова подгруппа G конечной группы — это подгруппа которой , порядок взаимно прост с ее индексом . Они были введены теоретиком групп Филипом Холлом ( 1928 ).

Определения

Делитель Холла (также называемый унитарным делителем ) целого числа n — это делитель d числа n такой, что d и n / d взаимно просты. Самый простой способ найти делители Холла — это записать факторизацию рассматриваемого числа в степень простого числа и взять любое подмножество множителей. Например, чтобы найти делители Холла 60, его факторизация по простой степени равна 2. ² × 3 × 5, поэтому берут любое произведение 3, 2 ² = 4 и 5. Таким образом, делители Холла числа 60 равны 1, 3, 4, 5, 12, 15, 20 и 60.

Подгруппа Холла группы G — это подгруппа, порядок которой является делителем Холла порядка G. группы Другими словами, это подгруппа, порядок которой взаимно прост с ее индексом.

Если π — множество простых чисел , то холлова π -подгруппа — это подгруппа, порядок которой является произведением простых чисел из π и чей индекс не делится ни на одно простое число из π .

Примеры

Любая подгруппа группы силовская является холловской.
Знакопеременная группа A ₄ порядка 12 разрешима , но не имеет подгрупп порядка 6, хотя 6 делит 12, показывая, что теорема Холла (см. Ниже) не может быть распространена на все дивизоры порядка разрешимой группы.
Если G = A ₅ , единственная простая группа порядка 60, то 15 и 20 являются дивизорами Холла порядка G , но G не имеет подгрупп этих порядков.
Простая группа порядка 168 имеет два разных класса сопряженности холловских подгрупп порядка 24 (хотя они связаны внешним автоморфизмом группы G ).
Простая группа порядка 660 имеет две холловы подгруппы порядка 12, которые даже не изоморфны (и, следовательно, определенно не сопряжены даже при внешнем автоморфизме). Нормализатор группе силовской 2-подгруппы порядка 4 изоморфен знакопеременной группе A ₄ порядка 12, а нормализатор подгруппы порядка 2 или 3 изоморфен диэдра порядка 12.

Теорема Холла

Холл (1928) доказал , что если G — конечная разрешимая группа и π — любое множество простых чисел, то G имеет холлову π -подгруппу и любые две холловы π -подгруппы сопряжены. Более того, любая подгруппа, порядок которой равенпроизведение простых чисел из π содержится в некоторой холловской π -подгруппе . Этот результат можно рассматривать как обобщение теоремы Силова на подгруппы Холла, но приведенные выше примеры показывают, что такое обобщение неверно, когда группа неразрешима.

Существование холловских подгрупп можно доказать индукцией по порядку G , используя тот факт, что каждая конечная разрешимая группа имеет нормальную элементарную абелеву подгруппу. Точнее, зафиксируйте минимальную нормальную подгруппу A , которая является либо π -группой , либо π′ -группой поскольку G -сепарабельна π , . По индукции существует подгруппа H группы G, содержащая A , такая, что H / A является холловской π- подгруппой группы G / A . Если A — π -группа то H — холлова π -подгруппа группы G. , С другой стороны, если A — π′- группа , то по теореме Шура–Цассенхауза A имеет дополнение в H которое является холловской π -подгруппой группы G. ,

Обращение к теореме Холла

Любая конечная группа, имеющая холлову π -подгруппу для любого набора простых чисел π, разрешима. Это обобщение теоремы Бернсайда о том, что любая группа, порядок которой имеет вид p ^ад ^б для простых чисел p и q разрешима, поскольку из теоремы Силова следует, что все холловы подгруппы существуют. Это (в настоящее время) не дает другого доказательства теоремы Бернсайда, поскольку теорема Бернсайда используется для доказательства обратного .

Силовские системы

Силовская система — это набор силовских p -подгрупп Sp _таких для каждого простого числа p , что S _q Sp ₌ S q _S p _для всех p и q . Если у нас есть силовская система, то подгруппа, порожденная группами Sp _p для является в π, холловской π -подгруппой . Более точная версия теоремы Холла гласит, что любая разрешимая группа имеет силовскую систему, а любые две силовские системы сопряжены.

Подгруппы обычного зала

Любая нормальная холлова подгруппа H конечной группы G обладает дополнением , то есть существует некоторая подгруппа группы G , которая тривиально пересекает H и такая, что HK = G (поэтому G является полупрямым произведением H K и K ). Это теорема Шура–Цассенхауза .

См. также

Формирование

Ссылки

Горенштейн, Дэниел (1980), Конечные группы , Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8284-0301-5 , МР 0569209 .
Холл, Филип (1928), «Заметка о разрешимых группах», Журнал Лондонского математического общества , 3 (2): 98–105, doi : 10.1112/jlms/s1-3.2.98 , JFM 54.0145.01 , MR 1574393