Дополненная группа

В математике , в области теории групп , термин «дополненная группа» используется двумя разными, но схожими способами.

В ( Hall 1937 ) дополняемая группа — это группа, в которой каждая подгруппа имеет теоретико-групповое дополнение . Такие группы называются вполне факторизуемыми группами в русской литературе по ( Баева, 1953 ) и ( Черников, 1953 ).

Следующие утверждения эквивалентны для любой конечной группы G :

• G дополняется
• G — подгруппа прямого произведения групп бесквадратного порядка (специальный тип Z-группы )
• G — сверхразрешимая группа с элементарными абелевыми силовскими подгруппами (специальный тип A-группы ), ( Холл, 1937 , теоремы 1 и 2).

Позже, в ( Zacher 1953 ), группа называется дополняемой, если решетка подгрупп является дополняемой решеткой , то есть, если для каждой подгруппы H существует подгруппа K такая, что H ∩ K = 1 и ⟨ H , K ⟩ — вся группа. Определение Холла, кроме того, требовало, чтобы H и K переставлялись, то есть чтобы HK = { hk : h в H , k в K } образовывали подгруппу. Такие группы также называются K-группами в итальянской литературе и литературе по теории решеток , например ( Schmidt 1994 , стр. 114–121, глава 3.1). Подгруппа Фраттини K-группы тривиальна ; если группа имеет без ядра максимальную подгруппу , которая является K-группой, то она сама является K-группой; следовательно, подгруппы K-групп не обязательно должны быть K-группами, но факторгруппы и прямые произведения K-групп являются K-группами ( Schmidt 1994 , стр. 115–116). В ( Costantini & Zacher 2004 ) показано, что каждая конечная простая группа является дополняемой группой. Обратите внимание, что в классификации конечных простых групп K - группа чаще используется для обозначения группы, собственные подгруппы которой имеют только композиционные факторы среди известных конечных простых групп.

Примером группы, которая не дополняется (в любом смысле), является циклическая группа порядка p. ² , где p — простое число . Эта группа имеет только одну нетривиальную подгруппу H , циклическую группу порядка p , поэтому не может быть другой подгруппы L, была бы дополнением к H. которая

Ссылки

• Baeva, N. V. (1953), "Completely factorizable groups", Doklady Akademii Nauk SSSR , New Series, 92 : 877–880, MR  0059275
• Черников, С. Н. (1953), "Группы с системами дополнительных подгрупп", Доклады Академии наук СССР , Новая серия, 92 : 891–894, MR   0059276
• Константини, Мауро; Захер, Джованни (2004), «Конечные простые группы имеют дополняемые решетки подгрупп», Pacific Journal of Mathematics , 213 (2): 245–251, doi : 10.2140/pjm.2004.213.245 , ISSN   0030-8730 , MR   2036918
• Холл, Филип (1937), «Дополненные группы», J. London Math. Соц. , 12 (3): 201–204, doi : 10.1112/jlms/s1-12.2.201 , Збл   0016.39301
• Шмидт, Роланд (1994), Решетки подгрупп групп , Объяснения по математике, том. 14, Вальтер де Грюйтер, ISBN  978-3-11-011213-9 , МР   1292462
• Захер, Джованни (1953), «Характеризация дополняемых разрешимых групп конечного порядка» , Rendiconti del Seminario della Università di Padova , 22 : 113–122, ISSN   0041-8994 , MR   0057878